高中数学苏教版(2023)必修第二册第9章平面向量向量应用

向量应用学习目标核心素养1.会用向量方法解决简单的物理问题及其他的一些实际问题.2.会用向量方法解决某些简单的几何问题．(重点、难点)通过学习向量的应用，提升学生的数学建模和数学运算核心素养.1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ.证明线线平行、点共线及相似问题，可用向量的哪些知识？证明垂直问题，可用向量的哪些知识？2.物理中的量如力、速度、加速度、位移和向量有什么关系？物理学中的力、速度、加速度、位移的合成和分解是向量的什么运算？向量的应用(1)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(2)向量在物理中的应用①速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则．②物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积．(3)向量在平面解析几何中的应用向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是作为题设条件；二是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思想，是高考考查的热点之一．解决此类问题的思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是向量平行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若△ABC是直角三角形，则有eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝0． ()(2)若eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(CD,\s\up8(→))，则直线AB与CD平行． ()(3)在物体的运动过程中，力越大，做功越多． ()[解析](1)可能eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(CB,\s\up8(→))＝0或eq\o(BA,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝0，故错误．(2)eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(CD,\s\up8(→))，AB，CD亦可能在一条直线上，故错误．(3)W＝F·s＝|F|·|s|cosθ，故错误．[答案](1)×(2)×(3)×2．已知△ACB，eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，且a·b＜0，则△ABC的形状为()A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．不能确定[答案]A3．已知F＝(2，3)作用一物体，使物体从A(2，0)移动到B(4，0)，则力F对物体作的功为________．[答案]4向量在物理中的应用【例1】如图所示，在重300N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小．[思路点拨]解决本题的关键是把力的问题转化为向量问题解决，注意力的合成可以用平行四边形法则，也可用三角形法则．[解]如图，作平行四边形OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°.|eq\o(OA,\s\up8(→))|＝|eq\o(OC,\s\up8(→))|cos30°＝300×eq\f(\r(3),2)＝150eq\r(3)(N)，|eq\o(OB,\s\up8(→))|＝|eq\o(OC,\s\up8(→))|sin30°＝eq\f(1,2)×300＝150(N)．故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150eq\r(3)N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150N.1．解力向量题时，依据题意对物体进行受力分析，通过向量加法的平行四边形法则对力进行分解和合成．2．解题时要明确各个力之间的关系及它们各自在题目中的地位，借助于图形，将物理量之间的关系抽象为数学模型．[跟进训练]1．已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0)．(1)求F1，F2分别对质点所做的功；(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功．[解](1)eq\o(AB,\s\up8(→))＝(－13，－15)，W1＝F1·eq\o(AB,\s\up8(→))＝(3，4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，W2＝F2·eq\o(AB,\s\up8(→))＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99J和－3J.(2)W＝F·eq\o(AB,\s\up8(→))＝(F1＋F2)·eq\o(AB,\s\up8(→))＝[(3，4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(J)．∴合力F对质点所做的功为－102J.向量在平面几何中的应用【例2】如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.[思路点拨]法一：选取基底，并证明eq\o(DE,\s\up8(→))·eq\o(AF,\s\up8(→))＝0.法二：建立平面直角坐标系证明eq\o(AF,\s\up8(→))·eq\o(DE,\s\up8(→))＝0.[解]法一：设eq\o(AD,\s\up8(→))＝a，eq\o(AB,\s\up8(→))＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，又eq\o(DE,\s\up8(→))＝eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\o(AE,\s\up8(→))＝－a＋eq\f(b,2)，eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BF,\s\up8(→))＝b＋eq\f(a,2)，所以eq\o(AF,\s\up8(→))·eq\o(DE,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(a,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(b,2)))＝－eq\f(1,2)a2－eq\f(3,4)a·b＋eq\f(b2,2)＝－eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(1,2)|b|2＝0，故eq\o(AF,\s\up8(→))⊥eq\o(DE,\s\up8(→))，即AF⊥DE.法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，eq\o(AF,\s\up8(→))＝(2，1)，eq\o(DE,\s\up8(→))＝(1，－2)．因为eq\o(AF,\s\up8(→))·eq\o(DE,\s\up8(→))＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以eq\o(AF,\s\up8(→))⊥eq\o(DE,\s\up8(→))，即AF⊥DE.