高中数学北师大版第一章数列等差数列 2023版第1章数列的概念

§1数列1．1数列的概念1．了解数列通项公式的概念．2．能根据通项公式确定数列的某一项．(重点)3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．(重、难点)[基础·初探]教材整理1数列的基本概念阅读教材P3～P4，完成下列问题．1．数列的有关概念数列按一定次序排列的一列数叫做数列项数列中的每一个数叫作这个数列的项首项数列的第1项常称为首项通项数列中的第n项an叫数列的通项2.数列的表示(1)一般形式：a1，a2，a3，…，an，…；(2)字母表示：上面数列也记为{an}．3．数列的分类分类标准名称含义举例按项的个数有穷数列项数有限的数列1,2,3,4，…，n无穷数列项数无限的数列1,4,9，…，n2，…判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)1,2，－2,5，－3可以构成数列．()(2)1,2,3,4,5,6,7是无穷数列．()(3)数列中的项不能相等．()【解析】(1)由数列的概念知该列数可以构成数列．(2)是有穷数列，要表示无穷数列，应把“…”放在“7”(3)由数列的概念知，数列中的项可以相等．【答案】(1)√(2)×(3)×教材整理2通项公式阅读教材P5“抽象概括”以下至“例1”以上的内容，完成下列问题．1．如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式．2．数列可以看作是定义域为正整数集N＋(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．(1)数列{an}的通项公式为an＝3n2＋2n＋1，则数列中的第4项为________．(2)若数列的通项公式为an＝2n－1，则an＋1＝________.【解析】(1)当n＝4时，a4＝3×42＋2×4＋1＝57.【答案】57(2)an＋1＝2(n＋1)－1＝2n＋1.【答案】2n＋1[小组合作型]数列的概念下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？(1){0,1,2,3,4}；(2)0,1,2,3,4；(3)所有无理数；(4)1，－1,1，－1,1，－1，…；(5)6,6,6,6,6.【精彩点拨】根据数列的相关概念逐一判断．【尝试解答】(1)是集合，不是数列．(3)不能构成数列，因为无法把所有的无理数按一定顺序排列起来．(2)(4)(5)是数列，其中(4)是无穷数列，(2)(5)是有穷数列．解决此类问题的方法是根据数列的定义及所含项数的多少与项的变化情况确定．[再练一题]1．下列说法正确的是()A．1,2,3,4，…，n是无穷数列B．数列3,5,7与数列7,5,3是相同数列C．同一个数在数列中不能重复出现D．数列{2n＋1}的第6项是13【解析】A错误，数列1,2，…，n，共n项，是有穷数列．B错误，数列是有序的．C错误，数列中的数可以重复出现．D正确，当n＝6时，2×6＋1＝13.【答案】D根据数列的前n项写出数列的通项公式写出下列数列的一个通项公式：(1)eq\r(3)，3，eq\r(15)，eq\r(21)，3eq\r(3)，…；(2),,,9，…；(3)eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，－eq\f(5,8)，eq\f(13,16)，－eq\f(29,32)，…；(4)2，－eq\f(4,5)，eq\f(1,2)，－eq\f(4,11)，….【精彩点拨】分析各数列中项与项之间的关系规律，根据各项的结构特点，归纳出一般性的结论，然后通过验算，得出正确的答案．【尝试解答】(1)数列可化为eq\r(3)，eq\r(9)，eq\r(15)，eq\r(21)，eq\r(27)，…，即eq\r(3×1)，eq\r(3×3)，eq\r(3×5)，eq\r(3×7)，eq\r(3×9)，….每个根号里面可分解成两个数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1，故原数列的一个通项公式为an＝eq\r(32n－1)＝eq\r(6n－3).(2)原数列可变形为1－eq\f(1,10)，1－eq\f(1,102)，1－eq\f(1,103)，1－eq\f(1,104)，…，故所给数列的一个通项公式为an＝1－eq\f(1,10n).(3)这个数列各项的绝对值为eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(5,8)，eq\f(13,16)，eq\f(29,32)，….分别考虑分子、分母，且(－1)n具有转换符号的作用，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n·eq\f(2n－3,2n).(4)使各项分子都为4，变为eq\f(4,2)，－eq\f(4,5)，eq\f(4,8)，－eq\f(4,11)，….再给分母分别加1，又变为eq\f(4,3)，－eq\f(4,6)，eq\f(4,9)，－eq\f(4,12)，….所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n＋1·eq\f(4,3n－1).用观察归纳法写出一个数列的通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律，具体可参考以下几个思路：(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等．(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的关系．(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(－1)k处理符号．