误差理论与数据处理-浙江大学-绪论

误差理论与数据处理俞建杰

生仪学院yjjhit@

通过本课程的学习，掌握误差的基本概念和误差分析的基本步骤，理解被测对象、测试仪器精度、测试数据和测试误差的关系，学会分析误差的来源并评估精度，学会分析和处理实测数据的基本方法。教学目标钱政，贾果欣。《误差理论与数据处理》。科学出版社，第2版，2014费业泰。《误差理论与数据处理》。机械工业出版社，第6版，2013秦岚。《误差理论与数据处理习题集与典型题解》。机械工业出版社，第1版，2013主要参考书董大均。《误差分析与数据处理》。清华大学出版社，第1版，2013杨旭武。《实验误差原理与数据处理》。科学出版社，第1版，2009马宏，王金波。《仪器精度理论》。北京航空航天大学出版社，第1版，2014毛英泰。《误差理论与精度分析》。国防工业出版社，第1版，1982熊有伦。《精密测量中的数学方法》。中国计量出版社，第1板，1989谭久彬。《精密测量中的误差补偿方法》。哈尔滨工业大学出版社，第1版，1995宋俊峰。《怎样减少测量误差》。机械工业出版社，1984罗马诺夫著，李青岳等译。《误差理论与最小二乘法》。高等教育出版社，第1版，1955赵长胜。《测量数据处理研究》。测绘出版社，第1版，2013邓勃。《分析测量数据的统计处理方法》。清华大学出版社，第1版，1995石振东，刘国庆。《实验数据处理与曲线拟合技术》。哈尔滨船舶工程学院出版社，第1版，1991PhilipR.Bevington，D.KeithRobinson著，夏元复，何云译。《物理科学中的数据处理和误差分析》。广西师范大学出版社。第1版，2006沈云中，陶本藻。《实用测量数据处理方法》。测绘出版社，第2版，2012李建章等。《测量数据处理程序设计》。国防工业出版社，第1版，2012课外参考书考试：60%，闭卷作业：30%，课堂例题+课后作业出勤：10%，随机点名考核方式讲授课堂例题课后作业考试教学方式课程资源 2.绪论误差的基本性质与处理误差的合成与分配测量结果的处理及评定数据处理的最小二乘法静态实验数据的处理方法（回归分析）动态实验数据的处理方法（自习为主）章节安排第1章绪论本章阐述测量误差的基本概念、误差的表达形式、误差分类、误差来源；给出描述误差大小的精度概念及其与误差类型之间的关系；给出测量中的有效数字概念及其在数据处理中的基本方法。通过学习本章内容，使读者对测量误差分析及其数据处理的问题有一个概貌的了解，为学习后面章节的内容奠定基础。本章教学目标误差定义及表达形式测量误差来源的分析测量误差按误差性质的分类处理有效数字定义及选取重点与难点门捷列夫(1834-1907)

科学始于测量，没有测量，便没有精密的科学。门捷列夫第一节研究误差的意义我常说的一句话是：当你能够测量你所关注的事物，而且能够用数量来描述他的时候，你就对其有所认识；当你不能测量他，也不能将其量化的时候，你对他的了解就是贫乏和不深入的。开尔文为了纪念他在科学上的功绩，国际计量大会把热力学温标（即绝对温标）称为开尔文（开氏）温标，热力学温度以开尔文为单位，是现在国际单位制中七个基本单位之一。开尔文（1824-1907）第一节研究误差的意义钱学森信息技术包括测量技术、计算机技术和通信技术，测量技术是信息技术的关键和基础。钱学森(1911-2009)第一节研究误差的意义王大珩等仪器仪表是工业生产的“倍增器”，是高新技术和科研的“催化剂”，在军事上体现的是“战斗力”。王大珩(1915-2011)第一节研究误差的意义第一节研究误差的意义正确认识误差的性质，分析误差产生的原因从根本上，消除或减小误差正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果通过计算得到更接近真值的数据正确组织实验过程，合理设计、选用仪器或测量方法根据目标确定最佳系统惰性气体的发现者，1904年获诺贝尔物理奖引导了电阻、电流和电动势等标准的建立提出了瑞利散射定律，回答了天空为什么总是蓝的提出光学仪器分辨率的概念，奠定了光谱仪的研制基础瑞利1882年，在测定氮气的密度时，发现从大气中分离出的氮的密度为1.2979/L，而用化学方法提取的氮的密度与此相差0.0067左右。分析结果表明，空气中分离的氮含有其他成分，由此导致了后来雷塞姆发现了空气中的惰性气体一氩。误差理论的重要作用创建微积分，并进行广泛的工程应用提出万有引力定律和牛顿三大运动定律提出白光是多种颜色光的组合，并提出光的微粒说提出物质不灭、能量守恒、动量守恒三大恒定定律牛顿

