山西省大同市煤矿集团公司煤峪口矿第五中学2023年高三数学文模拟试卷含解析

山西省大同市煤矿集团公司煤峪口矿第五中学2023年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为（

）A．

B．

C.

D．12π参考答案：C如图所示，在长宽高分别为的长方体中，为其所在棱的中点，三视图对应的几何体为图中的三棱锥，将其补形为三棱柱，取的中点，取的中点，由题意可知，为外接球球心，且：，外接球的体积：.本题选择C选项.

2.定义域为R的函数，若关于的函数有5个不同的零点，则等于

（

）A．

B．16

C．

5

D．15参考答案：D3.的三内角的对边分别为，且满足，则的形状是（

）A、正三角形

B、等腰三角形

C、等腰直角三角形

D、等腰三角形或直角三角形参考答案：D略4.已知函数，则（

）A.f(x)的图象关对称 B.f(x)的图象关于(2,0)对称C.f(x)在(1,3)上单调递增 D.f(x)在(1,3)上单调递减参考答案：A【分析】研究函数的单调性，对称性即可得出结论．【详解】解：因为函数所以解得函数的定义域为，，令，可知在上单调递增，上单调递减，且在定义域上单调递增，由复合函数单调性判断方法：同増异减，可知的增区间为，减区间为，故，均错误；因为是偶函数，所以关于轴对称；故选：．【点睛】本题考查了复合函数的单调性、对称性的应用，属于中档题．5.实数x，y满足，则最大值为

A.3

B.5

C.

D.参考答案：B画出表示的可行域，如图，化简，表示可行域内与原点连接的斜率，由，得，最大值为，的最大值为，即最大值为，故选B.

6.已知命题q：?x∈R，x2+1＞0，则?q为（）A．?x∈R，x2+1≤0 B．?x∈R，x2+1＜0 C．?x∈R，x2+1≤0 D．?x∈R，x2+1＞0参考答案：C【考点】命题的否定；全称命题．【分析】本题中的命题是一个全称命题，其否定是特称命题，依据全称命题的否定书写形式写出命题的否定即可【解答】解：∵命题q：?x∈R，x2+1＞0，∴命题q的否定是“?x∈R，x2+1≤0”故选C．【点评】本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，书写时注意量词的变化．7.若不等式的解集是区间的子集，则实数的取值范围是（

）A．

B．C．

D．参考答案：D略8.已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=(

)A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） C．（﹣1，4） D．（1，4）参考答案：A【考点】平面向量的坐标运算．【专题】平面向量及应用．【分析】顺序求出有向线段，然后由=求之．【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），则向量==（﹣7，﹣4）；故答案为：A．【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒．9.已知正项等比数列{an}满足，若存在两项，，使得，则的最小值为（

）A． B． C． D．参考答案：B设正项等比数列的公比为，且，由，得，化简得，解得或（舍去），因为，所以，则，解得，所以，当且仅当时取等号，此时，解得，因为，取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则，验证可得，当，时，取最小值为，故选B．10.函数的图象大致是参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设，若函数g（x）=f（x）﹣ax﹣1有4不同的零点，则a的取值范围为．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．【分析】利用分段函数判断x≥1时，y=ax+1与y=f（x）交点的个数，利用导函数的几何意义求解即可．【解答】解：，若函数g（x）=f（x）﹣ax﹣1有4不同的零点，就是方程f（x）=ax+1有4不同的根，就是函数y=f（x）与y=ax+1有4个交点，因为y=ax+1恒过（0，1），而y=f（x）在x＜1时，x=0时最大值为1，所以y=ax+1在x≥1时，与y=lnx有两个交点，才满足题意．又y′=，设切点坐标（m，n），可得=，解得n=2，即lnm=2，解得m=e2，此时y=ax+1在x≥1时，与y=lnx有1个交点，所以0＜a．故答案为：．【点评】本题考查函数与方程的应用，切线方程以及函数的零点个数的求法，考查分析问题解决问题的能力．12.如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，若，则_________.参考答案：.【分析】由题意可得，从而由，解得λ+μ．【详解】∵AB＝2，∠ABC＝60°，∴BH＝1，∴，∴λμ，，故λ，μ，故λ+μ；故答案为：．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用．13.若集合，且，则实数的值为___________.参考答案：4略14.如果一个实数数列满足条件：（为常数，），则称这一数列为“方等差数列”，称为“方公差”。给出下列关于某个方等差数列的结论：①对于任意的首项，若<0,则这一数列必为有穷数列；②当>0,>0时，这一数列必为单调递增数列；③这一数列可以是一个周期数列；④若这一数列的首项为1，方公差为3，可以是这一数列中的一项；⑤若这一数列的首项为0，第三项为1，则这一数列的的第二项必为。其中正确结论的序号是--__________.（写出所有正确结论的序号）参考答案：①③①由可知单调递减，又故必只能运算有限次，故①正确；②故可为负值，故②错误；③当的常数列满足条件，故③正确；

