高中数学苏教版第二章统计 2023版第2章章末分层突破

章末分层突破[自我校对]①分层抽样②线性回归分析③频率分布直方图④方差与标准差抽样方法常用的抽样方法有三种．(1)简单随机抽样是最简单、最基本的抽样方法；(2)系统抽样要求把总体均衡地分成几部分，然后从每部分中抽取相同数目的个体；(3)分层抽样则是根据样本的差异分成几层，然后在各层中按各层在总体中所占的比例进行抽样，不要求各部分抽取的样本数相同，但各层之间要有明显的差异．三种抽样的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽取的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性．某单位200名职工的年龄分布情况如图2­1，现要从中抽取40名职工作样本．用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________，若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．图2­1【精彩点拨】按各种抽样方法的步骤抽取样本即可．【规范解答】法一：由系统抽样知第1组抽出的号码为2，则第8组抽出的号码为2＋5×7＝37；当用分层抽样抽取，则40岁以下年龄段应抽取eq\f(1,2)×40＝20名．法二：由系统抽样知，第5组抽出的号码为22，而分段间隔为5，则第6组抽取的应为27，第7组抽取的应为32，第8组抽取的号码应为37.由图知40岁以下的人数为100人，则抽取的比例为eq\f(40,200)＝eq\f(1,5)，∴100×eq\f(1,5)＝20为抽取人数．【答案】3720[再练一题]1．某地区有小学150所，中学75所，大学25所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取________所学校，中学中抽取________所学校．【解析】根据分层抽样的特点求解．从小学中抽取30×eq\f(150,150＋75＋25)＝18(所)学校；从中学中抽取30×eq\f(75,150＋75＋25)＝9(所)学校．【答案】189用样本估计总体用样本估计总体的方式有两种，一是用样本的频率分布估计总体分布，二是用样本的数字特征估计总体的数字特征．在用样本的频率分布估计总体分布时，主要是利用统计图表分析估计总体的分布规律，要求掌握图表的绘制方法，明确图表中数据的有关意义，学会从图表中获取有关信息并会加以整理．样本的数字特征可分为两大类：一类是反映样本数据集中趋势的，包括众数、中位数和平均数；另一类是反映样本波动大小的，包括方差及标准差．我们常通过样本的数字特征估计总体的数字特征．某学校为了了解学生的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了n名同学进行调查．下表是这n名同学的日睡眠时间的频率分布表.序号(i)分组(睡眠时间)频数(人数)频率1[4,5)62[5,6)3[6,7)a4[7,8)b5[8,9)(1)求n的值；若a＝20，将表中数据补全，并画出频率分布直方图；(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[4,5)的中点值是作为代表．若据此计算的上述数据的平均值为，求a，b的值．【精彩点拨】(1)根据频率、频数与样本容量的关系求出相关数据，补全表，然后结合画频率直方图的步骤画出图形；(2)根据平均数的定义及题意列出方程组求解．【规范解答】(1)由频率分布表可知n＝eq\f(6,＝50.补全数据如下表：序号(i)分组(睡眠时间)频数(人数)频率1[4,5)62[5,6)103[6,7)204[7,8)105[8,9)4频率分布直方图如下：(2)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,50)6×＋10×＋a×＋b×＋4×,＝，,6＋10＋a＋b＋4＝50，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝15，,b＝15.))[再练一题]2．甲、乙两位同学某学科的连续五次考试成绩用茎叶图表示如图2­2所示，则平均分数较高的是________，成绩较为稳定的是________．图2­2【解析】由题意得eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,5)(68＋69＋70＋71＋72)＝70，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)[(68－70)2＋(69－70)2＋(70－70)2＋(71－70)2＋(72－70)2]＝2，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,5)(63＋68＋69＋69＋71)＝68.seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)[(63－68)2＋(68－68)2＋(69－68)2＋(69－68)2＋(71－68)2]＝.∴eq\o(x,\s\up6(－))甲>eq\o(x,\s\up6(－))乙，seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙).∴甲的平均分高，且甲的成绩较稳定．【答案】甲甲线性回归方程分析两个变量的相关关系时，我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，若存在，再利用最小平方法求出回归直线方程，然后利用线性回归方程可进行预测．某种产品的广告费用支出x(万元)与销售额y(万元)之间有如下的对应数据：x24568y3040605070(1)画出散点图；(2)判断x，y是否线性相关，若线性相关，求y关于x的线性回归方程．【精彩点拨】eq\x(根据所给的数据，写出5组坐标，描点得散点图)→eq\x(观察样本点的分布规律判断是否线性相关)→eq\x(根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程)【规范解答】(1)根据所给的数据，写出5组坐标，作出散点图如图所示．(2)由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近，可见y与x线性相关．