高中数学人教A版1第二章圆锥曲线与方程 全国优质课

2023学年山东省济南市历城二中高一（下）开学数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若p：∀x∈R，sinx≤1，则（）A．¬p：∃x0∈R，sinx0＞1 B．¬p：∀x∈R，sinx＞1C．¬p：∃x0∈R，sinx0≥1 D．¬p：∀x∈R，sinx≥12．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x+y≥4”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知双曲线的实轴长为2，焦距为4，则该双曲线的渐近线方程是（）A．y=±3x B． C． D．y=±2x4．在△ABC中，内角A、B的对边分别是a、b，若，则△ABC为（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S5=30，则a7+a8+a9=（）A．27 B．36 C．42 D．636．下列命题中，真命题的个数为（）①若a，b，c∈R则“a＞b”是“ac2＞bc2”成立的充分不必要条件；②若椭圆+=1的两个焦点为F1，F2，且弦AB过点F1，则△ABF2的周长为20．③若命题“￢p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；④若命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0．A．1 B．2 C．3 D．47．已知，给出下列四个结论：①a＜b②a+b＜ab③|a|＞|b|④ab＜b2其中正确结论的序号是（）A．①② B．②④ C．②③ D．③④8．设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则z的最小值为（）A．﹣3 B．﹣6 C．3 D．69．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上，且，则A点的横坐标为（）A． B．4 C．3 D．210．已知P是△ABC内的一点（不含边界），且•=2，∠BAC=30°若△PBC，△PAB，△PCA的面积分别为x，y，z，记h（x，y，z）=++，则h（x，y，z）的最小值为（）A．26 B．32 C．36 D．4811．已知点P为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右支上一点，F1，F2为双曲线的左、右焦点，使（+）（﹣）=0（O为坐标原点），且||=||，则双曲线离心率为（）A． B．+1 C．+1 D．12．设椭圆+=1的左右交点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足•=9，则||•||的值为（）A．8 B．10 C．12 D．15二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．过（3，2）点的直线与坐标轴的正半轴交于A，B两点，△AOB面积的最小值．14．已知抛物线x2=4y的焦点F和点A（﹣1，8），点P为抛物线上一点，则|PA|+|PF|的最小值为．15．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是．16．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，其中a2=2，a5=16，则的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.17．已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实数根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实数根．（1）若“￢p”为假命题，求m范围；（2）若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．18．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB=，b=2，（Ⅰ）当A=30°时，求a的值；（Ⅱ）当△ABC的面积为3时，求a+c的值．19．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，抛物线上一点P点横坐标为2，|PF|=3（1）求抛物线的方程；（2）过F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．20．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？21．已知等差数列{an}，a2+a3+a4=15，an＞0，且a2，a3+4，a4+20为等比数列{bn}的前三项，（1）求{an}，{bn}的通项公式．（2）设数列dn=的前n项和为Tn，求Tn．（3）若数列cn=an•bn，求数列{cn}的前n和Sn．22．已知椭圆的焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且，（1）求椭圆的方程；（2）M为椭圆的上顶点，过点M作直线MA、MB交椭圆于A、B两点，直线MA、MB的斜率分别为k1、k2，且k1+k2=8，求证：AB过定点，并求出定点坐标．

