高中数学人教A版1第一章常用逻辑用语命题及其关系 单元测评(六)

单元测评(六)统计案例(B卷)(时间：90分钟满分：120分)第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．某医学科研所对人体脂肪含量与年龄这两个变量研究得到一组随机样本数据，运用Excel软件计算得eq\o(y,\s\up6(^))＝－(x为人的年龄，y为人体脂肪含量)．对年龄为37岁的人来说，下面说法正确的是()A．年龄为37岁的人体内脂肪含量都为%B．年龄为37岁的人体内脂肪含量为%C．年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为%D．年龄为37岁的大部分的人体内脂肪含量为%解析：当x＝37时，eq\o(y,\s\up6(^))＝×37－＝≈，由此估计：年龄在37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为%.答案：C2．对变量x，y由观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u，v由观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断()图1图2A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关解析：由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关，选C.答案：C3．收集一只棉铃虫的产卵数y与温度x的几组数据后发现两个变量有相关关系，并按不同的曲线来拟合y与x之间的回归方程，并算出了对应相关指数R2如下表：拟合曲线直线指数曲线抛物线二次曲线y与x回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝－eq\o(y,\s\up6(^))＝－eq\o(y,\s\up6(^))＝－202eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\r(x－2－1)相关指数R2则这组数据模型的回归方程的最好选择应是()\o(y,\s\up6(^))＝－\o(y,\s\up6(^))＝－\o(y,\s\up6(^))＝－202\o(y,\s\up6(^))＝eq\r(x－2－1)解析：用相关指数R2来刻画回归效果，R2的值越大，说明模型的拟合效果越好．答案：B4．对于P(K2≥k)，当k＞时，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过()A． B．C． D．以上都不对解析：由k＞，知P(K2≥≈，即若k＞，在犯错误的概率不超过的前提下认为“X与Y有关系”．答案：C5．假设有两个分类变量x与y的2×2列联表如下表：y1y2x1abx2cd对于以下数据，对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为()A．a＝5，b＝4，c＝3，d＝2B．a＝5，b＝3，c＝4，d＝2C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5D．a＝2，b＝3，c＝5，d＝4解析：显然D中|ad－bc|最大，故选D.答案：D6．以下有关线性回归分析的说法不正确的是()A．通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))B．用最小二乘法求回归直线方程，是寻求使eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(yi－bxi－a)2最小的a，b的值C．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，但因变量也能由自变量唯一确定D．如果回归系数是负的，y的值随x的增大而减小解析：在回归分析中，因变量不能由自变量唯一确定，故选C.答案：C7．某国2023－2023年的国内生产总值如下表所示.年份2023202320232023产值/亿元18212634年份2023202320232023产值/亿元46576673年份202320232023产值/亿元768089则反映这一时期国内生产总值发展变化的函数模型可能为()A．y＝aebx B．y＝a＋bxC．y＝axb D．y＝aeeq\f(b,x)解析：画出散点图观察，可用y＝a＋bx刻画国内生产总值发展变化的趋势．答案：B8．某市政府调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性检验法抽查了3000人，计算发现K2＝，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信程度是()P(K2≥k)k% B．95%C．% D．%解析：∵K2＝＞.故其可信度为%.答案：C9．已知一组样本点(xi，yi)，其中i＝1,2,3，…，30.根据最小二乘法求得的回归方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，则下列说法正确的是()A．若所有样本点都在eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a上，则变量间的相关系数为1B．至少有一个样本点落在回归直线eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a上C．对所有的预报变量xi(i＝1,2,3，…，30)，bxi＋a的值一定与yi有误差D．若eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a斜率b＞0，则变量x与y正相关解析：所有样本点都在eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a上，则变量间的相关系数为±1，故A错误；回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上，故B错误；若所有样本点都在eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a上，则bxi＋a的值与yi相等，故C错误；相关系数r与b符号相同，若eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a斜率b＞0，则r＞0，样本点分布从左到右应该是上升的，则变量x与y正相关，故D正确．答案：D10．变量U与V相对应的一组样本数据为(1,，(2,，(3,3)，(4,，由上述样本数据得到U与V的线性回归分析，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，则R2＝()\f(3,5) \f(4,5)C．1 D．