高中数学北师大版第三章不等式单元测试 学业分层测评1

学业分层测评(十五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是()A．5x＋4y＜200 B．5x＋4y≥200C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200【解析】由题意x，y满足的不等式关系为500x＋400y≤20000，即5x＋4y≤200.【答案】D2．若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是()A．ac2＜bc2 B．a2＞ab＞b2\f(1,a)＜eq\f(1,b) D．eq\f(b,a)＞eq\f(a,b)【解析】c＝0时，ac2＝bc2，∴A错；a＜b＜0⇒eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，∴C错；∵a＜b＜0，∴eq\f(a,b)＞1,0＜eq\f(b,a)＜1，∴D错．【答案】B3．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是()A．A≤B B．A≥BC．A＞B或A＜B D．A＞B【解析】A－B＝a2＋3ab－4ab＋b2＝a2＋b2－ab＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(b,2)))2＋eq\f(3,4)b2≥0，∴A≥B.【答案】B4．已知a，b，c∈(0，＋∞)，若eq\f(c,a＋b)＜eq\f(a,b＋c)＜eq\f(b,c＋a)，则()A．c＜a＜b B．b＜c＜aC．a＜b＜c D．c＜b＜a【解析】∵a，b，c∈(0，＋∞)且eq\f(c,a＋b)＜eq\f(a,b＋c)＜eq\f(b,c＋a)，∴eq\f(c,a＋b)＋1＜eq\f(a,b＋c)＋1＜eq\f(b,c＋a)＋1，即eq\f(a＋b＋c,a＋b)＜eq\f(a＋b＋c,b＋c)＜eq\f(a＋b＋c,a＋c)，∴a＋b＞b＋c＞a＋c.由a＋b＞b＋c，∴a＞c，由b＋c＞a＋c，∴b＞a，∴b＞a＞c，故选A.【答案】A5．(2023·宿州高二检测)若eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，则不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＞2中，正确的有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个【解析】由eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，得ab＞0，b＜a＜0.故a＋b＜0＜ab，|b|＞|a|，因此①正确，②错误，③错误．又eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)－2＝eq\f(a－b2,ab)＞0，因此④正确．【答案】B二、填空题6．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)________g(x)．(用“＜”，“＞”，“＝”填空)【解析】f(x)－g(x)＝3x2－x＋1－2x2－x＋1＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0，∴f(x)＞g(x)．【答案】＞7．设α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，那么2α－eq\f(β,3)的取值范围是________．【解析】由题设得0＜2α＜π，0≤eq\f(β,3)≤eq\f(π,6)，∴－eq\f(π,6)≤－eq\f(β,3)≤0，∴－eq\f(π,6)＜2α－eq\f(β,3)＜π.【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，π))8．若a＜b＜0，则eq\f(1,a－b)与eq\f(1,a)的大小关系是________．【解析】eq\f(1,a－b)－eq\f(1,a)＝eq\f(a－a－b,a－ba)＝eq\f(b,a－ba)，∵a＜b＜0，∴a－b＜0，则eq\f(b,a－ba)＜0，∴eq\f(1,a－b)＜eq\f(1,a).【答案】eq\f(1,a－b)＜eq\f(1,a)三、解答题9．有学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，求宿舍间数和学生人数．【解】设宿舍x间，则学生(4x＋19)人，依题意，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋19＜6x，,4x＋19＞6x－1，))解得eq\f(19,2)＜x＜eq\f(25,2).∵x∈N＋，∴x＝10,11或12，学生人数为：59,63,67.故宿舍间数和学生人数分别为10间59人，11间63人或12间67人．10．已知a、b、x、y都为正数，且eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，x＞y，求证：eq\f(x,x＋a)＞eq\f(y,y＋b)【证明】eq\f(x,x＋a)－eq\f(y,y＋b)＝eq\f(xy＋b－yx＋a,x＋ay＋b)＝eq\f(bx－ay,x＋ay＋b).∵eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)＞0，x＞y＞0，∴b＞a＞0，x＞y＞0，∴bx＞ay，即bx－ay＞0.又x＋a＞0，y＋b＞0，∴eq\f(bx－ay,x＋ay＋b)＞0，即eq\f(x,x＋a)＞eq\f(y,y＋b).[能力提升]1．如图3­1­1为某三岔路口交通环道的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A、B、C的机动车辆如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段eq\x\to(AB)，eq\x\to(BC)，eq\x\to(CA)的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出车辆数相等)，则()图3­1­1A．x1＞x2＞x3B．x1＞x3＞x2C．x2＞x3＞x1D．x3＞x2＞x1【解析】由已知图形知x1＝50＋x3－55，x2＝x1－20＋30，x3＝x2－35＋30，由此得x1＝x3－5，x2＝x1＋10，x2＝x3＋5，故x1＜x3＜x2.【答案】C2．若0＜a＜1，c＞1，则ac＋1与a＋c的大小关系为()A．ac＋1＜a＋c B．ac＋1＞a＋cC．ac＋1＝a＋c D．不能确定【解析】(ac＋1)－(a＋c)＝ac－a＋1－c＝a(c－1)－(c－1)＝(a－1)(c－1)，∵0＜a＜1，c＞1，∴a－1＜0，c－1＞0，∴(a－1)(c－1)＜0，即ac＋1＜a＋c.【答案】A3．用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的eq\f(1,k)(k∈N＋)，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的eq\f(4,7)，请从这个实例中提炼出一个不等式组为________．【解析】依题意得，第二次钉子没有全部进入木板，第三次全部进入木板，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)＋\f(4,7k)＜1，,\f(4,7)＋\f(4,7k)＋\f(4,7k2)≥1))(k∈N＋)．【答案】eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)＋\f(4,7k)＜1,\f(4,7)＋\f(4,7k)＋\f(4,7k2)≥1))4．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往，甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”，这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠. 【导学号：67940054】【解】设该单位职工有n人(n∈N＋)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，则y1＝x＋eq\f(3,4)x(n－1)＝eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)xn，y2＝eq\f(4,5)nx.∵y1－y2＝eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)xn－eq