山西省大同市职业中学2022-2023学年高二数学文期末试题含解析

山西省大同市职业中学2022-2023学年高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为

A．120

B．240

C．360

D．720参考答案：B2.如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y=（x＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】67：定积分；CF：几何概型．【分析】先由积分的知识求解阴影部分的面积，然后可求试验的区域所对应的矩形的面积，由几何概率的求解公式代入可求【解答】解：本题是几何概型问题，区域E的面积为：S=2×=1+=1﹣ln=1+ln2∴“该点在E中的概率”事件对应的区域面积为1+ln2，矩形的面积为2由集合概率的求解可得P=故选C【点评】本题综合考查了反比例函数的图象，几何概型，及定积分在求面积中的应用，考查计算能力与转化思想．属于基础题．3.过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=0参考答案：A【考点】圆的切线方程；直线的一般式方程．【分析】由题意判断出切点（1，1）代入选项排除B、D，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可．【解答】解：因为过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然B、D选项不过（1，1），B、D不满足题意；另一个切点的坐标在（1，﹣1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．故选A．4.定积分等于

A．

B．

C．

D．参考答案：A略5.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象

（A）向右平移个单位长度

（B）向右平移个单位长度

（C）向左平移个单位长度

（D）向左平移个单位长度参考答案：【知识点】函数图象的应用，图象的平移变换.【答案解析】B解析：解：由图象得A=1，又函数的最小正周期为，所以，将最小值点代入函数得，解得，又，则，显然是函数f（x）用换x得到，所以是将的图象向右平移了个单位，选B.【思路点拨】由三角函数图象求函数解析式，关键是理解A，ω，φ与函数图象的对应关系，判断函数图象的左右平移就是判断函数解析式中x的变化.6.设是两条直线，是两个平面，下列能推出的是

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C略7.已知直线l1：x+（a﹣2）y﹣2=0，l2：（a﹣2）x+ay﹣1=0，则“a=﹣1”是“l1⊥l2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】直线与圆．【分析】当a=﹣1时，这两条直线的斜率之积等于﹣1，故有l1⊥l2．当l1⊥l2时，能推出a=﹣1，或a=2，不能推出a=﹣1，从而得出结论．【解答】解：当a=﹣1时，直线l1的斜率为，直线l2：的斜率为﹣3，它们的斜率之积等于﹣1，故有l1⊥l2，故充分性成立．当l1⊥l2时，有（a﹣2）+（a﹣2）a=0成立，即（a﹣2）（a+1）=0，解得a=﹣1，或a=2，故不能推出a=﹣1，故必要性不成立，故选A．【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，两条直线垂直的条件和性质，注意：当两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于0，属于基础题．8.已知定义域为正整数集的函数f(x)满足，则数列的前99项和为（

）A．－19799

B．－19797

C.－19795

D．－19793参考答案：A9.函数f（x）=x3﹣3x2+2的减区间为（）A．（2，+∞） B．（﹣∞，2） C．（﹣∞，0） D．（0，2）参考答案：D【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的单调性及单调区间．【分析】求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系解f′（x）＜0即可．【解答】解：函数的导数为f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），由f′（x）＜0得3x（x﹣2）＜0，得0＜x＜2，即函数的单调递减区间为（0，2），故选：D．10.已知i为虚数单位，，则在复平面上复数z对应的点位于(

)A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限参考答案：A【分析】利用复数的运算法则化简z，再利用复数的几何意义即可得出结论．【详解】由题知，则在复平面上复数对应的点为（1，-2），位于第四象限，故选A.【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下列命题中正确的序号是

①平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则在上的投影为．②有一底面积半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面的圆心，在这个圆柱内随机抽取一点P，则点P到O点的距离大于1的概率为．③命题：“?x∈（0，+∞），不等式cosx＞1﹣x2恒成立”是真命题．④在约束条件下，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为6，则的最大值等于．参考答案：②③考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题．分析：①根据投影公式代入求出即可判断；②根据球和圆柱的体积公式求出即可；③构造函数，求出函数的导数，得到函数的单调性，从而得到结论；④画出平面区域，结合基本不等式的性质从而求出代数式的最大值．解答： 解：①则在上的投影为：||cos60°=2×=1，故①错误；②∵到点O的距离等于1的点构成一个球面，如图，，则点P到点O的距离大于1的概率为：P====，故②正确；③构造函数h（x）=cosx﹣1+x2，h′（x）=﹣sinx+x，h″（x）=﹣cosx+1≥0，∴h′（x）在（0，+∞）上单调增∴h′（x）＞h′（0）=0，∴函数h（x）在（0，+∞）上单调增，∴h（x）＞0，∴cosx＞1﹣x2，即不等式恒成立，故③正确；④：约束条件对应的平面区域如图3个顶点是（1，0），（1，2），（﹣1，2），由图易得目标函数在（1，2）取最大值6，此时a+2b=6，∵a＞0，b＞0，∴由不等式知识可得：a+2b=6≥2，∴ab≤，当且仅当：a=2b即：a=3，b=时“=”成立，要求的最大值转化为求的最小值即可，而=+≥2=2≥2=，∴的最大值等于，故④错误，故答案为：②③．点评：本题考查了向量的运算，考查概率问题，考查函数恒成立问题，基本不等式性质的应用以及线性规划问题，是一道综合题．12.设，，是单位向量，且=+，则向量，的夹角等于

.参考答案：60°13.已知,,,,…,由此你猜想出第n个数为

。参考答案：略14.已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差为

▲

.参考答案：15.方程的根称为的不动点，若函数有唯一的不动点，且，，则_____________。参考答案：2004令得依题意∴

即

∴

∴是以1000为首次，为公差的等差数列。即

∴16.设实数满足约束条件，若目标函数的最大值为____.参考答案：317.已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形是边长为的正方形，则这个四面体的主视图的面积为________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知在等差数列{an}中，a1=﹣1，a3=3．（1）求an；（2）令bn=2an，判断数列{bn}是等差数列还是等比数列，并说明理由．参考答案：【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用等比数列的通项公式及其定义即可判断出结论．【解答】解：（1）设数列{an}的公差是d，则，故an=﹣1+2（n﹣1）=2n﹣3．（2）由（1）可得，∴是一常数，故数列{bn}是等比数列．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的定义及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.已知数列，…的前n项和为Sn.（1）计算的值，根据计算结果，猜想Sn的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的Sn表达式.参考答案：（I）

猜想

（II）①当时，左边=，右边=，猜想成立．

②假设当时猜想成立，即，那么，

所以，当时猜想也成立．

根据①②可知，猜想对任何都成立．

20.函数f（x）是定义域为R的单调增函数，且f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=log2（1+x）（1）求f（x）的解析式；（2）解关于t的不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣5）＜0．参考答案：【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质进行求解即可．（2）根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．【解答】解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣log2（1﹣x），…当x=0时，由于f（x）为奇函数，f（x）=0．综上，．…（少了x=0的情况得5分）（2）f（t2﹣2t）+f（2t2﹣5）＜0?f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣5），由于f（x）为奇函数，则f（t2﹣2t）＜f（5﹣t2），…由于f（x）在R上单调递增，则t2﹣2t＜5﹣2t2?3t2﹣2t﹣5＜0…?．…【点评】本题主要考查函数解析式的求解以及不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．21.已知函数，，其中.（1）试讨论函数的单调性及最值；（2）若函数不存在零点，求实数的取值范围.参考答案：（Ⅰ）由得：⑴当时,在单调递增，没有最大值，也没有最小值⑵若，当时,

,在单调递增当时，

,在单调递减，所以