高中数学人教B版3第一章计数原理二项式定理 第1章

二项式定理二项式定理1.会证明二项式定理.(难点)2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.(重点)[基础·初探]教材整理二项式定理阅读教材P26～P27例1以上部分，完成下列问题.二项式定理及相关的概念二项式定理概念公式(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N＋)称为二项式定理二项式系数各项系数Ceq\o\al(r,n)(r＝0,1,2，…，n)叫做展开式的二项式系数二项式通项Ceq\o\al(r,n)an－rbr是展开式中的第r＋1项，可记做Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr(其中0≤r≤n，r∈N，n∈N＋)二项展开式Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N＋)备注在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝1＋Ceq\o\al(1,n)x＋Ceq\o\al(2,n)x2＋…＋Ceq\o\al(r,n)xr＋…＋Ceq\o\al(n,n)xn(n∈N＋)判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项.()(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响.()(3)Ceq\o\al(r,n)an－rbr是(a＋b)n展开式中的第r项.()(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同.()【解析】(1)×因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项.(2)×因为二项式的第r＋1项Ceq\o\al(r,n)an－rbr和(b＋a)n的展开式的第k＋1项Ceq\o\al(r,n)bn－rar是不同的，其中的a，b是不能随便交换的.(3)×因为Ceq\o\al(r,n)an－rbr是(a＋b)n展开式中的第r＋1项.(4)√因为(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数都是Ceq\o\al(r,n).【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]二项式定理的正用、逆用(1)用二项式定理展开eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3,2x2)))5；(2)化简：Ceq\o\al(0,n)(x＋1)n－Ceq\o\al(1,n)(x＋1)n－1＋Ceq\o\al(2,n)(x＋1)n－2－…＋(－1)rCeq\o\al(r,n)(x＋1)n－r＋…＋(－1)nCeq\o\al(n,n).【精彩点拨】(1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解.【自主解答】(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3,2x2)))5＝Ceq\o\al(0,5)(2x)5＋Ceq\o\al(1,5)(2x)4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2x2)))＋…＋Ceq\o\al(5,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2x2)))5＝32x5－120x2＋eq\f(180,x)－eq\f(135,x4)＋eq\f(405,8x7)－eq\f(243,32x10).(2)原式＝Ceq\o\al(0,n)(x＋1)n＋Ceq\o\al(1,n)(x＋1)n－1(－1)＋Ceq\o\al(2,n)(x＋1)n－2(－1)2＋…＋Ceq\o\al(r,n)(x＋1)n－r(－1)r＋…＋Ceq\o\al(n,n)(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.1.展开二项式可以按照二项式定理进行.展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件.2.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.3.对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用.对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数.[再练一题]1.(1)求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))4的展开式；(2)化简：1＋2Ceq\o\al(1,n)＋4Ceq\o\al(2,n)＋…＋2nCeq\o\al(n,n).【解】(1)法一：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))4＝Ceq\o\al(0,4)(3eq\r(x))4＋Ceq\o\al(1,4)(3eq\r(x))3·eq\f(1,\r(x))＋Ceq\o\al(2,4)(3eq\r(x))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))2＋Ceq\o\al(3,4)(3eq\r(x))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))3＋Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))4＝81x2＋108x＋54＋eq\f(12,x)＋eq\f(1,x2).法二：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))4＝eq\f(3x＋14,x2)＝eq\f(1,x2)(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋eq\f(12,x)＋eq\f(1,x2).(2)原式＝1＋2Ceq\o\al(1,n)＋22Ceq\o\al(2,n)＋…＋2nCeq\o\al(n,n)＝(1＋2)n＝3n.二项式系数与项的系数问题(1)求二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(x)－\f(1,x)))6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))9的展开式中x3的系数.【精彩点拨】利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解.【自主解答】(1)由已知得二项展开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)(2eq\r(x))6－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))r＝(－1)rCeq\o\al(r,6)·26－r·x3－r，∴T6＝－12·x－.∴第6项的二项式系数为Ceq\o\al(5,6)＝6，第6项的系数为Ceq\o\al(5,6)·(－1)·2＝－12.(2)Tr＋1＝Ceq\o\al(r,9)x9－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))r＝(－1)r·Ceq\o\al(r,9)·x9－2r，∴9－2r＝3，∴r＝3，即展开式中第四项含x3，其系数为(－1)3·Ceq\o\al(3,9)＝－84.1.二项式系数都是组合数Ceq\o\al(r,n)(r＝0,1,2，…，n)，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念.2.第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为Ceq\o\al(r,n).例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝Ceq\o\al(3,7)17－3(2x)3，其二项式系数是Ceq\o\al(3,7)＝35，而第四项的系数是Ceq\o\al(3,7)23＝280.