3解析：在线性回归中，相关指数R2等于相关系数，由x1＝1，x2＝2，x3＝3，x4＝4得：eq\x\to(x)＝，y1＝，y2＝，y3＝3，y4＝得：eq\x\to(y)＝，所以相关系数r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)2)\r(\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))yi－\x\to(y)2))＝eq\f×＋×＋×＋×,\r＋＋＋·\r＋＋＋)＝eq\f(4,\r(5)×\r)＝eq\f(4,4)＝1.故选C.答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．某工厂的某种型号的机器的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有下表的统计资料：x23456y根据上表可得回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝＋eq\o(a,\s\up6(^))，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年时维修费用约__________万元(结果保留两位小数)．解析：eq\x\to(x)＝4，eq\x\to(y)＝5，eq\o(a,\s\up6(^))＝.所以回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝＋，该型号机器使用年限为10年时维修费用约×10＋＝万元．答案：12．根据下表，计算K2的观测值k≈__________.(保留两位小数)又发病未发病作移植手术39157未作移植手术29167解析：k＝eq\f(392×39×167－157×292,196×196×68×324)≈.答案：13．已知一回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝＋45，x∈{1,5,7,13,19}，则eq\x\to(y)＝__________.解析：因为eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)(1＋5＋7＋13＋19)＝9，且eq\x\to(y)＝\x\to(x)＋45，所以eq\x\to(y)＝×9＋45＝.答案：14．已知x，y的取值如下表所示：x0134y从散点图分析，y与x线性相关，且eq\o(y,\s\up6(^))＝＋a，则a＝__________.解析：∵eq\x\to(x)＝2，eq\x\to(y)＝，又eq\o(y,\s\up6(^))＝＋a，∴＝×2＋a，∴a＝.答案：三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)以下是某地区不同身高的未成年男性的体重平均值表身高/cm60708090100110120130140150160170体重/kg(1)给出两个回归方程：①y＝4x－，②y＝7x.通过计算，得到它们的相关指数分别是：Req\o\al(2,1)＝1，Req\o\al(2,2)＝.试问哪个回归方程拟合效果最好？(2)若体重超过相同身高男性平均值的倍为偏胖，低于为偏瘦，那么该地区某中学一男生身高为175cm，体重为78kg，他的体重是否正常？解：(1)∵Req\o\al(2,2)＞Req\o\al(2,1)，∴选择第二个方程拟合效果最好．(4分)(2)把x＝175代入y＝7x，得y＝，由于eq\f(78,＝＞，所以这名男生偏胖．(12分)16．(12分)某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：推销员编号12345工作年限x/年35679年推销金额y/万元23345(1)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；(2)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．解：(1)设所求的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)2)＝eq\f(10,20)＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝.所以年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.(6分)(2)当x＝11时，eq\o(y,\s\up6(^))＝＋＝×11＋＝(万元)．所以可以估计第6名推销员的年推销金额为万元．(12分)17．(12分)在关于人的脂肪含量(百分比)和年龄的关系的研究中，研究人员获得了一组数据如下表：年龄x2327394145495053545657586061脂肪含量y(1)作出散点图，并判断y与x是否线性相关，若线性相关，求线性回归方程；(2)给出37岁时人的脂肪含量的预测值．解：(1)散点图如图所示．由散点图可知样本点呈条状分布，脂肪含量与年龄有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系．设线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则由计算器算得eq\o(b,\s\up6(^))≈，eq\o(a,\s\up6(^))＝－，所以线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－.(6分)(2)当x＝37时，eq\o(y,\s\up6(^))＝×37－≈，故37岁时人的脂肪含量约为%.18．(14分)电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷总计男女1055总计(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．解：(1)由所给的频率分布直方图知，“体育迷”人数为100×(10×＋10×＝25，“非体育迷”人数为75，则据题意完成2×2列联表：非体育迷体育迷总计男301545女451055总计7525100将2×2列联表的数据代入公式计算：K2＝eq\f(10030×10－45×152,45×55×75×25)＝eq\f(100,33)≈＞.所以在犯错误的概率不超过的前提下，认为“体育迷”与性别有关．(6分)(2)由频率分布直方图知，抽到“体育迷”的概率为，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为eq\f(1,4).由题意，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,4)))，从而X的分布列为X01PCeq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))3Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\b\lc