山西省太原市太钢第五十四中学2022年高一数学理联考试题含解析

山西省太原市太钢第五十四中学2022年高一数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知正项数列满足：

，设数列的前项的和，则的取值范围为 （

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：B略2.在△ABC中，，，则sinC=（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】求出，由余弦定理求得与的关系，再用正弦定理求解．【详解】∵，∴．又，，又，∴．故选A．【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，解题关键正确选用公式，要确定先用哪个公式，再用哪个公式．3.函数的零点的个数为（

）A．3

B．4

C．5

D．6参考答案：C4.已知函数f（x）=2x﹣b（2≤x≤4，b为常数）的图象经过点（3，1），则f（x）的值域为（）A．[4，16] B．[2，10] C．[，2] D．[，+∞）参考答案：C【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】由题意把点（3，1）代入解析式，化简后求出b的值，由x的范围和指数函数的单调性求出f（x）的值域．【解答】解：因为函数f（x）=2x﹣b的图象经过点（3，1），所以1=23﹣b，则3﹣b=0，解得b=3，则函数f（x）=2x﹣3，由2≤x≤4得，﹣1≤x﹣3≤1，则2x﹣3≤2，所以f（x）的值域为[，2]，故选C．5.若a>l，设函数f（x）=ax+x－4的零点为m，函数g（x）=logax+x－4的零点为n，则的最小值为（

）A．1

B．2

C．4

D．8参考答案：A6.已知函数,,，，（

）.

.

.

.参考答案：C略7.将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值．【解答】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z），则m的最小值为．故选B【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键．8.已知且若，则[x]+[y]等于（其中[x]表示不超过x的最大整数

（

）

A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B

解析：因为，

所以

所以9.设满足不等式组，若的最大值为，最小值为，则实数的取值范围为

A.

B.

C.

D.参考答案：B试题分析：一般作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合进行求解即可.三个交点,,代入得:考点：线性规划,最优解10.函数与的图象关于下列那种图形对称A

轴

B

轴

C

直线

D

原点中心对称参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在数列中，，，那么的通项公式是

。参考答案：12.函数在区间上的最大值为3，则实数的值为______.参考答案：或【分析】分别在、和三种情况下，利用单调性得到最大值点，利用最大值构造方程求得.【详解】①当时，，不满足题意②当时，为开口方向向上，对称轴为的二次函数当时，，解得：③当时，为开口方向向下，对称轴为的二次函数当时，，解得：本题正确结果：或【点睛】本题考查根据函数的最值求解参数值的问题，考查了分类讨论的数学思想；易错点是忽略二次项系数是否为零和开口方向的讨论.13.不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集是全体实数，则实数的取值范围是________参考答案：略14.调查了某地若干户家庭的年收x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，井由调查数据得到y对x的回归直线方程．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加万元．参考答案：0.254略15.已知直线与圆交于A，B两点，若，则a=____.参考答案：【分析】根据点到直线距离公式与圆的垂径定理求解.【详解】圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离：，由得，解得.【点睛】本题考查直线与圆的应用.此题也可联立圆与直线方程，消元后用弦长公式求解.16.已知定义在上的奇函数，当时，，那么时，