2023学年山东省济南市历城二中高一（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若p：∀x∈R，sinx≤1，则（）A．¬p：∃x0∈R，sinx0＞1 B．¬p：∀x∈R，sinx＞1C．¬p：∃x0∈R，sinx0≥1 D．¬p：∀x∈R，sinx≥1【考点】全称命题；命题的否定．【分析】根据全称命题的否定为特称命题，分别对量词和命题的结论分别进行否定即可求解【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，∀x∈R，sinx≤1的否定为：∃x∈R，sinx＞1故选A2．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x+y≥4”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：由x≥2且y≥2”推出“x+y≥4”，是充分条件，由x+y≥4推不出x≥2且y≥2，比如x=1，y=5，故不是必要条件，故选：A．3．已知双曲线的实轴长为2，焦距为4，则该双曲线的渐近线方程是（）A．y=±3x B． C． D．y=±2x【考点】双曲线的简单性质．【分析】通过双曲线的几何性质，直接求出a，b，c，然后求出，求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：双曲线的实轴长为2，焦距为4，所以2a=2，2c=4，所以a=1，c=2，b==，故有=．所以双曲线的渐近线方程为：y=±x．故选C．4．在△ABC中，内角A、B的对边分别是a、b，若，则△ABC为（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】利用正弦定理将条件转化为，三角变形后判断角A、B之间的关系，可得答案．【解答】解：由正弦定理得：，∴⇒sinAcosA=sinBcosB⇒sin2A=sin2B，∵A、B为三角形的内角，∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=，故选C．5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S5=30，则a7+a8+a9=（）A．27 B．36 C．42 D．63【考点】等差数列的性质．【分析】由已知可得a1和d，可得Sn，而a7+a8+a9=S9﹣S6，代入计算可得．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，则S3=3a1+3d=9，S5=5a1+10d=30，联立解得a1=0，d=3，∴Sn=na1+d=，∴a7+a8+a9=S9﹣S6=108﹣45=63，故选：D．6．下列命题中，真命题的个数为（）①若a，b，c∈R则“a＞b”是“ac2＞bc2”成立的充分不必要条件；②若椭圆+=1的两个焦点为F1，F2，且弦AB过点F1，则△ABF2的周长为20．③若命题“￢p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；④若命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①当a=0时，“ac2=bc2”，充分性不成立，可判断①错误；②由椭圆的方程+=1知长轴长为10，依题意，利用椭圆的定义可求得△ABF2的周长为20，可判断②正确；③由命题“￢p”与命题“p或q”都是真命题，可知p假q真，可判断③正确；④写出命题p的否定￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0，可判断④正确．【解答】解：对于①，若a，b，c∈R则“a＞b”不能推出“ac2＞bc2”，如c=0时就不成立，即充分性不成立，故①错误；对于②，椭圆+=1的两个焦点为F1，F2，则长轴长为10，又弦AB过点F1，则△ABF2的周长l=|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=20，故②正确；对于③，若命题“￢p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题，故③正确；对于④，若命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0，故④正确．综上所述，真命题的有个数为3个，故选：C．7．已知，给出下列四个结论：①a＜b②a+b＜ab③|a|＞|b|④ab＜b2其中正确结论的序号是（）A．①② B．②④ C．②③ D．③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由条件可b＜a＜0，然后根据不等式的性质分别进行判断即可．【解答】解：∵，∴b＜a＜0．①a＜b，错误．②∵b＜a＜0，∴a+b＜0，ab＞0，∴a+b＜ab，正确．③∵b＜a＜0，∴|a|＞|b|不成立．④ab﹣b2=b（a﹣b），∵b＜a＜0，∴a﹣b＞0，即ab﹣b2=b（a﹣b）＜0，∴ab＜b2成立．∴正确的是②④．故选：B．8．设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则z的最小值为（）A．﹣3 B．﹣6 C．3 D．6【考点】简单线性规划．【分析】先画出可行域，得到角点坐标．再利用z的最大值为12，通过平移直线z=x+y得到最大值点A，求出k值，即可得到答案．【解答】解：可行域如图：由得：A（k，k），目标函数z=x+y在x=k，y=k时取最大值，即直线z=x+y在y轴上的截距z最大，此时，12=k+k，故k=6．