山西省大同市张西河中学2022-2023学年高三数学理期末试卷含解析

山西省大同市张西河中学2022-2023学年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是两个不同平面，直线，则“”是“”的（

）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A2.在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=(

)A． B． C． D．参考答案：A【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．【专题】解三角形．【分析】利用正弦定理化简已知的等式，根据sinB不为0，两边除以sinB，再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出sinB的值，即可确定出B的度数．【解答】解：利用正弦定理化简已知等式得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，∵sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB=，∵a＞b，∴∠A＞∠B，即∠B为锐角，则∠B=．故选A【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．3.在等比数列中，若，与的等比中项为，则的最小值为

（

） A．4 B． C．8 D．16参考答案：C4.在△ABC中，D是BC中点，E是AB中点，CE交AD于点F，若，则λ+u=（）A． B． C． D．1参考答案：B【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由于本题是选择题，不妨设△ABC为等边三角形，由题意可得F是△ABC的重心，即可得到==﹣+，继而求出λ，μ的值，问题得以解决．【解答】解：不妨设△ABC为等边三角形，D是BC中点，E是AB中点，CE交AD于点F，∴F是△ABC的重心，∴==（+）=（+﹣）=﹣+，∵，∴λ=﹣，μ=，∴λ+μ=，故选：B．5.一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h的值为（

） A．

B． C．

D．参考答案：B略6.下列三个数：a=ln﹣，b=lnπ﹣π，c=ln3﹣3，大小顺序正确的是(

) A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．a＜c＜b D．b＞a＞c参考答案：A考点：对数值大小的比较．专题：计算题；导数的综合应用．分析：由题意设f（x）=lnx﹣x（x＞0），求导判断函数的单调性，从而比较大小．解答： 解：设f（x）=lnx﹣x，（x＞0），则f′（x）=﹣1=；故f（x）在（1，+∞）上是减函数，且＜3＜π，故ln﹣＞ln3﹣3＞lnπ﹣π，即a＞c＞b；故选A．点评：本题考查了导数的综合应用及利用单调性比较函数值域的大小，属于基础题．7.设，，则下述关系式正确的是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D考点：对数函数的运算.【方法点睛】本题主要考查的是利用对数函数的换底公式对对数进行变形，换成同底对数再利用单调性比较，属于中档题，因此可分别对，可发现，又，故可得到的大小关系，所以正确运用对数的换底公式是解题的关键.8.右图是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y关于测试序号的函数图像，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出下列结论：①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升．其中正确结论的个数为（

）A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：D 通过函数图象，可以看出①②③均正确.故选D.

9.已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），且a3+a6+a10+a13=32，若am=8，则m为(

) A．12 B．8 C．6 D．4参考答案：B考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：根据a3+a6+a10+a13中各项下标的特点，发现有3+13=6+10=16，优先考虑等差数列的性质去解．解答： 解：a3+a6+a10+a13=32即（a3+a13）+（a6+a10）=32，根据等差数列的性质得2a8+2a8=32，a8=8，∴m=8故选：B．点评：本题考查了等差数列的性质．掌握等差数列的有关性质，在计算时能够减少运算量，凸显问题的趣味性．10.若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是A．B．C．7D．6参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设对任意实数，关于的方程总有实数根，则的取值范围是.参考答案：[0,1]12.记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知，，则_______.参考答案：【分析】设等比数列的公比为，将已知条件等式转化为关系式，求解即可.【详解】设等比数列的公比为，，.故答案为:.【点睛】本题考查等比数列通项的基本量运算，属于基础题.13.已知函数的零点的个数是

