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文档简介
四边形背景下的动态几何——旋转在解题中的应用圭峰中学刘文硕1如图,将△ABC绕形外一点O按逆时针方向旋转到△A′B′C′的位置:
象这样,一个图形绕着某个固定点(旋转中心),沿着同一个方向(顺时针或逆时针),转动一个角度(旋转角),这样的图形运动叫做旋转。旋转的特征:(1)旋转前后的两个图形是全等图形。因此,对应线段相等,对应角相等。(2)对应点到旋转中心的距离相等。(3)对应点与旋转中心的连线所成的角都相等,都等于旋转角。因为∠ABC=∠DBE=90°所以∠ABC+∠DBE=180°又因为点C在BE上所以点A、B、D三点在同一直线上。变式练习1:
(1)△OAB经过逆时针旋转后与△OA’B’重合,则:①旋转中心是
,旋转的角度是
。(填度数)②你能找出图中所有相等的线段和相等的角吗?(2)如图,Rt△ABC和Rt△BDE中,点C在BE上,AB=BE,BC=BD,△BDE是由△ABC旋转而得到的,点C在BE上,则图中旋转中心是
,旋转角等于
度。点A、B、D三点
同一直线上。(填“在”或不在)为什么?O60°OA=OA′;OB=OB′;AB=A′B′;∠AOB=∠A′OB′;∠A=∠A′;∠B=∠B′;∠AOA′=∠BOB′B90°或270°在证三点共线的方法:若有公共边的两个角互为补角,则角的另两边在同一条直线上。例1、(1)请画出矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°后的图形?
(2)若点C的对应点为C’,连结AC、AC’、CC’,你认为△ACC’是怎样的三角形?为什么?
(3)若矩形ABCD的长AB=4,宽BC=3,你能求出CC’的长吗?解(2)根据旋转的特征,
CA=C′A,∠CAC′=90°∴△ACC′是等腰直角三角形。(3)在Rt△ABC中,AB=4,BC=3∴AC=在Rt△ACC′中,AC′=AC=5∴CC′=二、讨论探究,解决问题
例2如图,在四边形ABCD中,垂足为E,如果AE=4,求四边形ABCD的面积。
变式练习2
如图,在Rt△ABC中,四边形DECF是正方形.请回答下列问题:(1)请简述图①经过怎样的变换得到图②?(2)若AD=3,DB=4,则△ADE与△BDF的面积的和为
.
解:(1)把△ADE绕点D逆时针旋转90°后得到图②6例3、已知:如图,点P是正方形ABCD内的一点,连结PA、PB,将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB
的位置.设AB=4,PB=3,求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域的面积S。解:PA所扫过的区域面积为弧AC、弧PP’、PA、P’C所围成的阴影部分的面积.把△P'AB绕点B逆时针旋转90°返回到△PAB的位置,则:所求的面积S=ADCP'BPP四、课堂小结你从本课的学习中,学到了哪些知识?受到了哪些启发?布置作业(第1题)(第2题)(第3题)A组:1、如右图,△OAB顺时针旋转72°得到△OEF,那么:(1)旋转中心是点
,线段OA=
,线段AB=
,(2)∠
=∠
=72°,△OAB
△OEF2、如图,将△OAB绕点0按逆时针方面旋转至,使点B恰好落在边上,已知AB=5cm,BB’=1cm,则A’B的长是
cm.3、在右边画出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形。B组:1、△ABC以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转60°后得△AB’C’,连结BB’,则△ABB’是
三角形.2、等腰△ABC绕着点A旋转到△ACD的位置,已知:∠BAD=80°,则旋转中心是点
,旋转角度=
°∠ACD=
°3、如图,△ABC是等腰直角三角形,BC是斜边,P为△ABC一点,将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合,若AP=1,那么线段PP′的长等于
。4、如图,五边形ABCDE中,∠ABC=∠AED=90°,AB=CD=AE=BC+DE=1,则这个五边形ABCDE的面积等于
。(第2题)(第1题)(第3题)(第4题)C组:
1、如图是某汽车的一个雨刷器的示意图,雨刷器杆AB与雨刷CD在B处固定连接(不能转动),当杆AB绕A点转动90°时,雨刷CD扫过的面积是多少呢?小明仔细观察了雨刷器的转动情况,量得CD=80cm、∠DBA=20°,AC=115cm,AD=35cm.他经过认真思考只选用了其中的部分数据就求得了结果,你知道小明是怎样计算的吗?也请你算一算雨刷CD扫过的面积为多少cm2
。
C组:2、(1)如图1,以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE
和正方形ACFG,连接EG,试判断△ABC与△AEG面积之间
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