∴得B（﹣12，6），目标函数z=x+y在x=﹣12，y=6时取最小值，此时，z的最小值为z=﹣12+6=﹣6，故选B．9．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上，且，则A点的横坐标为（）A． B．4 C．3 D．2【考点】圆锥曲线的共同特征．【分析】根据双曲线得出其右焦点坐标，可知抛物线的焦点坐标，从而得到抛物线的方程和准线方程，进而可求得K的坐标，设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣3，y0），根据|AK|=|AF|及AF=AB=x0﹣（﹣3）=x0+3，进而可求得A点坐标．【解答】解：∵双曲线，其右焦点坐标为（3，0）．∴抛物线C：y2=12x，准线为x=﹣3，∴K（﹣3，0）设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣3，y0）∵|AK|=|AF|，又AF=AB=x0﹣（﹣3）=x0+3，∴由BK2=AK2﹣AB2得BK2=AB2，从而y02=（x0+3）2，即12x0=（x0+3）2，解得x0=3．故选C．10．已知P是△ABC内的一点（不含边界），且•=2，∠BAC=30°若△PBC，△PAB，△PCA的面积分别为x，y，z，记h（x，y，z）=++，则h（x，y，z）的最小值为（）A．26 B．32 C．36 D．48【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量的数量积公式和三角形的面积公式可得x+y+z=1，再根据基本不等式即可求出答案．【解答】解：∵•=2，∠BAC=30°，∴||•||•cos30°=2，∴||•||=4．∵S△ABC=||•||•sin30°=1=x+y+z．∴f（x，y，z）=++=（++）（x+y+z）=1+4+9++++++≥14+4+6+12=36，即f（x，y，z）的最小值为36，故选：C．11．已知点P为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右支上一点，F1，F2为双曲线的左、右焦点，使（+）（﹣）=0（O为坐标原点），且||=||，则双曲线离心率为（）A． B．+1 C．+1 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义可知和||=||，可得|PF2|=（+1）a，再根据（+）（﹣）=0，得到△OPF2为等边三角形，即可得到c=（+1）a，即可求出离心率．【解答】解：|PF1|﹣|PF2|=2a，||=||，∴|PF2|=（+1）a，∵（+）（﹣）=0，∴||=||，设Q为PF2的中点，∴+=2，﹣=，∴⊥，∴△OPF2为等边三角形，∴c=（+1）a，∴e==+1，故选：C．12．设椭圆+=1的左右交点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足•=9，则||•||的值为（）A．8 B．10 C．12 D．15【考点】椭圆的简单性质；向量在几何中的应用．【分析】根据椭圆的定义可判断|PF1|+|PF2|=8，平方得出|PF1|2+|PF2|2，再利用余弦定理求解即可．【解答】解：∵P是椭圆+=1一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，∴|PF1|+|PF2|=8，|F1F2|=4，•=9，即||•||cosθ=9，16=||2+||2﹣2||•||cosθ=（||+||）2﹣2|PF1|•|PF2|﹣18=64﹣2|PF1|•|PF2|﹣18=16，∴|PF1|•|PF2|=15，故选：D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．过（3，2）点的直线与坐标轴的正半轴交于A，B两点，△AOB面积的最小值12．【考点】直线的截距式方程．【分析】由题意设直线的截距式方程为=1（a，b＞0），可得=1，由基本不等式可得ab≥24，可得△AOB的面积S≥12，即可得出结论．【解答】解：由题意设直线的截距式方程为=1（a，b＞0），∵直线过（3，2），∴=1，∴1=≥2，∴ab≥24，当且仅当即a=6且b=4时取等号，∴△AOB的面积S=ab≥12，∴△AOB面积的最小值为12，故答案为：12．14．已知抛物线x2=4y的焦点F和点A（﹣1，8），点P为抛物线上一点，则|PA|+|PF|的最小值为9．【考点】抛物线的简单性质；抛物线的定义．【分析】根据抛物线的标准方程求出焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义可得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|≥|AM|，故|AM|（A到准线的距离）为所求．【解答】解：抛物线标准方程x2=4y，p=2，焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1．设p到准线的距离为PM，（即PM垂直于准线，M为垂足），则|PA|+|PF|=|PA|+|PM|≥|AM|=9，（当且仅当P、A、M共线时取等号），故答案为9．15．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是．【考点】等差数列的性质．【分析】由a1，a3，a9成等比数列求得a1与d的关系，再代入即可．【解答】解：∵a1，a3，a9成等比数列，∴（a1+2d）2=a1•（a1+8d），∴a1=d，∴=，故答案是：．16．