山西省大同市同煤集团四老沟中学2022-2023学年高三数学理月考试题含解析

山西省大同市同煤集团四老沟中学2022-2023学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.欧拉公式为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案：B【分析】由欧拉公式,可得=cos2+isin2，表示的复数在复平面中的象限.【详解】解：由欧拉公式，可得=cos2+isin2，此复数在复平面中对应的点为（cos2，sin2），易得cos2＜0，sin2＞0，可得此点位于第二象限，故选B.2.若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i参考答案：B【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】设出复数z，通过复数方程求解即可．【解答】解：复数z满足2z+=3﹣2i，设z=a+bi，可得：2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i．解得a=1，b=﹣2．z=1﹣2i．故选：B．3.复数z=在复平面上对应的点位于(

) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：A考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母根据平方差公式得到一个实数，分子进行复数的乘法运算，得到最简结果，写出对应的点的坐标，得到位置．解答： 解：∵z===+i，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．故选A．点评：本题考查复数的乘除运算，考查复数与复平面上的点的对应，是一个基础题，在解题过程中，注意复数是数形结合的典型工具．4.设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得∠F1PF2=60°，|OP|=3b（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：D【分析】利用双曲线的定义与余弦定理可得到a2与c2的关系，从而可求得该双曲线的离心率．【解答】解：设该双曲线的离心率为e，依题意，||PF1|﹣|PF2||=2a，∴|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|?|PF2|=4a2，不妨设|PF1|2+|PF2|2=x，|PF1|?|PF2|=y，上式为：x﹣2y=4a2，①∵∠F1PF2=60°，∴在△F1PF2中，由余弦定理得，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|?|PF2|?cos60°=4c2，②即x﹣y=4c2，②又|OP|=3b，+=2，∴2+2+2||?||?cos60°=4||2=36b2，即|PF1|2+|PF2|2+|PF1|?|PF2|=36b2，即x+y=36b2，③由②+③得：2x=4c2+36b2，①+③×2得：3x=4a2+72b2，于是有12c2+108b2=8a2+144b2，∴=，∴e==．故选：D．【点评】本题考查双曲线的定义与余弦定理的应用，得到a2与c2的关系是关键，也是难点，考查分析问题，解决问题的能力，属于中档题．5.已知直线（为参数）与圆（为参数），则直线的倾斜角及圆心的直角坐标分别是

A.

B.

C.

D.参考答案：C直线消去参数得直线方程为，所以斜率，即倾斜角为。圆的标准方程为，圆心坐标为，所以选C.6.已知等差数列的公差为不为0，等比数列的公比是小于1的正有理数，若，且是正整数，则的值可以是

A.

B.-

C.

D.参考答案：C由题意知，，所以，因为是正整数，所以令，为正整数。所以，即，解得，因为为正整数，所以当时，。符合题意，选C.7.若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为（）A．﹣6 B．﹣2 C．﹣1 D．3参考答案：B【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：变量x，y满足约束条件的可行域如图：由z=x﹣2y得y=x﹣z，平移直线y=x﹣z，由图象可知当直线y=x﹣z，过点A时，直线y=x﹣z的截距最大，此时z最小，由得A（2，2），代入目标函数z=x﹣2y，得z=2﹣4=﹣2．∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．8.6个人排成一排，其中甲、乙两人中间至少有一人的排法有（）A．480种 B．720种 C．240种 D．360种参考答案：A【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】所有的排法共有种，其中甲乙二人相邻的排法有?种，相减即得甲、乙两人中间至少有一人的排法．【解答】解：所有的排法共有=720种，其中甲乙二人相邻的排法有?=240种，故甲、乙两人中间至少有一人的排法有720﹣240=480种，故选A．【点评】本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，相邻的问题用捆绑法，属于中档题．9.已知平面向量，则实数等于A．

B．C．

D．参考答案：A10.在中，角A、B、C的对边分别为a,b,c,则等于A、

B、

C、

D、参考答案：【知识点】正弦定理，解三角形.C8【答案解析】B解析：解：根据正弦定理可得【思路点拨】根据正弦定理可求出角B的正弦值，再根据边的关系可求出角的大小.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则=