著名科学家牛顿在计算中使用的地球半径值有较大误差，导致他测得的月球加速度值与理论值相差10％。由于这个较大系统误差的存在，导致牛顿推迟了20年才发表他的万有引力理论。1665~1666：万有引力的基本思想已经形成；1687：自然哲学的数学原理。误差理论的重要作用测量最后一级运载火箭的速度如有2/1000的相对误差，则卫星就会偏离预定轨道100公里，真可谓“失之毫厘，谬以千里”。北京市的中轴线偏离子午线两度十几分，带来的问题是33代皇帝的龙椅坐歪了？是测量水平的限制，还是其他的原因？误差理论的重要作用1632“误差”概念1794最小二乘法1805最小二乘法应用1953~“不确定度”概念1970年~今现代误差理论

伽利略提出观测误差的概念奠定了误差工作的起源

高斯阐述最小二乘法原理奠定了数据处理理论基础

勒让德在著作《决定彗星轨道的新方法》中用最小二乘法处理观察结果。Y.Beers误差理论导引首次使用不确定度的术语

Eisenhart(1963)提出定量评价的建议Deitrich(1970)给出了不确定度的一种描述方式

Burns(1973)发表论文“误差和不确定度”，明确提出用不确定度评价测量结果的质量经典误差理论萌芽期经典误差理论成熟期现代误差理论形成和发展期

马利科夫计量学基础全面、系统地介绍误差理论，是经典误差理论的总结1949

经典误差理论误差理论的发展简史经典误差理论误差概念误差分布误差分类合成分配伽利略1632辛普森17551）观测必然有误差，误差对称分布，小误差出现的频率高2）正、负误差发生的几率相等，算术平均值的误差小于单个测量误差，且误差随着观测次数增加而减小拉普拉斯1780高斯18091730年，狄莫弗最早发现正态分布，1780年拉普拉斯发现了中心极限定理，但均没有和误差理论结合起来！误差理论的发展-误差分布理论欧拉：n=75，k=8的方程组求解拉普拉斯：n=24，k=4的方程组求解通用方法：分成k组，可求唯一解，但如何分组？勒让德：1792年开始求解巴黎子午线长度，遇到了矛盾方程组的问题思想：误差均匀分布于方程组，但缺少对方法的误差分析拉普拉斯1787高斯1809将正态分布应用于误差理论，给出了最小二乘法最优的严格数学证明引领了最小二乘法在各个领域的广泛应用欧拉1749勒让德1805误差理论的发展-最小二乘高尔顿收集了上千个家庭的身高、臂长和腿长的记录企图寻找出儿子们身高与父亲们身高之间关系的具体表现形式皮尔逊个子高的父亲确有生出个子高的儿子的倾向，同样地，个子低的父亲确有生出个子低的儿子的倾向高的伸了天？低的入了地？儿子们的身高回复于全体男子的平均身高，即“回归”误差理论的发展-回归分析将静态测量误差与动态测量误差、系统误差和随机误差、测量数据与测量系统、不同误差分布等融为一体，以常见误差源的误差性质及其分布为研究基础，以测量不确定度的原理及应用、动态测量不确定度的分析与评定等为主要研究内容，以紧密结合工程测量与仪器制造技术的误差修正与补偿技术为研究热点口。在理论上突破了以统计学理论为基础的传统研究方法，在实践上力求统一、实用、可靠的评定准则和方法，在水平上实现了误差理论与计算机应用技术、近代数学物理方法、测量和计量实践，以及与标准化等紧密结合。误差理论的发展-现代误差理论解放后受原苏联影响很大国内误差理论的发展国内开设误差理论课程的学校一、武汉大学、二、解放军信息工程大学三、中国矿业大学四、同济大学五、中南大学六、中国地质大学七、西安交通大学八、辽宁工程技术大学九、北京建筑工程学院十、河海大学第二节误差的基本概念这一节将介绍测量误差的基本概念，如测量误差的定义、分类、误差的来源等。通过这些内容的学习，可以让读者对测量误差有个全面的了解。误差（Error）：误差测得值真值＝－真值（TrueValue）：观测一个量时，该量本身所具有的真实大小。分类：理论值约定真值三角形内角之和恒为180º一个整圆周角为360º一、误差的定义及表示法国际千克基准1Kg约定真值(ConventionalTrueValue）指定值、最佳估计值、约定值或参考值

