山西省大同市西韩岭中学2021年高三数学理测试题含解析

山西省大同市西韩岭中学2021年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.不等式组表示的点集记为A，不等式组表示的点集记为B，在A中任取一点P，则P∈B的概率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；几何概型．【专题】概率与统计．【分析】分别画出点集对应的区域，求出面积，利用几何概型的公式解答．【解答】解：分别画出点集A，B如图，A对应的区域面积为4×4=16，B对应的区域面积如图阴影部分面积为=（）|=，由几何概型公式得，在A中任取一点P，则P∈B的概率为；故选A．【点评】本题考查了几何概型的公式的运用；关键是画出区域，求出区域面积，利用几何概型公式求值．2.若函数在上单调递增，那么实数的取值范围是

（

）(A)

(B)

(C) (D)参考答案：3.函数的反函数（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略4.设函数f（x）=sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（）A．f（x）在（0，）单调递减 B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增 D．f（x）在（，）单调递增参考答案：C【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用辅助角公式化积，由周期求得ω，再由函数为偶函数求得φ，求出函数解析式得答案．【解答】解：f（x）=sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ﹣）．由T=，得ω=2．∴f（x）=2sin（2x+φ﹣）．又f（﹣x）=f（x），∴sin（﹣2x+φ）=2sin（2x+φ﹣）．得﹣2x+φ=2x+φ﹣+2kπ或﹣2x+φ+2x+φ﹣=π+2kπ，k∈Z．解得φ=，k∈Z．∵|φ|＜，∴φ=．∴f（x）=2sin（2x﹣）=2sin（2x﹣）=﹣2cos2x．则f（x）在（0，）单调递增．故选：C．5.已知集合，．则M∩N=（

）A.{0,1} B.{－1,0} C.{1,2} D.{－1,2}参考答案：C【分析】先解不等式求出，再求即可.【详解】由，解得，则.又，所以.故选C．6.18．在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值，其中,,则满足（

）.(A) (B) (C) (D)参考答案：D7.已知是定义在上的函数，对任意都有，若的图象关于直线对称，且，则等于（）A．5

B．4

C．3

D．2参考答案：D略8.已知函数满足，若，则的值是A．

B．2

C．

D．参考答案：C略9.设,若,则的最大值为

（）（A）

（B）2

（C）

（D）3参考答案：B10.设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={x|x-1<0}，则A∩B=A．(－∞，1) B．(－2，1) C．(－3，－1) D．(3，+∞)参考答案：A或，，∴.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.阅读下列程序框图，该程序输出的结果是

．参考答案：729【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出S=9×9×9的值．【解答】解：分析框图可得该程序的作用是计算并输出S=9×9×9的值．∵S=9×9×9=729故答案为：729【点评】要判断程序的运行结果，我们要先根据已知判断程序的功能，构造出相应的数学模型，转化为一个数学问题．12.如图放置的边长为1的正三角形PAB沿x的负半轴按逆时针方向滚动，设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系式是，否则在区间[-2，1]上的解析式是

。参考答案：

略13.已知满足约束条件，且的最小值为2，则常数k=_______．参考答案：-2联立方程解得两直线的交点为，由得直线方程，结合图象可知当直线过点时，最小，，解得．14.已知直线l：与x轴交于点A，点P在直线l上，圆：上有且仅有一个点B满足，则点P的横坐标的取值集合为

．参考答案：以AP为直径的圆与圆C相切，设，所以以AP为直径的圆圆心为，半径为，因此外切时：，内切时：，即点的横坐标的取值集合为

15.已知某锥体的三视图（单位：cm）如图所示，则该锥体的体积为

．参考答案：16.若变量满足约束条件的最小值为，则k=________.参考答案：-117.已知函数是定义在R上的奇函数,,,则不等式的解集是_____________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，△ACB，△ADC都为等腰直角三角形，M、O为AB、AC的中点，且平面ADC⊥平面ACB，AB=4，AC=2，AD=2．（1）求证：BC⊥平面ACD；（2）求二面角A﹣CD﹣M的余弦角；（3）若E为BD上一点，满足OE⊥BD，求直线ME与平面CDM所成的角的正弦值．参考答案：考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取AC中点O，连结DO，利用线面垂直的判定定理即得结论；（2）分别以OA、OM、OD为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则所求值即为平面CDM的法向量与平面ACD的法向量的夹角的余弦值的绝对值；（3）设，（0≤λ≤1），利用向量的加法法则及线段垂直的向量表示可得，利用向量数量积运算计算即可．解答： （1）证明：∵AB=4，AC=2，AD=2，∴AC⊥BC，AD⊥DC，则取AC中点O，连结DO，则DO⊥AC，∵平面ADC⊥平面ACB，DO?平面ADC，∴DO⊥平面ACB，∴DO⊥BC，∵AC⊥BC，AC∩OD=O，∴BC⊥平面ACD；（2）解：分别以OA、OM、OD为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，则A（，0，0），B（﹣，2，0），M（0，，0），C（﹣，0，0），D（0，0，），=（，，0），=（，0，），设平面CDM的法向量为=（x，y，z），由，可得，令x=1，得=（1，﹣1，﹣1），又平面ACD的法向量为=（0，1，0），∴==，∴二面角A﹣CD﹣M的余弦角为；（3）解：由E点在棱BD上，设，（0≤λ≤1），故=（0，0，）+λ（﹣，2，﹣）=（﹣λ，2λ，（1﹣λ）），由OE⊥BD，得，即2λ+8λ﹣2（1﹣λ）=0，解得，∴=（﹣，2，﹣），=（0，﹣，）+（﹣，2，﹣）=（﹣，﹣4，5），平面CDM的法向量为=（1，﹣1，﹣1），设直线ME与平面CDM所成的角为θ，∴sinθ====．点评：本题考查线面垂直的判定定理，求二面角及线面角，注意解题方法的积累，属于中档题．19.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数(m＞0)(1)证明：f(x)≥4；(2)若f(2)＞5，求m的取值范围.参考答案：【知识点】绝对值不等式的证明

N4【答案解析】综上，m的取值范围是． …10分【思路点拨】（Ⅰ）运用绝对值不等式的性质：绝对值的和不小于差的绝对值，再利用基本不等式即可证得结论；（Ⅱ）分当时和当时两种情况，分别根据，求得m的范围，再把所得m的范围取并集，即得所求。20.本小题满分12分)设数列的前项和为,且，（1）证明:数列是等比数列；（2）若数列满足，求数列的前项和为．

参考答案：(本小题满分12分)解：（1）证明：因为，则

所以当时，，

整理得．

由，令，得，解得．

所以是首项为3，公比为2的等比数列．

（2）解：因为，

由，得．

所以

Ks5u所以．

略21.已知函数的最小正周期为,且点在函数的图象上.

(1)确定函数f(x)的表达式,求f(x)取得最大值时x的取值集合；

(2)求函数f(x)的单调增区间.

参考答案：(1)依题意得……2分

将点代入得

……5分所以,当即时f(x)取得最大值,些时x的取值集合是︱

……8分(2)由得

……10分所以函数f(x)的单调增区间是

……12分22..已知抛物线的焦点为F，x轴上方的点在抛物线上，且，直线l与抛物线交于A、B两点（点A、B与M不重合），设直线MA，MB的斜率分别为，.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当时，求证：直线l恒过定点并求出该定点的坐标.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【分析】（Ⅰ）根据及抛物线定义可求p，从而得到方程；（Ⅱ）设出直线方程，与抛物线方程相联立，写出韦达定理，结合可得关系，从而得到定点坐标.【详解】