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第3章三角恒等变换两角和与差的三角函数3.1.3两角和与差的正切A级基础巩固1.若tanα=3,tanβ=eq\f(4,3),则tan(α-β)等于()\f(1,3)B.-eq\f(1,3)C.3D.-3解析:tan(α-β)=eq\f(tanα-tanβ,1+tanαtanβ)=eq\f(3-\f(4,3),1+3×\f(4,3))=eq\f(1,3).答案:A2.(2023·重庆卷)若tanα=eq\f(1,3),tan(α+β)=eq\f(1,2),则tanβ=()\f(1,7)\f(1,6)\f(5,7)\f(5,6)解析:tanβ=tan[(α+β)-α]=eq\f(tan(α+β)-tanα,1+tan(α+β)·tanα)=eq\f(1,7).答案:A3.若A,B为锐角三角形的两个锐角,则tanAtanB的值()A.不大于1 B.小于1C.等于1 D.大于1解析:因为eq\f(π,2)<A+B<π,所以由tan(A+B)=eq\f(tanA+tanB,1-tanAtanB)<0.所以1-tanAtanB<0,即tanAtanB>1.答案:D4.若tanα=2,则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α+\f(π,4)))=________.解析:因为tanα=2,所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α+\f(π,4)))=eq\f(tanα+1,1-tanα)=eq\f(2+1,1-2)=-3.答案:-35.已知tanα=eq\f(1,2),tan(α-β)=-eq\f(2,5),则tan(β-2α)的值是_______.解析:tan(β-2α)=-tan(2α-β)=-tan[(α-β)+α]=-eq\f(tan(α-β)+tanα,1-tan(α-β)tanα)=-eq\f(-\f(2,5)+\f(1,2),1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(2,5)))×\f(1,2))=-eq\f(1,12).答案:-eq\f(1,12)6.已知tanα=eq\r(3)(1+m),eq\r(3)(tanαtanβ+m)+tanβ=0,且α,β都是锐角,则α+β=________.解析:tanα·tanβ=eq\f(-\r(3)m-tanβ,\r(3))=-m-eq\f(\r(3),3)tanβ.tan(α+β)=eq\f(tanα+tanβ,1-tanα·tanβ)=eq\f(\r(3)(1+m)+tanβ,1+m+\f(\r(3),3)tanβ)=eq\r(3),又因为α,β为锐角,所以α+β=eq\f(π,3).答案:eq\f(π,3)7.求值:tan18°+tan42°+eq\r(3)tan18°tan42°.解:由tan(42°+18°)=tan60°=eq\f(tan42°+tan18°,1-tan42°tan18°),得tan42°+tan18°=tan60°(1-tan42°tan18°),即tan42°+tan18°=eq\r(3)-eq\r(3)tan18°tan42°.代入原式,得tan18°+tan42°+eq\r(3)tan18°tan42°=eq\r(3).8.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点.已知A,B的横坐标分别为eq\f(\r(2),10),eq\f(2\r(5),5).(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.解:(1)由条件知cosα=eq\f(\r(2),10),cosβ=eq\f(2\r(5),5),因α为锐角,故sinα>0.从而sinα=eq\r(1-cos2α)=eq\f(7\r(2),10).同理可得sinβ=eq\f(\r(5),5).因此tanα=7,tanβ=eq\f(1,2).所以tan(α+β)=eq\f(tanα+tanβ,1-tanαtanβ)=eq\f(7+\f(1,2),1-7×\f(1,2))=-3.(2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]=eq\f(-3+\f(1,2),1-(-3)×\f(1,2))=-1.又0<α<eq\f(π,2),0<β<eq\f(π,2),故0<α+2β<eq\f(3π,2).从而由tan(α+2β)=-1,得α+2β=eq\f(3π,4).B级能力提升9.若tan(α+β)=eq\f(2,5),则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β-\f(π,4)))=eq\f(1,4),则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α+\f(π,4)))=()\f(13,18)\f(13,22)\f(3,22)\f(1,6)解析:taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α+\f(π,4)))=taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((α+β)-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β-\f(π,4)))))=eq\f(tan(α+β)-tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β-\f(π,4))),1+tan(α+β)tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β-\f(π,4))))=eq\f(\f(2,5)-\f(1,4),1+\f(2,5)×\f(1,4))=eq\f(3,22).答案:C10.计算eq\f(1-tan15°,\r(3)+tan60°tan15°)=________.解析:原式=eq\f(tan45°-tan15°,\r(3)(1+tan45°·tan15°))=eq\f(1,\r(3))tan(45°-15°)=eq\f(1,3).答案:eq\f(1,3)11.已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α-\f(β,2)))=eq\f(4,5),coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)-β))=-eq\f(12,13),且α-eq\f(β,2)为第二象限角,eq\f(α,2)-β为第三象限角,求taneq\f(α+β,2)的值.解:因为sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α-\f(β,2)))=eq\f(4,5),且α-eq\f(β,2)为第二象限角,所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α-\f(β,2)))=-eq\f(3,5).所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α-\f(β,2)))=-eq\f(4,3).又因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)-β))=-eq\f(12,13),eq\f(α,2)-β为第三象限角,所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)-β))=-eq\f(5,13),taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)-β))=eq\f(5,12),taneq\f(α+β,2)=taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α-\f(β,2)))-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)-β))))=eq\f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α-\f(β,2)))-tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)-β)),1+tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α-\f(β,2)))tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)-β)))=eq\f(-\f(4,3)-\f(5,12),1+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(4,3)))×\f(5,12))=-eq\f(63,16).12.已知A+B=45°,求证:(1+tanA)(1+tanB)=2(A,B≠k·180°+90°,k∈Z),并应用此结论求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)的值.证明:因为A+B=45°,且A,B≠k·180°+90°,k∈Z,所以(1+tanA)
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