是指对于给定用途具有适当不确定度的、赋予特定量的值。这个术语在计量学中常用。由国家建立的实物标准（或基准）所指定的千克副原器质量的约定真值为1kg，其复现的不确定度为0.008mg。当今保存在国际计量局的铂铱合金千克原器的最小不确定度为0.004mg误差是针对真值而言的，真值一般都是指约定真值。

亦称一、误差的定义及表示法误差绝对误差相对误差粗大误差系统误差随机误差表示形式性质特点一、误差的定义及表示法绝对误差（AbsoluteError）

测得值

被测量的真值，常用约定真值代替

绝对误差特点：1)绝对误差是一个具有确定的大小、符号及单位的量。2)单位给出了被测量的量纲，其单位与测得值相同。一、误差的定义及表示法L＝L－L0绝对误差测得值真值＝－修正值(Correction)

:为了消除固定的系统误差用代数法而加到测量结果上的值。

一、误差的定义及表示法修正值真值测得值－特点：1)与误差大小近似相等，但方向相反。2)修正值本身还有误差。误差－【例1-1】用某电压表测量电压，电压表的示值为226V，查该表的检定证书，得知该电压表在220V附近的误差为5V，被测电压的修正值为－5V，则修正后的测量结果为226+(－5V)=221V。

测得值真值绝对误差一、误差的定义及表示法定义

被测量的真值，常用约定真值代替，也可以近似用测量值L

来代替

L0相对误差特点：1）相对误差有大小和符号。2）无量纲，一般用百分数来表示。绝对误差相对误差（RelativeError）：

绝对误差与被测量真值之比

相对误差一、误差的定义及表示法绝对误差和相对误差的比较用1μm测长仪测量0.01m长的工件，其绝对误差=0.0006m，但用来测量1m长的工件，其绝对误差为0.0105m。前者的相对误差为

后者的相对误差为用绝对误差不便于比较不同量值、不同单位、不同物理量等的准确度。

一、误差的定义及表示法引用误差（FiducialErrorofaMeasuringInstrument）

定义

该标称范围（或量程）上限引用误差

仪器某标称范围（或量程）内的最大绝对误差

引用误差是一种相对误差，而且该相对误差是引用了特定值，即标称范围上限（或量程）得到的，故该误差又称为引用相对误差、满度误差。

一、误差的定义及表示法我国电工仪表、压力表的准确度等级（AccuracyClass）就是按照引用误差进行分级的。当一个仪表的等级s选定后，用此表测量某一被测量时，所产生的最大绝对误差为最大相对误差为绝对误差的最大值与该仪表的标称范围（或量程）上限xm成正比选定仪表后，被测量的值越接近于标称范围（或量程）上限，测量的相对误差越小，测量越准确

