关于生产与贮存的模型控制

关于生产与贮存的模型控制

问题提出

一家集生产，销售于一体的公司，希望生产率和贮存量都尽量稳定在预先设定的水平上，如果销售量可以预测，公司需要指定一个根据贮存量控制生产率的策略。

（1）

以在一定时间T内生产率和贮存量与设定值误差的（加权）平方和最小为目标，给出泛函极值问题。

（2）

设销售量为常数，求出最优解，并在T很大的情况下给出生产率和贮存量之间的关系。

问题分析

对于本题，可以根据题目的相关要求先列出目标函数，对于给出的泛函极值问题，利用变分法来解决生产与贮存的泛函极值问题，从而建立一个根据贮存量控制生产率的模型。根据相关的假设和考虑到的实际情况,得出贮存量的最优状态方程和生产率的最优控制方程，并且由求得的这两个方程进一步得出在稳定情形下生产率和贮存量之间的关系。建立模型

在[0,T]内,记时刻t的贮存量为x（t），生产率(即单位时间的产量)和销

售量分别为u（t）和V（t），则它们应满足：

（1）

其中V（t）在每个时刻是可以预测的。

假设预先设定的生产率（即单位时间产量）和贮存量分别为u0和x0，使生产率u（t）和贮存量x（t）尽量分别稳定在u0和x0的水平上，建立模型

用数学式子可以表示为，求控制函数u（t）使

（2）

达到最小值，其中T是任意给定时间，α是加权因子，用来调节u（t）和x（t）稳定二者之间的重要程度，并应具有时间倒数的量纲，即随着时间t的增大α则随之减小。（2）式称为二次型目标函数。建立模型

在（1）（2）中贮存量x（t）是状态函数，为确定起见不妨设t=0,t=T时贮存量为零，即：

（3）

另外实际上对生产率和贮存量都会有所限制，不妨记作：

（4）

问题归结为在约束条件（1），（3），（4）下求使（2）式之泛函J达到最小值。

从（1）式中解出u（t）代入（2）式，并将其写成X（t），的泛函

（5）建立模型

暂不考虑条件（4），则（3），（5）构成一个固有端点的泛函极值问题，可用变分法求解。得到最优解X(t),再代入方程（1）中即可得到最优控制函数。

当销售量为常数时,

为简化求解过程，设

（6）

下面我们用变分法求方程（5）的最优解。

令：

以（6）式代入（5）式，根据欧拉方程

可以得到最优解x（t）应满足方程：

即：

（7）建立模型

设方程（7）的解为

则显然，

根据初值（3）可解得

,

所以方程（7）在端点条件（3）下的解为：

（8）

把（8）代入（1）可得：

（9）

上述两式分别为最优状态函数和最优控制函数。

建立模型

为了研究最优解u（t）和x（t）之间的关系，由(9)和（8）两式可以得到:

（10）

令T→∞,则对任意有限的t，上式右端组后一项趋于零，于是有：

（11）

最后考察约束条件（4），利用双曲函数

,

建立模型

可以将(8)(9)两式重新表示为：

（12）

（13）

根据（12）(13)式下图画出了最优解x（t）和u（t）的示意图

建立模型

由图可以看出可以看出，只要

就有

即x（t）满足条件（4）。

而给出的参数Xm，X0自然应该有

另一方面，因为：

所以只要：

有：

建立模型

在这样的条件下(8)(9)两式给出的x（t），u（t）也是考虑到约束条件（4）的原问题的最优解，因为在约束条件的边界上泛函极值问题（3）（5）不可能得到优于(8)(9)的解。但是，如果(8)(9)表示的x（t），u（t）越出了条件（4）的限制，模型求解将会变得十分复杂，变分法会无能为力。

模型的评价

优点：从此模型中我们可以根据状态x(贮存量)直接控制函数u(生产率)，而不涉及自变量t（时间），并且当x增加时u减少，这种控制方式称为状态负反馈，它比形如（9）式的显含t的控制函数应用起来方便得多，因为只需要根据