上篇-2 复变函数的积分

1第二章复变函数的积分讲授内容：复变函数的积分；柯西定理；柯西公式。基本要求：了解复变函数积分的基本性质；熟练掌握柯西定理和柯西公式。2§2.1复变函数的积分一、定义：设在复数平面的某分段光滑曲线l上定义了连续函数f(z)，在l上取一系列分点z0（起点A），z1

，

z2，…，

zn（终点B），把l分成n个小段，在每个小段[zk-1,zk]上任取一点k，作和••••A••xyo•Bz0znlz1zk-1zkk3若极限存在且值与k的选取无关,则这个和的极限称为函数f(z)沿曲线l从A到B的路积分，记为

分量形式：

f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z=x+iy参数形式：曲线l的参数方程{x=x(t),y=y(t)},起始点A

和结束点

BtA,tB4二、性质常数因子可以移到积分号之外函数和的积分等于各函数积分的和反转积分路径，积分值变号5全路径上的积分等于各分段上的积分的和即：如果

l=l1+l2+……+ln积分不等式1：积分不等式2：其中M

是|f(z)|在l上的最大值，L

是l

的全长。6例1：计算积分复变函数的积分不仅与起点和终点有关，同时还与路径有关。oxyl1l1l2l211+i1解：7解：积分路径的参数方程为2积分值与积分路线圆周的半径无关。取C为圆周|z|=3，结果？8解：积分路径的参数方程为9积分值与积分路线圆周的中心和半径无关。10§2.2柯西定理一、单连通区域情形单连通区域柯西定理：如果函数f(z)在闭单连通区域上解析，则沿上任一分段光滑闭合曲线l（可以是边界），函数的积分均为零。xyclo11证明：因f(z)在上解析，因而在上连续。对实部虚部分别应用格林公式将回路积分化成面积分因为u、v满足C-R条件12推论：在单连通区域中解析的函数f(z)的积分值只依赖于起点和终点，而与积分线路无关。证明：已知其中C2-表示C2

的反方向。单连通区域内，只要起点和终点固定不变，当积分路径连续变形时，函数的路积分值不变。最后可得：由积分的基本性质可得：13解：根据柯西定理,有14

xyl1l2l3l0Bo区域边界线的正方向当观察者沿着这个方向前进时，区域总是在观察者的左边。二、复连通区域情形复连通区域：如果区域内存在(1)奇点；(2)不连续线段；(3)无定义区

,为了把这些奇异部分排除在外，需要作适当的围道l1、l2、l3

把它们分隔出去，形成带孔的区域复连通区域柯西定理：如果f(z)

是闭复连通区域上的单值解析函数，则其中：l为外边界线，li为内边界线，积分沿边界线的正方向。15证：作割线连接内外边界线逆时针顺时针16闭复连通区域上的单值解析函数沿外境界线逆时针方向的积分等于沿所有内境界线逆时针方向积分的和。引申：17解：18根据复连通区域柯西定理有：利用例3结果19练习：结论：不必是圆，a也不必是圆的圆心，只要a在简单闭曲线内即可。20§2.4柯西公式一、单连通区域情形若f(z)在闭单连通区域上单值解析，l为的边界线，为内的任一点，则有柯西公式：证明：21因被积函数一般以为奇点，作回路对右端的值作一估计••l从而仅需证明=022••l特例：如果l是以为圆心的圆周，z=

+rei

这就是说，一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周的平均值。23考虑到是解析区域内任意一点，将改为z，积分变数用表示24二、复连通区域情形Bl1l2l•

z

对复连通区域只要将l

理解成所有边界线，且方向均取正向，上式仍成立。三、无界区域的情形如果当|z|时，f(z)0（一致），则：l’与l反方向•zl’设f(z)在闭回路l的外部解析，以z=0为圆心，充分大的R为半径，作圆CR，l在CR内，有：25关于柯西公式的说明：内点的值可用边界线的积分表示；公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式；一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值。26解：由单连通区域柯西公式有：27解：28根据复连通区域柯西定理有：利用柯西公式29四、重要推论—高阶导数公式两边对z求导：两端反复在积分号下求导即得高阶导数公式。一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各阶导数，它的值也可以用函数在边界上的值通过积分来表示，这一点和实变函数完全不同。证：30C•z=0•z=1例7：计算积分I,其中C为不经过点0和1的正向曲线。解：分四种情况考虑被积函数解析，因此，由柯西定理得I=0;

函数在C上及C包围的区域解析，由柯西公式：(1)如果0和1都不在C中(2)若仅0在C内31(3)若仅1在C内(4)若0和1都在C内C•z=1•z=0•z=0•z=1C1C0由柯西定理32因f0(z)在C0上及C0包围的圆内解析，同样f1(z)在C1上及C1包围的圆内解析，可利用前面结果得：其中D

为曲线C

包围的区域所以，最后结果为：330213解：仅包含奇点z=2。两个奇点z=2和z=0都含在