由所给数据得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(2＋4＋5＋6＋8,5)＝5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(30＋40＋60＋50＋70,5)＝50，b＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(2×30＋4×40＋5×60＋6×50＋8×70－5×5×50,22＋42＋52＋62＋82－5×52)＝，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))＝50－×5＝，所以y关于x的回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.[再练一题]3．为了了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：时间x12345命中率y小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________．【解析】平均命中率eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)＋＋＋＋＝；而eq\x\to(x)＝3，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝55，由公式得b＝， a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝－×3＝，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝＋，令x＝6，得eq\o(y,\s\up6(^))＝.【答案】数形结合思想在统计中，常常利用频率分布直方图，频率分布折线图、茎叶图等来呈现样本及总体的分布情况，这便是数形结合思想的具体运用，解题时要注意挖掘图表中数字的意义及相关信息．甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次，每次射靶成绩(单位：环)如图2­3所示：图2­3(1)填写下表：平均数方差中位数命中9环及以上甲71乙3(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析：①从平均数和方差结合分析偏离程度；②从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些；③从平均数和命中9环以上的次数相结合看谁的成绩好些；④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力．【精彩点拨】根据图形得到具体的样本数据，然后根据要求求解．【规范解答】(1)乙的射靶环数依次为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.所以eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,10)(2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10)＝7；乙的射靶环数从小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10，所以中位数是eq\f(7＋8,2)＝；甲的射靶环数从小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9，所以中位数为7.于是填充后的表格如下表所示：平均数方差中位数命中9环及以上甲771乙73(2)①甲、乙的平均数相同，均为7，但seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，说明甲偏离平均数的程度小，而乙偏离平均数的程度大．②甲、乙的平均水平相同，而乙的中位数比甲大，说明乙射靶环数的优秀次数比甲多．③甲、乙的平均水平相同，而乙命中9环以上(包含9环)的次数比甲多2次，可知乙的射靶成绩比甲好．④从折线图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩在平均线上波动不大，说明乙的状态在提升，更有潜力．[再练一题]4.甲、乙两名运动员，在某项测试中的8次成绩如图2­4所示，eq\x\to(x)1，eq\x\to(x)2分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，s1，s2分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则eq\x\to(x)1________eq\x\to(x)2，s1________s2.(填“>”“<”或“＝”)图2­4【解析】由茎叶图中数据求得eq\x\to(x)1＝eq\x\to(x)2＝15，且由方差公式可得seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,8)[(－7)2＋(－6)2＋(－1)2＋12＋62＋72]＝eq\f(43,2)，seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,8)[(－8)2＋(－7)2＋(－2)2＋22＋72＋82]＝eq\f(117,4)，故s1<s2.【答案】＝<1．已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为______．【解析】eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(4＋6＋5＋8＋7＋6,6)＝6.【答案】62．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图2­5所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100cm.图2­5【解析】底部周长在[80,90)的频率为×10＝，底部周长在[90,100)的频率为×10＝，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100cm的株数为＋×60＝24.【答案】243．已知一组数据,,,,，则该组数据的方差是________．【解析】eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)＋＋＋＋＝，则方差s2＝eq\f(1,5)[－2＋－2＋－2＋－2＋－2]＝eq\f(1,5)＋＋0＋＋＝.【答案】4．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图2­6所示，若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]