.参考答案：12.已知双曲线上一点，过双曲线中心的直线交双曲线于A、B两点，记直线AC、BC的斜率分别为，当最小时，双曲线离心率为

参考答案：

【知识点】双曲线的简单性质．H6解析：设A（x1，y1），C（x2，y2），由题意知点A，B为过原点的直线与双曲线的交点，∴由双曲线的对称性得A，B关于原点对称，∴B（﹣x1，﹣y1），∴k1k2=?=，∵点A，C都在双曲线上，∴﹣=1，﹣=1，两式相减，可得：k1k2=＞0，对于=+ln|k1k2|，函数y=+lnx（x＞0），由y′=﹣+=0，得x=0（舍）或x=2，x＞2时，y′＞0，0＜x＜2时，y′＜0，∴当x=2时，函数y=+lnx（x＞0）取得最小值，∴当+ln（k1k2）最小时，k1k2==2，∴e==．故答案为：．【思路点拨】设A（x1，y1），C（x2，y2），由双曲线的对称性得B（﹣x1，﹣y1），从而得到k1k2=?=，再由构造法利用导数性质能求出双曲线的离心率．13.对于，有如下命题：①若，则为等腰三角形；②若，则为直角三角形；③若，则为钝角三角形.其中正确命题的序号是

参考答案：③14.执行如图所示的程序框图，则输出的k=．参考答案：4略15.已知函数f（x）=mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数，则实数m范围为

．参考答案：【考点】函数单调性的性质．【专题】计算题．【分析】求出f′（x）=2mx+﹣2，因为函数在定义域内是增函数，即要说明f′（x）大于等于0，分离参数求最值，即可得到m的范围．【解答】解：求导函数，可得f′（x）=2mx+﹣2，x＞0，函数f（x）=mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数，所以f′（x）≥0成立，所以2mx+﹣2≥0，x＞0时恒成立，所以，所以﹣2m≤﹣1所以m≥时，函数f（x）在定义域内是增函数．故答案为．【点评】考查学生利用导数研究函数单调性的能力，会找函数单调时自变量的取值范围，属于基础题16.在正三棱锥S-ABC中，侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，且侧棱，则正三棱锥外接球的表面积为___________.参考答案：36略17.在二项式的展开式中，常数项等于．参考答案：160【考点】二项式定理．【分析】展开式的通项为=，要求常数项，只要令6﹣2r=0可得r，代入即可求【解答】解：展开式的通项为=令6﹣2r=0可得r=3常数项为=160故答案为：160三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题15分）已知函数，其中a＞0（1）a=2时，求函数在x∈(-1,6)上的值域（2）若函数在x∈(-1,6)上既有最大值又有最小值，求a的范围参考答案：（1），时，时，，值域（2），即

（如图）

要使函数f(x)在区间(-1,6)内既有最大值又有最小值，则最小值一定在x=a时取得，最大值在时取得……10分而f(a)=－a2,所以

………13分解得4≤a＜6

………15分19.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且.⑴求数列的通项公式；⑵设，求使对任意恒成立的实数的取值范围.参考答案：：⑴时，

………1分时，.所以数列是以为首项，公比为的等比数列

.………4分（）

.………6分⑵……8分对恒成立，即对恒成立设，则当或时，取得最小值为.

……12分20.(本小题满分13分)已知函数，（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极值．参考答案：函数的定义域为…………1分（1）当时＝……3分∴，∴曲线在点处的切线方程为即……6分（2）…………7分①当时，，函数为上的减函数，∴无极值……9分②当时，由解得又当时，当时，…………11分∴在处取得极小值，且极小值为………12分综上，当时，无极值当时，在处取得极小值，无极大值…13分21.已知点是椭圆E：（）上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，轴．（1）求椭圆的方程；（2）设、是椭圆上两个动点，．求证：直线的斜率为定值；ks5u参考答案：解：（Ⅰ）∵PF1⊥x轴，∴F1（-1，0），c=1，F2（1，0），|PF2|=，2a=|PF1|+|PF2|=4，a=2，b2=3，椭圆E的方程为：；ks5u（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2），由得（x1+1，y1-）+（x2+1，y2-）=（1,-），所以x1+x2=-2，y1+y2=（2-）………①又，，两式相减得3（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0………．．②以①式代入可得AB的斜率k=为定值；略22.（本题满分14分）本大题共有2小题，