通过运算可知④⑤错误；故填①③.15.在直角坐标平面中，的两个顶点A、B的坐标分别为A，B（1，0）平面内两点、同时满足下列条件:①

②

③

则的顶点的轨迹为，都在曲线上，定点的坐标为，已知∥

,

∥且·=0，则四边形PRQN面积S的最大值为

____________.参考答案：．216.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则c=________.参考答案：3由余弦定理，因为，，有，解得.试题立意：本小题考查正余弦定理，解三角形等基础知识；考查运算求解能力，化归与转化思想.17.在中，已知分别为，，所对的边，为的面积．若向量满足，则=

．参考答案：无略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=﹣alnx+（a+1）x﹣x2（a＞0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥﹣x2+ax+b恒成立，求实数ab的最大值．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f（x）的导数，通过a=1，0＜a＜1，a＞1的讨论，从而求出函数的单调区间；（2）由题意可得alnx﹣x+b≤0恒成立，令g（x）=alnx﹣x+b，求出导数，确定函数的单调性，可得函数的最值，即可得到结论．【解答】解：（1）f′（x）=﹣+a+1﹣x=﹣，（a＞0，x＞0），①a=1时，f′（x）=﹣≤0，∴f（x）在（0，+∞）递减；②0＜a＜1时，由f′（x）＞0，解得：a＜x＜1，∴f（x）在（a，1）递增，在（0，a），（1，+∞）递减；③a＞1时，同理f（x）在（1，a）递增，在（0，1），（a，+∞）递减；（2）∵f（x）≥﹣x2+ax+b恒成立，∴alnx﹣x+b≤0恒成立，令g（x）=alnx﹣x+b，则g′（x）=，∴g（x）在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减．∴g（x）max=g（a）=alna﹣a+b≤0，∴b≤a﹣alna，∴ab≤a2﹣a2lna，令h（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则h′（x）=x（1﹣2lnx）∴h（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴h（x）max=h（）=e﹣eln=，∴ab≤．即ab的最大值为．19.私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：年龄（岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75]频数510151055赞成人数469634（Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；（Ⅱ）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，再记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．参考答案：【分析】（Ⅰ）由已知求出各组的频率和纵坐标，由此能作出被调查人员的频率分布直方图．（Ⅱ）由表知年龄在[15，25）内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25，35）内的有10人，不赞成的有4人，由此利用互斥事件概率计算公式能求出恰有2人不赞成的概率．（Ⅲ）ξ的所有可能取值为：0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由已知得各组的频率分别是：0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1，∴图中各组的纵坐标分别是：0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01，由此能作出被调查人员的频率分布直方图，如右图：（Ⅱ）由表知年龄在[15，25）内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25，35）内的有10人，不赞成的有4人，∴恰有2人不赞成的概率为：P（ξ=2）=+=．…（7分）（Ⅲ）ξ的所有可能取值为：0，1，2，3，…（6分）P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=3）==，所以ξ的分布列是：…（10分）ξ0123P所以ξ的数学期望Eξ=．…（12分）【点评】本题考查频率分布直方图的作法，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．20.已知命题方程在上有解；命题只有一个实数满足不等式，若命题“”是假命题，求的取值范围．参考答案：解：由题意知．若正确，的解为或．

若方程在上有解，只需满足或．即．

若正确，即只有一个实数满足，则有即．

若是假命题，则都是假命题，

有所以的取值范围是．略21.（本题满分12分）

已知数列的前项和为，向量,,满足条件,且.（I）求数列的通项公式；（II）设函数，数列满足条件，(i)求数列的通项公式；(ii)设，求数列的前和.参考答案：【知识点】数列的求和．D4（I）;（II）;

解析：（Ⅰ）因为所以.

当时，

.................（2分）

当时，，满足上式

所以

........................（4分）（Ⅱ）（ⅰ）

，又

是以2为首项3为公差的等差数列

......................................（8分）

（ⅱ）

?

?

?-?得