高中数学高考一轮复习一轮复习 第七节 解三角形的实际应用

课时作业(二十八)解三角形的实际应用1.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°方向上 B．北偏西10°方向上C．南偏东80°方向上 D．南偏西80°方向上D[由条件及题图可知，∠A＝∠ABC＝40°，因为∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°方向上．]2．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为()A．7km B．8kmC．9km D．6kmA[在△ABC及△ACD中，由余弦定理得82＋52－2×8×5×cos(π－∠D)＝AC2＝32＋52－2×3×5×cos∠D，解得cos∠D＝－eq\f(1,2)，所以AC＝eq\r(49)＝7.]3．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1km，水的流速为2km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6min，则客船在静水中的速度为()A．8km/h B．6eq\r(2)km/hC．2eq\r(34)km/h D．10km/hB[设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为vkm/h，由题意知，sinθ＝eq\f,1)＝eq\f(3,5)，从而cosθ＝eq\f(4,5)，所以由余弦定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)v))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)×2))eq\s\up12(2)＋12－2×eq\f(1,10)×2×1×eq\f(4,5)，解得v＝6eq\r(2).]4．国庆阅兵式上举行升国旗仪式，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米，则旗杆的高度约为()A．17米 B．22米C．30米 D．35米C[如图所示，依题意知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°－60°－15°＝105，∴∠EAC＝180°－45°－105°＝30°，由正弦定理可得，eq\f(CE,sin∠EAC)＝eq\f(AC,sin∠AEC)，所以AC＝eq\f,sin30°)×sin45°＝eq\f(49\r(2),2)(米)，∴在Rt△ABC中，AB＝AC·sin∠ACB＝eq\f(49\r(2),2)×sin60°＝eq\f(49\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(49\r(6),4)≈30(米).]5．(多选)(2023·上海市金山区高三期末测试)地面上有两座相距120m的塔，高塔的高为Hm，矮塔的高为hm，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为eq\f(α,2)，且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角，则下列结论正确的有()A．taneq\f(α,2)＝eq\f(h,120) B．H＝90C．h＝40 D．H＝80ABC[设在O点望高塔塔顶的仰角为β.则tanα＝eq\f(H,120)，taneq\f(α,2)＝eq\f(h,120)，A正确；根据三角函数的倍角公式有eq\f(H,120)＝eq\f(2×\f(h,120),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,120)))\s\up12(2)).①因为在两塔底连线的中点O望两塔塔顶的仰角互为余角，所以在O点望矮塔塔顶的仰角为eq\f(π,2)－β，由tanβ＝eq\f(H,60)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－β))＝eq\f(h,60)，得eq\f(H,60)＝eq\f(60,h).②联立①②解得H＝90，h＝、C正确，D错．]6．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20km/h；水的流向是正东，流速是20km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东________，大小为________km/h.解析：如图，∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos120°＝1200，故OC＝20eq\r(3)，∠COY＝30°＋30°＝60°.答案：60°；20eq\r(3)7．一蜘蛛沿东北方向爬行xcm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回到它的出发点，那么x＝________．解析：如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，易知在△AOB中，AB＝10cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，则∠AOB＝60°，由正弦定理知：x＝eq\f(AB·sin∠ABO,sin∠AOB)＝eq\f(10×sin45°,sin60°)＝eq\f(10\r(6),3)(cm).答案：eq\f(10\r(6),3)8.如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300eq\r(3)m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为____m.解析：由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.又∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，∴PQ＝PA．在Rt△PAB中，AP＝AB·tan60°＝900(m)，故PQ＝900m，∴P，Q两点间的距离为900m.答案：9009．渔政船在东海某海域巡航，已知该船正以15eq\r(3)海里/时的速度向正北方向航行，该船在A点处时发现在北偏东30°方向的海面上有一个小岛，继续航行20分钟到达B点，此时发现该小岛在北偏东60°方向上，若该船向正北方向继续航行，船与小岛的最小距离为多少海里？解析：根据题意画出相应的图形，如图所示，过C作CD⊥AB交直线AB于点D，由题意得：AB＝eq\f(20,60)×15eq\r(3)＝5eq\r(3)(海里)因为∠A＝30°，∠CBD＝60°，所以∠BCA＝30°，则△ABC为等腰三角形，所以BC＝5eq\r(3).在△BCD中，因为∠CBD＝60°，CD⊥AD，BC＝5eq\r(3)，所以CD＝eq\f(15,2)，则该船向北继续航行，船与小岛的最小距离为海里．10．(开放型)在①AB＝2eq\r(5)，②∠ADB＝135°，③∠BAD＝∠C这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，使得问题成立，并求BD的长和△ABC的面积．如图，在△ABC中，D为BC边上一点，AD⊥AC，AD＝1，sin∠BAC＝eq\f(2\r(5),5)，________，求BD的长和△ABC的面积．解析：选条件①，sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝eq\f(2\r(5),5)，所以sin∠BAD＝eq\f(\r(5),5).