。

参考答案：略17.定义：区间[m，n]、(m，n]、[m，n)、(m，n)（n>m）的区间长度为；若某个不等式的解集由若干个无交集的区间的并表示，则各区间的长度之和称为解集的总长度。已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域均为[-3，3]，则不等式解集的总长度的取值范围是_________。参考答案：[0，3]∵是偶函数，是奇函数，∴若，使得，则，∴解集的总长度至多为，例如，。如果函数的解集总长度不为0，则解集的总长度相应减少，直至为0。∴解集的总长度的取值范围是[0，3]。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知直线，圆C：.试证明：不论为何实数，直线和圆C总有两个交点；当取何值时，直线被圆C截得的弦长最短，并求出最短弦的长。参考答案：解：（1）方法1：由∵Δ＞0∴不论为何实数，直线和圆C总有两个交点。方法2：圆心C（1，－1）到直线的距离，圆C的半径，而＜0，即＜R，∴不论为何实数，直线和圆C总有两个交点。方法3：不论为何实数，直线总过点A（0，1），而＜R，∴点A（0，1）在圆C的内部，即不论为何实数，直线总经过圆C内部的定点A。∴不论为何实数，直线和圆C总有两个交点。（2）当定点(0,1)为弦的重中点时，所截得的弦最短，此时k=-1故k=，此时圆心到直线的距离d=，弦长=2=4略19.（16分）已知函数f（x）=lg，其定义域为[﹣9，9]，且在定义域上是奇函数，a∈R（1）求a的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并用函数单调性定义证明你的结论；（3）若函数g（x）=|f（x）+1|﹣m有两个零点，求实数m的取值范围．参考答案：考点： 对数函数的图像与性质；函数零点的判定定理．专题： 函数的性质及应用．分析： （1）由奇函数的定义，得f（﹣x）=﹣f（x），求出a的值；（2）函数单调性的定义，判断并证明f（x）在定义域上的单调性即可；（3）考查函数y=|f（x）+1|的图象与性质，得出g（x）=|f（x）+1|﹣m有两个零点，即关于x的方程|f（x）+1|=m有两个互异实根，?求出满足条件的m的取值范围即可．解答： （1）因为函数f（x）=lg是定义域为[﹣9，9]上的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），即lg=﹣lg，…（2分）所以=，即a2﹣x2=100﹣x2，则a2=100，得a=10或a=﹣10；当a=﹣10时，f（x）=lg（﹣1）无意义，所以a=10；…（4分）（注：若用f（0）=0解得a=10，未加以代入检验扣2分）（2）由（1）知函数f（x）=lg，该函数是定义域上的减函数；…（5分）证明：设x1、x2为区间[﹣9，9]上的任意两个值，且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，…（6分）f（x1）﹣f（x2）=lg﹣lg=lg；…（8分）因为[100﹣x1x2+10（x2﹣x1）]﹣[100﹣x1x2+10（x1﹣x2）]=20（x2﹣x1）＞0，所以100﹣x1x2+10（x2﹣x1）＞100﹣x1x2+10（x1﹣x2），又因为100﹣x1x2+10（x1﹣x2）=（10+x1）（10﹣x2）＞0，所以100﹣x1x2+10（x2﹣x1）＞100﹣x1x2+10（x1﹣x2）＞0；则＞1，lg＞0，所以f（x1）＞f（x2）；所以函数f（x）=lg是定义域上的减函数；

…（10分）（3）|f（x）+1|=，要使g（x）=|f（x）+1|﹣m有两个零点，即关于x的方程|f（x）+1|=m有两个互异实根，…（11分）?当﹣9≤x≤时，y=|f（x）+1|=lg+1在区间[﹣9，]上单调减，所以函数y=|f（x）+1|的值域为[0，1+lg19]；…（13分）?当≤x≤9时，y=|f（x）+1|=﹣lg﹣1在区间[，9]上单调增，所以函数y=|f（x）+1|的值域为[0，﹣1+lg19]；…（15分）所以实数m的取值范围为（0，﹣1+lg19]．…（16分）点评： 本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，也考查了对数函数、分段函数的应用问题，考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．20.（12分）函数内取到一个最大值和一个最小值，且当时，有最大值3；当时，有最小值-3.（1）求此函数的解析式；（2）求此函数的单调区间。参考答案：21.（12分）已知三角形的三个顶点是A（4，0），B（6，6），C（0，2）．（1）求AB边上的高所在直线的方程；（2）求AC边上的中线所在直线的方程．参考答案：（1）∵A（4，0），B（6，6），C（0，2），∴=3，∴AB边上的高所在直线的斜率k=﹣，∴AB边上的高所在直线的方程为y﹣2=﹣，整理，得x+3y﹣6=0．（2）∵AC边的中点为（2，1），∴AC边上的中线所在的直线方程为，整理，得5x﹣4y﹣5=0．22.已知数列{an}满足（n∈N*），a1=1．（1）证明：数列{}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；（2）若记bn为满足不等式()n＜ak≤()n-1(n∈N*)的正整数k的个数，数列{}的前n项和为Sn，求关于n的不等式Sn＜4032的最大正整数解．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）对条件式取倒数，移项即可得出﹣=，故而数列为等差数列，利用等差数列的通项公式求出即可得出an；（2）根据不等式得出bn，利用错位相减法求出Sn，从而得出Sn＜4032的最大正整数解．【解答】解：（1）∵，∴﹣=1，即﹣=，又=1，∴{}是以1为首项，以为公差的等差数列，∴=1+（n﹣1）=n+，∴an=．（2）∵（）n＜ak≤（）n﹣1，即（）n＜≤（）n﹣1，∴2n﹣1＜k≤2n+1﹣1，∴bn=2n+1﹣1﹣（2n﹣1