山西省太原市第六十中学2022-2023学年高三数学理模拟试题含解析

山西省太原市第六十中学2022-2023学年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面互相垂直，则这两个二面角的大小(

)A.相等

B.互补

C.相等或互补

D.无法确定参考答案：D解：如果两个二面角的半平面分别对应垂直，那么这两个二面角角相等或互补”（面与二面角的性质）但是这个命题不一定正确，如下图就是一个反例.正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角D-AA1-F与二面角D1-DC-A的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补．故选：D2.已知函数，方程有四个实数根，则的取值范围为(

)

A．

B．

C．

D．

参考答案：D的图像如图所示，极大值；记，要使得方程有四个零点，则必有两个零点且，又常数项为1，所以，故．3.已知函数的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则的解析式是（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：B4.在△ABC中，cosA=，则tanA=____A．2

B．2

C．

D．参考答案：B略5.抛物线的焦点坐标是

A．（0,1）

B．（1,0）

C．（）

D．参考答案：C6.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图知该几何体是等底同高的三棱锥与三棱柱的组合体，结合图中数据即可求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是等底同高的三棱锥与三棱柱的组合体，画出直观图如图所示；则几何体的体积为V几何体=V三棱柱+V三棱锥=××2+×××2=．故选：C．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，是基础题目．7.中国古代数学名著《九章算术》卷第五“商功”共收录28个题目，其中一个题目如下：今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺，问积几何？其译文可用三视图来解释：某几何体的三视图如图所示（其中侧视图为等腰梯形，长度单位为尺），则该几何体的体积为（）A．3795000立方尺 B．2024000立方尺C．632500立方尺 D．1897500立方尺参考答案：D【分析】由三视图可得，直观图为底面为侧视图是直棱柱，利用图中数据求出体积．【解答】解：由三视图可得，直观图为底面为侧视图，是直棱柱，体积为=1897500立方尺，故选D．【点评】本题考查直观图的体积，考查三视图，确定直观图的形状是关键．8.某篮球运动员2013年度参加了25场比赛，我从中抽取5场，用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图所示，则该样本的方差为（

）A.25 B.24 C.18 D.16参考答案：D9.已知命题，命题，则下列命题为真命题是

（

）A． B． C．

D．参考答案：C10.若等差数列{an}的公差且成等比数列，则（

）A．

B．

C.

D．2参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

已知直线：，：，若∥，则实数a的值是

．参考答案：-312.i是虚数单位，复数满足，则的实部为_______.参考答案：1试题分析：，所以的实部为113.设点是曲线上任意一点，其坐标均满足，则取值范围为__________参考答案：设，则满足的点P的轨迹是以为焦点的椭圆，其方程为.曲线为如下图所示的菱形ABCD，.由于，所以，即.所以.14.命题的否定为__________.参考答案：略15.的展开式中项的系数为

．参考答案：

6016.

已知的展开式中没有常数项,,则______.参考答案：答案：5解析：本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。依题对中，只有时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与、乘积为常数的项。17.已知向量的夹角为120°，且|的值为_______.

参考答案：-8略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分16分） 已知数列中，，前项和为

（I）证明数列是等差数列，并求出数列的通项公式；

（II）设，数列的前项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值。参考答案：（I）；（II），18.试题分析：(1)由题意当试题解析：解：（I）由题意，当

当

则

则

即

则数列是首项为1，公差为0的等差数列。…………6分

从而，则数列是首项为1，公差为1的等差数列。

所以，…………8分

（II）…………10分

所以，

…………12分

由于

因此单调递增，故的最小值为…………14分

令，所以的最大值为18。…………16分考点：等差数列的通项公式、前n项和公式以及性质.19.（本小题满分13分）设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与

轴的交点，点在直线上，且满足.当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线．（Ⅰ）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点.是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.参考答案：（Ⅰ）如图1，设，，则由，可得，，所以，.

①因为点在单位圆上运动，所以.

②将①式代入②式即得所求曲线的方程为.

因为，所以当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，两焦点坐标分别为，；当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，两焦点坐标分别为，.

（Ⅱ）解法1：如图2、3，，设，，则，，直线的方程为，将其代入椭圆的方程并整理可得.依题意可知此方程的两根为，，于是由韦达定理可得，即.因为点H在直线QN上，所以.于是，.

而等价于，即，又，得，故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有.

解法2：如图2、3，，设，，则，，因为，两点在椭圆上，所以

两式相减可得.

③

依题意，由点在第一象限可知，点也在第一象限，且，不重合，故.于是由③式可得.

④又，，三点共线，所以，即.

于是由④式可得.而等价于，即，又，得，故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有.

20.（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，(Ⅰ)求证：平面⊥平面(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值；(Ⅲ)若动点在底面三角形上，二面角的大小为，求的最小值.参考答案：（1）取AC中点O,因为AP=BP，所以OP⊥OC

由已知易得三角形ABC为直角三角形，∴OA=OB=OC,⊿POA≌⊿POB≌⊿POC,∴OP⊥OB，∴OP⊥平面ABC,∵OP在平面PAC中，∴平面⊥平面.……4分（2）以O为坐标原点,OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,),

……5分∴设平面PBC的法向量，由得方程组：，取

……6分∴

.∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为.

……8分（3）由题意平面PAC的法向量，设平面PAM的法向量为∵又因为.∴

取.，，此时……12分21.如图，是△的外接圆，D是的中点，BD交AC于E．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，O到AC的距离为1，求⊙O的半径．参考答案：解：（I）证明：∵，∴，又，∴△～△，∴，∴CD=DE·DB；

略22.已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，点（2，0）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点P（1，0）的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于A、B两点，设点B关于x轴的对称点为B'．直线AB'与x轴的交点Q是否为定点？请说明理由．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由点（2，0）在椭圆C上，可得a=2，又，b=，解出即可得出．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），B'（x2，﹣y2），Q（n，0）．设直线AB：y=k（x﹣1）（k≠0）．与椭圆方程联立得：（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．直线AB'的方程为，令y=0，解得n，又y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），再利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：（Ⅰ）因为点（2，0）在椭圆C上，所以a=2．又因为，所以．所以．所以