在△ABD中，由余弦定理得BD＝eq\r(20＋1－2×2\r(5)×1×\f(2\r(5),5))＝eq\r(13).在△ABD中，由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ADB)＝eq\f(BD,sin∠BAD)，即eq\f(2\r(5),sin∠ADB)＝eq\f(\r(13),\f(\r(5),5))，所以sin∠ADB＝eq\f(2\r(13),13).所以sin∠ADC＝eq\f(2\r(13),13)，cos∠ADC＝eq\f(3\r(13),13)，所以tan∠ADC＝eq\f(2,3)，所以AC＝eq\f(2,3).所以△ABC的面积为eq\f(1,2)×2eq\r(5)×eq\f(2,3)×eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(4,3).选条件②，sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝eq\f(2\r(5),5)，所以sin∠BAD＝eq\f(\r(5),5).所以sinB＝sin(∠BAD＋135°)＝eq\f(\r(5),5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＋eq\f(2\r(5),5)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(10),10).在△ABD中，由正弦定理得eq\f(AB,sin135°)＝eq\f(AD,sinB)＝eq\f(BD,sin∠BAD)，得AB＝eq\r(5)，BD＝eq\r(2).因为∠ADB＝135°，所以∠ADC＝45°，所以AC＝1.所以△ABC的面积为eq\f(1,2)×eq\r(5)×1×eq\f(2\r(5),5)＝1.选条件③，sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝eq\f(2\r(5),5)，所以sin∠BAD＝eq\f(\r(5),5).因为∠BAD＝∠C，所以sinC＝eq\f(\r(5),5)，在Rt△ACD中，可得cos∠ACD＝eq\f(\r(5),5)，所以cos∠ADB＝－eq\f(\r(5),5)，sin∠ADB＝eq\f(2\r(5),5).所以sinB＝sin(∠BAD＋135°)＝eq\f(\r(5),5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)))＋eq\f(2\r(5),5)×eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(3,5).在△ABD中，由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ADB)＝eq\f(AD,sinB)＝eq\f(BD,sin∠BAD)，得AB＝eq\f(2\r(5),5)，BD＝eq\f(\r(5),3).因为sinC＝eq\f(\r(5),5)，所以cosC＝eq\f(2\r(5),5)，所以tanC＝eq\f(1,2)，所以AC＝2.所以△ABC的面积为eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(5),3)×2×eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(4,3).11．已知在河岸A处看到河对岸两个帐蓬C，D分别在北偏东45°和北偏东30°方向，若向东走30米到达B处后再次观察帐蓬C，D，此时C，D分别在北偏西15°和北偏西60°方向，则帐蓬C，D之间的距离为()A．10eq\r(15)米 B．10eq\r(6)米C．5eq\r(15)米 D．5eq\r(6)米C[由题意可得∠DAB＝60°，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，∠DBA＝30°.在△ABD中，∠DAB＝60°，∠DBA＝30°，AB＝30，所以∠ADB＝90°，sin∠DAB＝sin60°＝eq\f(BD,BA)，解得BD＝15eq\r(3).在△ABC中，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，所以∠ACB＝60°，eq\f(AB,sin60°)＝eq\f(BC,sin45°)，解得BC＝10eq\r(6).在△BCD中，∠CBD＝∠CBA－∠DBA＝45°，则由余弦定理得cos∠CBD＝cos45°＝eq\f(BC2＋BD2－CD2,2BC·BD)，即eq\f(\r(2),2)＝eq\f(（10\r(6)）2＋（15\r(3)）2－CD2,2×10\r(6)×15\r(3))，解得CD＝5eq\r(15).故选C.]12.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________．解析：由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，由正弦定理得AC＝eq\f(80sin150°,sin15°)＝eq\f(40,\f(\r(6)－\r(2),4))＝40(eq\r(6)＋eq\r(2)).在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝∠ACD＋∠ACB＝135°，所以∠DBC＝30°，由正弦定理eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，得BC＝eq\f(CDsin∠BDC,sin∠CBD)＝eq\f(80×sin15°,\f(1,2))＝160sin15°＝40(eq\r(6)－eq\r(2)).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1600×(8＋4eq\r(3))＋1600×(8－4eq\r(3))＋2×1600×(eq\r(6)＋eq\r(2))×(eq\r(6)－eq\r(2))×eq\f(1,2)＝1600×16＋1600×4＝1600×20＝32000，解得AB＝80eq\r(5).故图中海洋蓝洞的口径为80eq\r(5).答案：80eq\r(5)13某市规划一个平面示意图为五边形ABCDE的自行车赛道(如图)，ED，DC，CB，BA，AE为赛道(不考虑宽度)，BE为赛道内的一条服务通道，∠BCD＝∠CDE＝∠BAE＝eq\f(2π,3)，DE＝4km，BC＝CD＝eq\r(3)km.(1)求服务通道BE的长度；(2)应如何设计，才能使折线段赛道BAE最长？解析：(1)连接BD，在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD＝9，∴BD＝3km.∵BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB＝eq\f(π,6)，又∠CDE＝eq\f(2π,3)，∴∠BDE＝eq\f(π,2)，在Rt△BDE中，BE＝eq\r(BD2＋DE2)＝5(km).(2)在△BAE中，∠BAE＝eq\f(2π,3)，BE＝5(km)，由余弦定理得BE2＝AB2＋AE2－2AB·AEcos∠BAE，即25＝AB2＋AE2＋AB·AE，故(AB＋AE)2－25＝AB·AE≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB＋AE,2)))eq\s\up12(2)，从而eq\f(3,4)(AB＋AE)2≤25，即AB＋AE≤eq\f(10\r(3),3)，当且仅当AB＝AE时，等号成立．即设计为AB＝AE时，折线段赛道BAE最长．14．如图，某市管辖的海域内有一圆形离岸小岛，半径为