个。参考答案：214.已知中的内角为，重心为，若，则

.参考答案：略15.函数的最小正周期是

．参考答案：16.在的展开式中，的系数是

．（用数字作答）参考答案：略17.已知且满足，则的最小值为

▲

．参考答案：18略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某校对参加高校自主招生测试的学生进行模拟训练，从中抽出N名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．已知成绩在区间内的学生人数为2人．（1）求N的值并估计这次测试数学成绩的平均分和众数；参考答案：解答： 解：（1）由频率分布直方图可知，成绩在区间内的频率为0.005×10=0.05，所以，利用中值估算抽样学生的平均分：45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72．所以，估计这次考试的平均分是7．由频率分布直方图可知，成绩分布在间的频率最大，所以众数的估计值为区间的中点值7…（注：这里的众数、平均值为估计量，若遗漏估计或大约等词语扣一分）【题文】己知f（x）=ex﹣alnx﹣a，其中常数a＞0．（1）当a=e时，求函数f（x）的极值；（2）若函数y=f（x）有两个零点x1，x2（0＜x1＜x2），求证：＜a；（3）求证：e2x﹣2﹣ex﹣1lnx﹣x≥0．【答案】【解析】考点：利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出a=e的函数的导数，求出单调区间，即可求得极值；（2）先证明：当f（x）≥0恒成立时，有0＜a≤e成立．若，则f（x）=ex﹣a（lnx+1）≥0显然成立；若，运用参数分离，构造函数通过求导数，运用单调性，结合函数零点存在定理，即可得证；（3）讨论当a=e时，显然成立，设，求出导数，求出单调区间可得最大值，运用不等式的性质，即可得证．解答： 解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），（1）当a=e时，f（x）=ex﹣elnx﹣e，，而在（0，+∞）上单调递增，又f′（1）=0，当0＜x＜1时，f′（x）＜f'（1）=0，则f（x）在（0，1）上单调递减；当x＞1时，f′（x）＞f'（1）=0，则f（x）在（1，+∞）上单调递增，则f（x）有极小值f（1）=0，没有极大值；

（2）先证明：当f（x）≥0恒成立时，有0＜a≤e成立．若，则f（x）=ex﹣a（lnx+1）≥0显然成立；若，由f（x）≥0得，令，则，令，由得g（x）在上单调递增，又g（1）=0，所以φ′（x）在上为负，在（1，+∞）上为正，因此φ（x）在上递减，在（1，+∞）上递增，即有φ（x）min=φ（1）=e，从而0＜a≤e．因而函数y=f（x）若有两个零点，则a＞e，即有f（1）=e﹣a＜0，由f（a）=ea﹣alna﹣a（a＞e）得f'（a）=ea﹣lna﹣2，则，则f′（a）=ea﹣lna﹣2在（e，+∞）上单调递增，即有f′（a）＞f'（e）=ee﹣3＞e2﹣3＞0，则有f（a）=ea﹣alna﹣a在（e，+∞）上单调递增，则f（a）＞f（e）=ee﹣2e＞e2﹣2e＞0，则f（1）f（a）＜0，则有1＜x2＜a；由a＞e得，则，所以，综上得．

（3）证明：由（2）知当a=e时，f（x）≥0恒成立，所以f（x）=ex﹣elnx﹣e≥0，即f（x）=ex﹣elnx≥e，设，则，当0＜x＜1时，h′（x）＞0，所以h（x）在（0，1）上单调递增；当x＞1时，h′（x）＜0，所以h（x）在（1，+∞）上单调递减，所以的最大值为，即，因而，所以，即f（x）=e2x﹣2﹣ex﹣1lnx﹣x≥0．点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，主要考查函数的单调性的运用，以及不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题和易错题．19.设，.（1）求的取值范围；（2）设，试问当变化时，有没有最小值，如果有，求出这个最小值，如果没有，说明理由.参考答案：

略20.（12分）已知向量，（1）求的最小正周期及对称中心；

（2）求在上的值域；（3）令，若的图像关于原点对称，求的值。参考答案：略21.（本小题满分13分）在△中，已知．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，△的面积是，求．参考答案：（Ⅰ）解：由，得．

……3分所以原式化为．

…………4分

因为，所以，所以．

…………6分

因为，所以．

…………7分

（Ⅱ）解：由余弦定理，得．………9分

因为，，

所以．

…………11分因为，

所以.

………13分

略22.在平面直角坐标系中，已知分别是双曲线的左、右焦点，双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且过点