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，其中a2=2，a5=16，则的最小值是9．【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意易得等比数列的公比和Sn和S2n，代入要求的式子由基本不等式可得．【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，a2=2，a5=16，∴等比数列{an}的公比q==2，∴a1=1，∴Sn===2n﹣1，∴S2n=22n﹣1，∴===2n++1≥2+1=9当且仅当2n=即n=2时取等号，∴的最小值为9故答案为：9三、解答题：本大题共6小题，共70分.17．已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实数根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实数根．（1）若“￢p”为假命题，求m范围；（2）若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假；命题的否定．【分析】（1）根据四种命题之间的关系判断即可；（2）通过讨论p真q假，p假q真，从而得到m的范围．【解答】解：（1）由p得：△1=m2﹣4＞0，﹣m＜0，则m＞2；（2）△2=16（m﹣2）2﹣16＜0，则1＜m＜3，∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，∴p，q一真一假，①p真q假时：，解得：m≥3，②p假q真时：，解得：1＜m≤2，∴m的取值范围是：m≥3或1＜m≤2．18．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB=，b=2，（Ⅰ）当A=30°时，求a的值；（Ⅱ）当△ABC的面积为3时，求a+c的值．【考点】解三角形．【分析】（Ⅰ）因为，可得，由正弦定理求出a的值．（Ⅱ）因为△ABC的面积=3，，可以求得ac=10，再由余弦定理可得a2+c2=20=（a+c）2﹣2ac，由此求出a+c的值．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以．…由正弦定理，可得．…所以．…（Ⅱ）因为△ABC的面积=3，且，所以，ac=10．…由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，…得，即a2+c2=20．…所以（a+c）2﹣2ac=（a+c）2﹣20=20，故（a+c）2=40，…所以，．…19．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，抛物线上一点P点横坐标为2，|PF|=3（1）求抛物线的方程；（2）过F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）先求抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程，根据抛物线的定义，将抛物线y2=2px（p＞0）上横坐标为2的点到焦点的距离等于3，转化为点到准线的距离为3，即可求得结论．（2）由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．【解答】解：（1）由抛物线定义可知，|PF|=2+=3，∴p=2，∴抛物线方程为y2=4x．（2）由y2=34，得F（1，0）．∴过A，B的直线方程为y=（x﹣1），联立得y2﹣4y﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4，y1y2=﹣4．∴S△OAB=S△OAF+S△OFB=|y1﹣y2|==4．20．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】根据题意建立相应的函数模型是解决本题的关键．建立起函数的模型之后，根据函数的类型选择合适的方法求解相应的最值问题，充分发挥导数的工具作用．【解答】解：设船速度为x（x＞0）时，燃料费用为Q元，则Q=kx3，由6=k×103可得，∴，∴总费用，，令y′=0得x=20，当x∈（0，20）时，y′＜0，此时函数单调递减，当x∈（20，+∞）时，y′＞0，此时函数单调递增，∴当x=20时，y取得最小值，答：此轮船以20公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小．21．已知等差数列{an}，a2+a3+a4=15，an＞0，且a2，a3+4，a4+20为等比数列{bn}的前三项，（1）求{an}，{bn}的通项公式．（2）设数列dn=的前n项和为Tn，求Tn．（3）若数列cn=an•bn，求数列{cn}的前n和Sn．【考点】数列的求和．【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质和等比数列的通项公式，解方程即可得到所求；（2）求出dn===﹣，运用裂项相消求和，化简即可得到所求和；（3）求得cn=an•bn=（2n﹣1）•3n，运用错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简即可得到所求和．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，a2+a3+a4=15，可得3a1+6d=15，①a2，a3+4，a4+20为等比数列{bn}的前三项，可得（a3+4）2=a2（a4+20），检验（a1+2d+4）2=（a1