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文档简介
山西省大同市鸦儿崖中学2021年高一数学文期末试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示,为了了解该地区中小学生的近视形成原因,按学段用分层抽样的方法抽取该地区4%的学生进行调查,则样本容量和抽取的初中生中近视人数分别为(
)A.400,54 B.200,40 C.180,54 D.400,40参考答案:A【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论。【详解】由图1得样本容量为,抽取的初中生人数为人,则初中生近视人数为人,故选.【点睛】本题主要考查分层抽样的应用。2.集合A={﹣1,0,1},A的子集中,含有元素0的子集共有()A.2个 B.4个 C.6个 D.8个参考答案:B【考点】子集与真子集.【分析】根据题意,列举出A的子集中,含有元素0的子集,进而可得答案.【解答】解:根据题意,在集合A的子集中,含有元素0的子集有{0}、{0,1}、{0,﹣1}、{﹣1,0,1},四个;故选B.【点评】元素数目较少时,宜用列举法,当元素数目较多时,可以使用并集的思想.3.如图所示,D是△ABC的边AB的中点,则向量=(
)A. B. C. D.参考答案:C【分析】利用向量加法的三角形法则可得,化简后可得正确选项.【详解】,故选C.【点睛】本题考查向量的线性运算,属于基础题.4.已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x(1﹣x);当x<0时,f(x)等于()A.﹣x(1+x) B.x(1+x) C.x(1﹣x) D.﹣x(1﹣x)参考答案:B【考点】函数奇偶性的性质.【分析】要求x<0时的解析式,先设x<0,则﹣x>0,因为已知x>0时函数的解析式,所以可求出f(﹣x),再根据函数的奇偶性来求f(x)与f(﹣x)之间的关系可求【解答】解:设x<0,则﹣x>0,∵当x>0时,f(x)=x(﹣x+1),∴f(﹣x)=﹣x(x+1)又∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x)=﹣f(﹣x)=x(x+1)故选B5.函数f(x)=,若f(a)=1,则a的值是()A.2 B.1 C.1或2 D.1或﹣2参考答案:A【考点】函数的零点;函数的值.【分析】根据分段函数,直接解方程即可得到结论.【解答】解:若a<2,则由f(a)=1得,3a﹣2=1,即a﹣2=0,∴a=2.此时不成立.若a≥2,则由f(a)=1得,log=1,得a2﹣1=3,即a2=4,∴a=2,故选:A.6.已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边在直线3x﹣y=0上,则等于()A.﹣ B. C.0 D.参考答案:B【考点】运用诱导公式化简求值.【分析】利用三角函数的定义,求出tanθ,利用诱导公式化简代数式,代入即可得出结论.【解答】解:∵角θ的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边在直线3x﹣y=0上,∴tanθ=3,∴===,故选:B.【点评】本题考查三角函数的定义,考查诱导公式的运用,正确运用三角函数的定义、诱导公式是关键.7.若满足条件C=60°,AB=,BC=的△ABC有(
)个A.0
B.1 C.2
D.3参考答案:C【分析】通过判断与c判断大小即可得到知道三角形个数.【详解】由于,所以△ABC有两解,故选C.【点睛】本题主要考查三角形解得个数判断,难度不大.8.
(
)A.
B. C. D.
参考答案:D9.定义在R上的函数满足,(),则下面成立的是(
)
A.
B.C. D.参考答案:B略10.如图,该程序框图所输出的结果是(
)
A、32
B、62
C、63
D、64参考答案:D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知,,则线段的中点的坐标是________.参考答案:12.若函数f(x)=cosx+|2x-a|为偶函数,则实数a的值是
.参考答案:013.已知函数且,则
。参考答案:14.函数在区间上的最小值为
.参考答案:115.若△ABC的面积为,BC=2,C=,则边AB的长度等于_____________.参考答案:216.设,,,则a,b,c由小到大的顺序为
.参考答案:c<a<b【考点】不等关系与不等式;指数函数的图象与性质;对数值大小的比较.【分析】由0<sin,cos,tan<1及幂函数、指数函数、对数函数的图象或性质即可比较出a,b,c的大小.【解答】解:∵,∴0,即c<0;∵,∴0<<1,即0<a<1;∵tan>0,∴,即b>1.故c<a<b.17.不等式的解集为___________。参考答案:三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知向量(为实数).(I)时,若,求;(II)若,求的最小值,并求出此时向量在方向上的投影.参考答案:解:(I),,, (4分)
得; (6分)(II)时,, (9分)当时,, (12分)此时,在方向上的投影. (15分)略19.设数列的前项和为,已知,.⑴求的值;⑵求数列的通项公式;⑶证明:对一切正整数,有.参考答案:⑴;⑵;⑶当时,;当时,;当时,,此时=20.设方程的解集为,方程的解集为,,求参考答案:略21.若在定义域内存在实数,使得成立,则称函数有“和一点”.(1)函数是否有“和一点”?请说明理由;(2)若函数有“和一点”,求实数a的取值范围;(3)求证:有“和一点”.参考答案:(1)不存在;(2)a>﹣2;(3)见解析【分析】(1)解方程即可判断;(2)由题转化为2(x+1)+a+2x+1=2x+a+2x+2+a+2有解,分离参数a=2x﹣2求值域即可求解;(3)由题意判断方程cos(x+1)=cosx+cos1是否有解即可.【详解】(1)若函数有“和一点”,则不合题意故不存在(2)若函数f(x)=2x+a+2x有“和一点”.则方程f(x+1)=f(x)+f(1)有解,即2(x+1)+a+2x+1=2x+a+2x+2+a+2有解,即a=2x﹣2有解,故a>﹣2;(3)证明:令f(x+1)=f(x)+f(1),即cos(x+1)=cosx+cos1,即cosxcos1﹣sinxsin1﹣cosx=cos1,即(cos1﹣1)cosx﹣sinxsin1=cos1,故存在θ,故cos(x+θ)=cos1,即cos(x+θ)=cos1,即cos(x+θ),∵cos21﹣(2﹣2cos1)=cos21+2cos1﹣2<cos22cos22<0,故01,故方程cos(x+1)=cosx+cos1有解,即f(x)=cosx函数有“和一点”.【点睛】本题考查了新定义及分类讨论的思想应用,同时考查了三角函数的化简与应用,转化为有解问题是关键,是中档题22.定义:在R上的函数f(x)满足:若任意∈R,都有f()≤,则称函数f(x)是R上的凹函数.已知二次函数,(∈R,≠0).(1)当>0时,判断函数f(x)是否为R上凹函数,若是,请给出证明,若不是,说明理由.(2)如果x∈[0,1]时,|f(x)|≤1,试求实数的取值范围.参考答案:(1)函数f(x)是R上凹函数
证明如下:对任意x>0,∴[f(x)+f(x)]-2f([()]=x≥0.
∴
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