（公式2）（公式1）电工仪表、压力表的准确度等级一、误差的定义及表示法【例1-3

】检定一只2.5级、量程为100V的电压表，发现在50V处误差最大，其值为2V，而其他刻度处的误差均小于2V，问这只电压表是否合格？由公式2，该电压表的引用误差为由于所以该电压表合格。【解】一、误差的定义及表示法【例1-4

】

某1.0级电流表，满度值（标称范围上限）为100，求测量值分别为100，80和20时的绝对误差和相对误差。根据题意得

由公式1可知，最大绝对误差为

他们的相对误差分别为

可见，在同一标称范围内，测量值越小，其相对误差越大。

【解】一、误差的定义及表示法

为了减小测量误差，提高测量准确度，就必须了解误差来源。而误差来源是多方面的，在测量过程中，几乎所有因素都将引入测量误差。主要来源

测量装置误差

测量环境误差

测量方法误差

测量人员误差

二、误差的来源测量装置误差标准器件误差仪器误差附件误差以固定形式复现标准量值的器具，如标准电阻、标准量块、标准砝码等等，他们本身体现的量值，不可避免地存在误差。一般要求标准器件的误差占总误差的1/3～1/10。测量装置在制造过程中由于设计、制造、装配、检定等的不完善，以及在使用过程中，由于元器件的老化、机械部件磨损和疲劳等因素而使设备所产生的误差。

测量仪器所带附件和附属工具所带来的误差。

设计测量装置时，由于采用近似原理所带来的工作原理误差

组成设备的主要零部件的制造误差与设备的装配误差设备出厂时校准与定度所带来的误差读数分辨力有限而造成的读数误差

数字式仪器所特有的量化误差

元器件老化、磨损、疲劳所造成的误差二、误差的来源测量环境误差指各种环境因素与要求条件不一致而造成的误差。对于电子测量，环境误差主要来源于环境温度、电源电压和电磁干扰等激光光波比长测量中，空气的温度、湿度、尘埃、大气压力等会影响到空气折射率，因而影响激光波长，产生测量误差。高精度的准直测量中，气流、振动也有一定的影响二、误差的来源测量方法误差指使用的测量方法不完善，或采用近似的计算公式等原因所引起的误差，又称为理论误差二、误差的来源测量人员误差测量人员的工作责任心、技术熟练程度、生理感官与心理因素、测量习惯等的不同而引起的误差。为了减小测量人员误差，就要求测量人员要认真了解测量仪器的特性和测量原理，熟练掌握测量规程，精心进行测量操作，并正确处理测量结果。二、误差的来源三、误差分类系统误差（SystematicError）

在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。

定义特征

在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差。

用天平计量物体质量时，砝码的质量偏差用千分表读数时，表盘安装偏心引起的示值误差刻线尺的温度变化引起的示值误差系统误差举例在实际估计测量器具示值的系统误差时，常常用适当次数的重复测量的算术平均值减去约定真值来表示，又称其为测量器具的偏移或偏畸（Bias）。

由于系统误差具有一定的规律性，因此可以根据其产生原因，采取一定的技术措施，设法消除或减小；也可以在相同条件下对已知约定真值的标准器具进行多次重复测量的办法，或者通过多次变化条件下的重复测量的办法，设法找出其系统误差的规律后，对测量结果进行修正。具体可见第五章。三、误差分类三、误差分类按对误差掌握程度，系统误差可分为误差绝对值和符号已经明确的系统误差。

已定系统误差：举例：

直尺的刻度值误差

误差绝对值和符号未能确定的系统误差，但通常估计出误差范围。

未定系统误差：三、误差分类按误差出现规律，系统误差可分为误差绝对值和符号固定不变的系统误差。

不变系统误差：举例：

砝码质量、热膨胀误差

误差绝对值和符号变化的系统误差。按其变化规律，可分为线性系统误差、周期性系统误差和复杂规律系统误差。

变化系统误差：随机误差（RandomError）

测得值与在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值之差。又称为偶然误差。定义特征

在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差。产生原因实验条件的偶然性微小变化，如温度波动、噪声干扰、电磁场微变、电源电压的随机起伏、地面振动等。

