高中数学苏教版2逆变换与逆矩阵 名师获奖

学业分层测评(九)学业达标]1.如图2­6­6试用矩阵表示下列网络图(一级路矩阵和二级路矩阵)：图2­6­6【解】(1)一级路矩阵M＝，二级路矩阵N＝.(2)一级路矩阵P＝，二级路矩阵Q＝.2.小明家附近有两个公共汽车站A和B，小明上学总是到这两个公共汽车站乘车且他到A站乘车的概率是eq\f(1,3).已知在A站他可以搭乘3路或者8路上学，且搭每一路汽车的概率相等，而在B站他只能搭乘3路上学，问小明搭3路汽车上学的概率有多大？【导学号：30650059】【解】由题意知：所以小明乘3路汽车上学的概率为eq\f(5,6).3.一家食品店做三种不同规格的生日蛋糕，每种蛋糕配料的比例(取适当单位质量来度量)，可以用下面的配料矩阵M表示根据预订，该食品店要做A种的两个，B种的四个，C种的三个，各种配料的单位质量的单价(以元为单位)用物价向量P表示试计算完成预订所需各种配料的总量及总成本.【解】预订向量N可表示为N＝，则完成预订所需各种配料的总量为N·M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(243))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(288\f(3,4)5,\f(3,2)66\f(1,2)4,144\f(1,4)3))＝，总成本为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(135252\f(17,4)35))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(711,2)))，即所需的总成本355eq\f(1,2)元.4.某人进行股票投资，获利与亏损的规律为：如果某年投资获利，则第二年投资亏损的概率为eq\f(2,3)；如果某年投资亏损，则第二年投资获利的概率为eq\f(1,2)，假设2023年他获利的概率为eq\f(3,4).(1)求他2023年投资获利的概率；(2)问他2023年与2023年哪一年投资获利机会大？【解】(1)2023年他获利的概率为eq\f(3,4)，则投资亏损的概率为eq\f(1,4)，它可以用W＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4),\f(1,4)))表示.2023年他获利与亏损的概率为W2023＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\f(1,2),\f(2,3)\f(1,2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4),\f(1,4)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,8),\f(5,8)))，所以2023年他获利的概率为eq\f(3,8).(2)2023年获利与亏损的概率为W2023＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\f(1,2),\f(2,3)\f(1,2)))eq\s\up35(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4),\f(1,4)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\f(1,2),\f(2,3)\f(1,2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,8),\f(5,8)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,16),\f(9,16))).所以2023年他获利的概率eq\f(7,16)，2023年投资他获利机会大.5.根据教材P78例5的原理，约定可逆矩阵为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(23,45))，现已知发送的密码为73，137，28，56，试破解这种密码.【解】据例5，令B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(7328,13756))，A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(23,45))，则由A－1B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)\f(3,2),2－1))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(7328,13756))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2314,90))，即发送方所发密码对应的明码为23，9，14，0，再对照英文字母表知所发信息为“win”.能力提升]6.假设两个相互影响的种群X、Y随时间段变化的数量分别为{an}，{bn}，有关系式eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an＋1＝an＋2bn，,bn＋1＝3an＋2bn.))其中a1＝6，b1＝4.试分析20个时段后这两种种群的数量变化趋势.【导学号：30650060】【解】设β＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a1,b1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(6,4))，M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,32))，则由题意，得eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(an＋1,bn＋1))＝Meq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(an,bn)).因此，M的特征多项式为f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－1－2,－3λ－2))＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，解得特征值为λ1＝4，λ2＝－1，不难得它们对应的特征向量为α1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,3))，α2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1)).又因为β＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(6,4))＝2α1＋2α2，所以eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a21,b21))＝Meq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a20,b20))＝M2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a19,b19))＝…＝M20eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a1,b1)).而M20eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a1,b1))＝M20β＝M20(2α1＋2α2)＝2M20α1＋2M20α2，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a21,b21))＝2×420eq\b\lc\[\