用向量法证明平面几何问题的方法，两种常见的思路：(1)向量的线性运算法eq\x(选取基底)→eq\x(把待证问题用基底线性表示)→eq\x(利用向量的线性运算或数量积找相应关系)→eq\x(把向量问题几何化)(2)向量的坐标运算法eq\x(建立适当的坐标系)→eq\x(把相关量坐标向量化)→eq\x(利用向量的坐标运算找相应关系)→eq\x(把向量问题几何化)但比较以上两种方法，易于知道，如果题目建系比较方便，坐标法更好用．[跟进训练]2．已知在正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB．[证明]建立如图所示的平面直角坐标系，设AB＝2，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1)．(1)∵eq\o(BE,\s\up8(→))＝(－1，2)，eq\o(CF,\s\up8(→))＝(－2，－1)．∴eq\o(BE,\s\up8(→))·eq\o(CF,\s\up8(→))＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，∴eq\o(BE,\s\up8(→))⊥eq\o(CF,\s\up8(→))，即BE⊥CF.(2)设点P坐标为(x，y)，则eq\o(FP,\s\up8(→))＝(x，y－1)，eq\o(FC,\s\up8(→))＝(2，1)，∵eq\o(FP,\s\up8(→))∥eq\o(FC,\s\up8(→))，∴x＝2(y－1)，即x＝2y－2，同理，由eq\o(BP,\s\up8(→))∥eq\o(BE,\s\up8(→))，得y＝－2x＋4，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2y－2，,y＝－2x＋4，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(6,5)，,y＝\f(8,5)，))∴点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，\f(8,5))).∴|eq\o(AP,\s\up8(→))|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))eq\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)))eq\s\up12(2))＝2＝|eq\o(AB,\s\up8(→))|，即AP＝AB．平面向量的综合应用【例3】已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝9，tanA＝eq\f(4,3)，P为线段AB上的点，且eq\o(CP,\s\up8(→))＝x·eq\f(\o(CA,\s\up8(→)),|\o(CA,\s\up8(→))|)＋y·eq\f(\o(CB,\s\up8(→)),|\o(CB,\s\up8(→))|)，则xy的最大值为________．3[在Rt△ABC中，由eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝9，得AB·AC·cosA＝9，因为Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝eq\f(4,3)，所以cosA＝eq\f(3,5)，所以AB·AC＝15，所以AB＝5，AC＝3，BC＝4.又P为线段AB上的点，且eq\o(CP,\s\up8(→))＝eq\f(x,3)·eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\f(y,4)·eq\o(CB,\s\up8(→))，故eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1≥2eq\r(\f(x,3)·\f(y,4))，即xy≤3，当且仅当eq\f(x,3)＝eq\f(y,4)＝eq\f(1,2)，即x＝eq\f(3,2)，y＝2时取等号．]利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，要先将线段看成向量，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化，得以解决．[跟进训练]3.在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝1，AB＝BC＝2，∠BCD＝120°，动点P和Q分别在线段BC和CD上，且eq\o(BP,\s\up8(→))＝λeq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(DQ,\s\up8(→))＝eq\f(1,8λ)eq\o(DC,\s\up8(→))，则eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(BQ,\s\up8(→))的最大值为()A．－2B．－eq\f(3,2)C．eq\f(3,4)D．eq\f(9,8)D[因为AB∥CD，CD＝1，AB＝BC＝2，∠BCD＝120°，所以ABCD是直角梯形，作CM⊥AB交AB于M点，则CM＝eq\r(3)，∠BCM＝30°，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因为eq\o(BP,\s\up8(→))＝λeq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(DQ,\s\up8(→))＝eq\f(1,8λ)eq\o(DC,\s\up8(→))，动点P和Q分别在线段BC和CD上，则λ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，1))，B(2，0)，P(2－λ，eq\r(3)λ)，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8λ)，\r(3)))，所以eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(BQ,\s\up8(→))＝(2－λ，eq\r(3)λ)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8λ)－2，\r(3)))＝5λ＋eq\f(1,4λ)－4－eq\f(1,8).令f(λ)＝5λ＋eq\f(1,4λ)－4－eq\f(1,8)且λ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，1))，由对勾函数性质可知，当λ＝1时可取得最大值，则f(λ)max＝f(1)＝5＋eq\f(1,4)－4－eq\f(1,8)＝eq\f(9,8).]1．本节课的重点是平面向量在平面几何中的应用，难点是平面向量在物理中的应用．2．要掌握平面向量的应用(1)利用平面向量解决平面几何中的平行、垂直问题；(2)平面向量在物理中的应用．(3)平面向量的综合应用．1．力F＝(－1，－5)作用于质点m，使m产生的位移s＝(4，6)，则力F对质点m做的功是()A．34B．26C．－34D．－26C[∵W＝F·s＝(－1，－5)·(4，6)＝－34，∴力F对m所做的功是－34.]2．在平面直角坐标系xOy中，已知eq\o(OA,\s\up8(→))＝(－1，t)，eq\o(OB,\s\up8(→))＝(2，2)．若∠ABO＝90°，则实数t的取值为________．5[eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝(3，2－t)，由题意知eq\o(OB,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝0，所以2×3＋2×(2－t)＝0，解得t＝5.]3．在OA为边，OB为对角线的矩形中，eq\o(OA,\s\up8(→))＝(－3，1)，eq\o(OB,\s\up8(→