高中数学北师大版2第三章导数应用第3章2

第三章§2一、选择题1．给出下列四个命题：①若函数f(x)在[a，b]上有最大值，则这个最大值一定是[a，b]上的极大值；②若函数f(x)在[a，b]上有最小值，则这个最小值一定是[a，b]上的极小值；③若函数f(x)在[a，b]上有最值，则最值一定在x＝a或x＝b处取得；④若函数f(x)在(a，b)内连续，则f(x)在(a，b)内必有最大值与最小值．其中真命题共有()A．0个 B．1个C．2个 D．3个解析：因为函数的最值可以在区间[a，b]的两端取得，也可以在内部取得，当最值在端点处取得时，其最值就一定不是极值，故命题①与②不真．由于最值可以在区间内部取得，故命题③也不真．对于命题④，我们只要考虑在(a，b)内的单调函数，它在(a，b)内必定无最值(也无极值)，因此命题④也不真．综上所述，四个命题均不真，故选A.答案：A2．用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，A．5cmC．10cm解析：设截去的小正方形的边长为xcm，铁盒的容积为Vcm3，由题意，得V＝x(48－2x)2(0＜x＜24)，V′＝12(24－x)(8－x)．令V′＝0，则在(0,24)内有x＝8，故当x＝8时，V有最大值．答案：B3．函数f(x)＝2sinx－x在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值点及最大值是()\f(π,3)，eq\r(3)－eq\f(π,3) B．0,0\f(π,2)，2－eq\f(π,2) D．0,2解析：f′(x)＝2cosx－1，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))时，f′(x)≥0x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))时f′(x)≤0，∴eq\f(π,3)为最大值点，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq\r(3)－eq\f(π,3)为函数的最大值．答案：A4．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上f(x)≤3恒成立，那么在[－2,2]上，f(x)min()A．≤－37 B．≤－5C．≥－37 D．≥－5解析：f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)当x∈[－2,0]时f′(x)≥0当x∈[0,2]时f′(x)≤0∴f(x)max＝f(0)＝m，∴m≤3又∵f(－2)＝－40＋m，f(2)＝－8＋m∴f(x)min＝f(－2)＝－40＋m≤－37.答案：A二、填空题5．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170P－P2.最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)________________元．解析：设毛利润为L(P)，由题意知L(P)＝PQ－20Q＝Q(P－20)＝(8300－170P－P2)(P－20)＝－P3－150P2＋11700P－166000，所以，L′(P)＝－3P2－300P＋11700.令L′(P)＝0，解得P＝30或P＝－130(舍去)．此时，L(30)＝23000.根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23000元．答案：230006．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是__________________．解析：f′(x)＝3x2－3a，f(x)在(0,1)则f(x)在(0,1)内有极小值点．方程f′(x)＝3x2－3a∴a＞0，x＝±eq\r(a).显然x＝eq\r(a)应是(0,1)间的极小值点，∴0＜eq\r(a)＜1,0＜a＜1.答案：(0,1)三、解答题7．设函数f(x)＝ln(2x－1)－x2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)求f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(5,4)))上的最大值和最小值．解析：f(x)的定义域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).(1)f′(x)＝eq\f(2,2x－1)－2x＝eq\f(2－2x2x－1,2x－1)＝eq\f(－2x－12x＋1,2x－1).当eq\f(1,2)<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0.则f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．(2)由(1)知f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(5,4)))上的最大值为f(1)＝ln(2×1－1)－12＝－1.又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ln\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(3,4)－1))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2))－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ln\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(5,4)－1))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))2))＝1－ln3<0.所以f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(5,4)))上的最小值为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ln\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(3,4)－1))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2))＝－ln2－eq\f(9,16).故f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(5,4)))上的最大值和最小值分别为－1和－ln2－eq\f(9,16).8．一艘轮船在航行中的燃料费和它速度的立方成正比．已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以多大速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最少？解析：设船的速度为x(x＞0)时，燃料费用为Q元，则Q＝kx3，由6＝k×103可得k＝eq\f(3,500)，∴Q＝eq\f(3,500)x3，∴总费用y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,500)x3＋96))·eq\f(1,x)＝eq\f(3,500)x2＋eq\f(96,x)，y′＝eq\f(6,500)x－eq\f(96,x2)，令y′＝0得x＝20，当x∈(0,20)时，y′＜0，此时函数单调递减，当x∈(20，＋∞)时，y′＞0，此时函数单调递增，∴当x＝20时，y取得最小值，∴此轮船以20公里/小时的速度行驶时每公里的费用总和最小．9．某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤5)．(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额约为－eq\f(1,3)x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大？(注：收益＝销售额－投入)解析：(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)．∴当t＝2百万元时，f(t)取得最大值4百万元，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)(0≤x≤3)，又设由此而获得的收益是g(x)，则有g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x3＋x2＋3x))＋[－(3－x)