[再练一题]2.(1＋2x)n的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.【解】T6＝Ceq\o\al(5,n)(2x)5，T7＝Ceq\o\al(6,n)(2x)6，依题意有Ceq\o\al(5,n)25＝Ceq\o\al(6,n)26⇒n＝8.∴(1＋2x)n的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝Ceq\o\al(4,8)(2x)4＝1120x4.设第r＋1项系数最大，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(r,8)2r≥C\o\al(r－1,8)2r－1，,C\o\al(r,8)2r≥C\o\al(r＋1,8)2r＋1，))∴5≤r≤6.∴r＝5或r＝6(∵r＝0,1,2，…，8).∴系数最大的项为T6＝1792x5，T7＝1792x6.[探究共研型]求展开式中的特定项探究1如何求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))4展开式中的常数项.【提示】利用二项展开式的通项Ceq\o\al(r,4)x4－r·eq\f(1,xr)＝Ceq\o\al(r,4)x4－2r求解，令4－2r＝0，则r＝2，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))4展开式中的常数项为Ceq\o\al(2,4)＝eq\f(4×3,2)＝6.探究2(a＋b)(c＋d)展开式中的每一项是如何得到的？【提示】(a＋b)(c＋d)展开式中的各项都是由a＋b中的每一项分别乘以c＋d中的每一项而得到.探究3如何求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))(2x＋1)3展开式中含x的项？【提示】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))(2x＋1)3展开式中含x的项是由x＋eq\f(1,x)中的x与eq\f(1,x)分别与(2x＋1)3展开式中常数项Ceq\o\al(3,3)＝1及x2项Ceq\o\al(1,3)22x2＝12x2分别相乘再把积相加得x·Ceq\o\al(3,3)＋eq\f(1,x)·Ceq\o\al(1,3)(2x)2＝x＋12x＝13x.即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))(2x＋1)3展开式中含x的项为13x.已知在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)－\f(3,\r(3,x))))n的展开式中，第6项为常数项.(1)求n；(2)求含x2项的系数；(3)求展开式中所有的有理项.【精彩点拨】eq\x(写出通项Tr＋1)→eq\x(令r＝5，x的指数为零)→eq\x(1求出n值)→eq\x(修正通项公式)→eq\x(2求x2项的系数)→eq\x(考察x指数为整数)→eq\x(分析求出k值)→eq\x(3写出有理项)【自主解答】通项公式为：Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)xeq\f(n－r,3)(－3)rx－eq\f(r,3)＝Ceq\o\al(r,n)(－3)rxeq\f(n－2r,3).(1)∵第6项为常数项，∴r＝5时，有eq\f(n－2r,3)＝0，即n＝10.(2)令eq\f(10－2r,3)＝2，得r＝eq\f(1,2)(10－6)＝2，∴所求的系数为Ceq\o\al(2,10)(－3)2＝405.(3)由题意得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(10－2r,3)∈Z，,0≤r≤10，,r∈Z.))令eq\f(10－2r,3)＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－eq\f(3,2)k.∵r∈Z，∴k应为偶数，k＝2,0，－2即r＝2,5,8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61236,295245x－2.1.求二项展开式的特定项的常见题型(1)求第k项，Tr＝Ceq\o\al(r－1,n)an－r＋1br－1；(2)求含xr的项(或xpyq的项)；(3)求常数项；(4)求有理项.2.求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致.[再练一题]3.(1)在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是________.(2)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(a),x2)))6展开式的常数项为60，则常数a的值为________.【导学号：62980023】【解析】(1)x5应是(1＋x)10中含x5项、含x2项分别与1，－x3相乘的结果，∴其系数为Ceq\o\al(5,10)＋Ceq\o\al(2,10)(－1)＝207.(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(a),x2)))6的展开式的通项是Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)x6－r·(－eq\r(a))rx－2r＝Ceq\o\al(r,6)x6－3r(－eq\r(a))r，令6－3r＝0，得r＝2，即当r＝2时，Tr＋1为常数项，即常数项是Ceq\o\al(2,6)a，根据已知得Ceq\o\al(2,6)a＝60，解得a＝4.【答案】(1)207(2)4[构建·体系]1.在(x－eq\r(3))10的展开式中，含x6的项的系数是()A.－27Ceq\o\al(6,10) \o\al(4,10)C.－9Ceq\o\al(6,10) \o\al(4,10)【解析】含x6的项是T5＝Ceq\o\al(4,10)x6(－eq\r(3))4＝9Ceq\o\al(4,10)x6.【答案】D2.在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(1,\r(3,x))))8的展开式中常数项是()A.－28 B.－7 【解析】Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))8－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(3,x))))r＝(－1)r·Ceq\o\al(r,8)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))8－r·x8－eq\f(4,3)r，当8－eq\f(4,3)r＝0，即r＝6时，T7＝(－1)6·Ceq\o\al(6,8)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝7.【答案】C3.在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,x)))6的展开式中，中间项是________.【解析】由n＝6知中间一项是第4项，因T4＝Ceq\o\al(3,6)(2x2)3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))3＝Ceq\o\al(3,6)·(－1)3·23·x3，所以T4＝－160x3.【答案】－160x34.在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,2x)))9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________.【导学号：62980024】【解析】Tr＋1＝Ceq\o\al(r,9)·(x2)9－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2x)))r＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))r·Ceq\o\al(r,9)·x18－3r，当r＝3时，T4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))3·Ceq\o\al(3,9)·x9＝－eq\f(21,2)x9，所以第4项