三、误差分类随机误差的大小、方向均随机不定，不可预见，不可修正。

虽然一次测量的随机误差没有规律，不可预定，也不能用实验的方法加以消除。但是，经过大量的重复测量可以发现，它是遵循某种统计规律的。因此，可以用概率统计的方法处理含有随机误差的数据，对随机误差的总体大小及分布做出估计，并采取适当措施减小随机误差对测量结果的影响。具体见第三章。

随机误差的性质三、误差分类粗大误差（GrossError）

指明显超出统计规律预期值的误差。又称为疏忽误差、过失误差或简称粗差。定义产生原因某些偶尔突发性的异常因素或疏忽所致。测量方法不当或错误，测量操作疏忽和失误（如未按规程操作、读错读数或单位、记录或计算错误等）测量条件的突然变化（如电源电压突然增高或降低、雷电干扰、机械冲击和振动等）。由于该误差很大，明显歪曲了测量结果。故应按照一定的准则进行判别，将含有粗大误差的测量数据（称为坏值或异常值）予以剔除。具体见第四章。

三、误差分类三类误差的关系及其对测得值的影响

标准差期望值

均值

某次测得值

奇异值

系统误差和随机误差的定义是科学严谨，不能混淆的。但在测量实践中，由于误差划分的人为性和条件性，使得他们并不是一成不变的，在一定条件下可以相互转化。也就是说一个具体误差究竟属于哪一类，应根据所考察的实际问题和具体条件，经分析和实验后确定。三、误差分类如一块电表，它的刻度误差在制造时可能是随机的，但用此电表来校准一批其它电表时，该电表的刻度误差就会造成被校准的这一批电表的系统误差。又如，由于电表刻度不准，用它来测量某电源的电压时必带来系统误差，但如果采用很多块电表测此电压，由于每一块电表的刻度误差有大有小，有正有负，就使得这些测量误差具有随机性。误差性质的相互转化三、误差分类第三节精度这一节将介绍测量误差的评定参数及与误差的关系。第三节精度当只考虑系统误差的大小时，准确度称为准确度。准确度（Correctness）只考虑随机误差的大小时，准确度称为精密度。精密度（Precision）精确度（Accuracy）

表示测量结果与被测量真值之间的一致程度。就误差分析而言，精确度是测量结果中系统误差和随机误差的综合，误差大，则精确度低，误差小，则精确度高。精确度（精度）在数值上一般多用相对误差来表示，但不用百分数。如某一测量结果的相对误差为0.001%，则其精度为10-5。

准确度、正确度和精密度三者之间的关系弹着点全部在靶上，但分散。相当于系统误差小而随机误差大，即精密度低，正确度高。弹着点集中，但偏向一方，命中率不高。相当于系统误差大而随机误差小，即精密度高，正确度低。弹着点集中靶心。相当于系统误差与随机误差均小，即精密度、正确度都高，从而准确度亦高。第三节精度生物医学工程与仪器科学学院

指在相同条件下在短时间内对同一个量进行多次测量所得测量结果之间的一致程度，一般用测量结果的分散性来定量表示。

重复性（Repeatability）指在变化条件下，对同一个量进行多次测量所得测量结果之间的一致程度，一般用测量结果的分散性来定量表示。复现性也称为再现性。

复现性（Reproducibility）常用质量名词术语第三节精度指测量仪器保持其计量特性随时间恒定的能力。它可以用几种方式来定量表示，如用计量特性变化某个规定的量所经过的时间；或用计量特性经规定的时间所发生的变化等。

稳定性（Stability）指测量仪器的示值与对应输入量的真值之差。由于真值不能确定，故在实际应用中常采用约定真值。

示值误差（ErrorofIndication）常用质量名词术语第三节精度指测量仪器示值的系统误差。通常用适当次数重复测量的示值误差的平均来估计。

偏移（Bias）

指对于给定的测量仪器，规范、规程等所