高中数学北师大版第三章指数函数和对数函数 全国一等奖

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)解析：画出函数的图像，当x∈(4，＋∞)时，指数函数的图像位于二次函数图像的上方，二次函数的图像位于对数函数图像的上方，故g(x)>f(x)>h(x)．答案：B2．设x∈(0，1)时，y＝xp(p∈Z)的图像在直线y＝x的上方，则p的取值范围是()A．p≥0 B．0<p<1C．p<1且p≠0 D．p>1解析：当p<0时，f(x)＝xp＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up12(－p)，在(0，1)上单调递减，∴y>f(1)＝1在直线y＝x上面，故只有C正确．答案：C3．某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝10ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为()A．640 B．1280C．2560 D．5120解析：由题意可知，当t＝0时，y＝10，当t＝1时，y＝10ek＝20，可得ek＝2.故10个细菌经过7小时培养，能达到的细菌个数为10e7k＝10×(ek)7＝1280.答案：B4．某山区加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长%，若原来绿色植被的面积为1，那么，经过x年，绿色植被面积可增长为原来的y倍，则函数y＝f(x)的大致图像为()解析：y＝，指数增长型函数．答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子没有什么变化，但价格却上涨了，小张在2023年以15万元的价格购得一所新房子，假设这10年来价格年增长率不变，那么到2023年，这所房子的价格y(万元)与价格年增长率x之间的函数关系式是____________．解析：1年后，y＝15(1＋x)；2年后，y＝15(1＋x)2；3年后，y＝15(1＋x)3，…，10年后，y＝15(1＋x)10.答案：y＝15(1＋x)106．已知元素“碳14”每经过5730年，其质量就变成原来的一半．现有一文物，测得其中“碳14”的残存量为原来的41%，此文物距现在约有________年．(注：精确到百位数，lg2＝0，lg＝解析：设距现在为x年，则有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(x,5730))＝41%，两边取对数，利用计算器可得x≈7400.答案：7400三、解答题(每小题10分，共20分)7．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少eq\f(1,3)，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg2＝0，lg3＝1)解析：依题意，得eq\f(2,100)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n)≤eq\f(1,1000)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n)≤eq\f(1,20).则n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，故n≥eq\f(1＋lg2,lg3－lg2)≈，考虑到n∈N，即至少要过滤8次才能达到市场要求．8．某公司拟投资100万元，有两种投资方案可供选择：一种是年利率为10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率为9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到万元)解析：本金100万元，年利率为10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)．本金100万元，年利率为9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈(万元)．由此可见，按年利率为9%每年复利一次计算的投资方式要比按年利率为10%单利计算的更有利，5年后多得利息万元．eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．(10分)现有某种细胞100个，其中占总数eq\f(1,2)的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂为2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg3＝，lg2＝解析：现有细胞100个，先考虑经过1，2，3，4个小时后的细胞总数；1h后，细胞总数为eq\f(1,2)×100＋eq\f(1,2)×100×2＝eq\f(3,2)×100；2h后，细胞总数为eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×100＋eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×100×2＝eq\f(9,4)×100；3h后，细胞总数为eq\f(1,2)×eq\f(9,4)×100＋eq\f(1,2)×eq\f(9,4)×100×2＝eq\f(27,8)×100；4h后，细胞总数为eq\f(1,2)×eq\f(27,8)×100＋eq\f(1,2)×eq\f(27,8)×100×2＝eq\f(81,16)×100.可见，细胞总数y与时间x(h)之间的函数关系为y＝100×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(x)，x∈N＋.由100×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(x)>1010，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,