(4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．[再练一题]2．写出下列数列的一个通项公式：【导学号：47172000】(1)1，－3,5，－7,9，…；(2)eq\f(22－1,2)，eq\f(32－1,3)，eq\f(42－1,4)，eq\f(52－1,5)；(3)eq\f(3,2)，1，eq\f(7,10)，eq\f(9,17)，….【解】(1)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…是连续的正奇数，且数列的奇数项为正，偶数项为负，考虑(－1)n＋1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n＋1·(2n－1)．(2)这个数列的前4项的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去1，所以它的一个通项公式是an＝eq\f(n＋12－1,n＋1)＝eq\f(n2＋2n,n＋1).(3)将数列统一为eq\f(3,2)，eq\f(5,5)，eq\f(7,10)，eq\f(9,17)，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1；对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16，…即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，所以它的通项公式是an＝eq\f(2n＋1,n2＋1).[探究共研型]通项公式的应用探究1观察数列1，eq\f(1,3)，eq\f(1,5)，eq\f(1,7)，…中的每一项与这一项的序号存在怎样的关系？eq\f(1,24)是该数列中的项吗？【提示】an＝eq\f(1,2n－1)，令eq\f(1,2n－1)＝eq\f(1,24)，解得n＝eq\f(25,2)不是整数，故eq\f(1,24)不是该数列中的项．探究2已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(2n＋1)，你能求出a7的值吗？a7与an有什么关系？a7的值是多少？【提示】可以求出a7的值，a7是an中n取7时对应的项．a7＝(－1)7－1·(2×7＋1)＝15.已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(4,n2＋3n).(1)写出数列第四项及第六项；(2)判断eq\f(1,10)和eq\f(16,27)是不是它的项？如果是，是第几项？【精彩点拨】(1)将n＝4,6代入an即可．(2)若某个数是数列中的项，则通项公式中存在正整数n使等式成立，否则不成立．【尝试解答】(1)∵an＝eq\f(4,n2＋3n)，∴a4＝eq\f(4,42＋3×4)＝eq\f(1,7)，a6＝eq\f(4,62＋3×6)＝eq\f(2,27).(2)令eq\f(4,n2＋3n)＝eq\f(1,10)，则n2＋3n－40＝0.解得n＝5或n＝－8，因为n∈N＋，故将n＝－8舍去．所以eq\f(1,10)是该数列的第五项．令eq\f(4,n2＋3n)＝eq\f(16,27)，则4n2＋12n－27＝0，解得n＝eq\f(3,2)或n＝－eq\f(9,2)，又n∈N＋，所以eq\f(16,27)不是此数列中的项．通项公式的简单应用主要包括以下两个方面：(1)由通项公式写出数列的第几项．就是把n的值代入通项公式进行计算，相当于函数中，已知函数解析式和自变量求函数值．(2)判断一个数是否为该数列中的项．其方法是由an等于这个数解出n，根据n是否为正整数便可确定这个数是否为数列中的项．[再练一题]3．已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.(1)写出数列的第4项和第6项；(2)问－49是否是该数列的项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的项呢？【解】(1)a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60.(2)由3n2－28n＝－49解得n＝7或n＝eq\f(7,3)(舍)，所以－49是该数列的第7项；由3n2－28n＝68解得n＝－2或n＝eq\f(34,3)，均不合题意，所以68不是该数列的项.1．下列叙述正确的是()A．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列C．数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n)))的第k项是1＋eq\f(1,k)D．数列0,2,4,6,8，…，可表示为an＝2n(n∈N＋)【解析】A中{1,3,5,7}为集合不是数列，B中两个数列相同的条件为：①两个数列各项相同，②各项的排列次序相同，故B中两个数列为不同的数列，D中an＝2n(n∈N＋)的首项为2不是0.【答案】C2．数列－1，eq\f(8,5)，－eq\f(15,7)，eq\f(24,9)，…的一个通项公式是()A．an＝(－1)n·eq\f(n2＋n,2n＋1)B．an＝(－1)n·eq\f(n2＋3,2n－1)C．an＝(－1)n·eq\f(n＋12－1,2n－1)D．an＝(－1)n·eq\f(nn＋2,2n＋1)【解析】原数列可变形为－eq\f(3,3)，eq\f(8,5)，－eq\f(15,7)，eq\f(24,9)，…，∴分母应为2n＋1，排除B，C，验证知选D.【答案】D3．已知数列{n(n－2)}，那么下列各数中是该数列项的是()【导学号：47172023】A．1 B．36C．－48 D．－1【解析】分别令n(n－2)＝1,36，－48，－1验证．当n(n－2)＝－1时，n＝1