高中数学北师大版1第二章圆锥曲线与方程 第2章2

第二章§1第一课时一、选择题(每小题5分，共20分)1．椭圆的一个焦点和短轴的两端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为()\f(1,2) \f(\r(3),2)\f(\r(3),3) D．不能确定解析：由题意知正三角形的边长为a，c为正三角形的高，故e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2).答案：B2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为()\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1 \f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1或eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1 D．以上都不对解析：由题意知：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋2b＝18,2c＝6,a2－b2＝c2))，∴解得a＝5，b＝4.又焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，∴椭圆方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1或eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1.答案：C3．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1有两个顶点在直线x＋2y＝2上，则此椭圆的焦点坐标是()A．(±eq\r(3)，0) B．(0，±eq\r(3))C．(±eq\r(5)，0) D．(0，±eq\r(5))解析：直线x＋2y＝2与坐标轴的交点为(2,0)，(0,1)，即为椭圆的两个顶点，又焦点在x轴上，∴a＝2，b＝1，∴c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(3)，∴焦点坐标为(±eq\r(3)，0)．故选A.答案：A4．已知椭圆eq\f(x2,10－m)＋eq\f(y2,m－2)＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则m等于()A．4 B．5C．7 D．8解析：由题意知焦距为4，则有m－2－(10－m)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)))2，解得m＝8.答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为eq\f(1,2)，它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是______________．解析：设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径为4，即a＝2.而eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，得c＝1，所以b＝eq\r(3)，则椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.答案：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝16．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是__________．解析：由题意有2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－即5e2＋2e－3＝0，∴e＝eq\f(3,5)或e＝－1(舍去)．答案：eq\f(3,5)三、解答题(每小题10分，共20分)7．求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)椭圆过(3,0)，离心率e＝eq\f(\r(6),3)；(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8.解析：(1)若焦点在x轴上，则a＝3，∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)，∴c＝eq\r(6).∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.∴椭圆的方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1.若焦点在y轴上，则b＝3，∵e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\r(1－\f(9,a2))＝eq\f(\r(6),3)，解得a2＝27.∴椭圆的方程为eq\f(y2,27)＋eq\f(x2,9)＝1.(2)设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)且|OF|＝c，|A1A2|＝2b∴c＝b＝4.∴a2＝b2＋c2＝32，故所求椭圆的方程为eq\f(x2,32)＋eq\f(y2,16)＝1.8.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率．解析：设椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．则F1(－c,0)，F2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)，直线PF1的方程为x＝－c，代入方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，得y＝±eq\f(b2,a)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(b2,a))).∵PF2∥AB，且kPF2＝eq\f(\f(b2,a),－c－c)＝eq\f(－b2,2ac)，又kAB＝－eq\f(b,a)，∴由kPF2＝kAB，得－eq\f(b2,2ac)＝－eq\f(b,a).∴b＝2c，a＝eq\r(5)c，∴e＝eq\f(\r(5),5).eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．(10分)如图，已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；(2)若eq\o(AF,\s\up6(→))2＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)，求椭圆的方程．解析：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c.所以a＝eq\r(2)c，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).(2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中，c＝eq\r(a2－b2)，设B(x，y)．由eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))⇔(c，－b)＝2(x－c，y)，解得x＝eq\f(3c,2)，y＝－eq\f(b,2)，即Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3c,2)，－\f(b,2))).将B点坐标代入eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，得eq\f(\f(9,4)c2,a2)＋eq\f(\f(b2,4),b2)＝1，即eq\f(9c2,4a2)＋eq\f(1,4)＝1，解得a2＝3c2.①又由eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(