贵州省六盘水市2023-2024学年高二上学期1月期末质量监测数学试题（含答案）

贵州省六盘水市2023-2024学年高二上学期1月期末质量监测数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1．已知集合A={1，2，A．{1} B．{1，3} C．{2，2．在复平面内，复数(1+3i)(1−i)对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．抛物线y2A．(0，−1) B．(−1，0) C．4．若x>1，则x+1A．2 B．3 C．4 D．55．已知曲线C：x2+yA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．人口增长问题是一个深受社会学家关注的问题，英国人口学家马尔萨斯发现“人口的自然增长率在一定时间内是一个常数，人口的变化率和当前人口数量成正比”，并给出了马尔萨斯人口模型N(t)=N0er(t−t0)，其中N0为t0年的人口数，N(t)A．200 B．300 C．400 D．5007．已知三棱锥S−ABC的四个顶点均在同一球面上，AB=BC=3，AC=3，且三棱锥S−ABCA．36π B．24π C．16π D．12π8．已知a2=2A．c<a<b B．b<c<a C．b<a<c D．c<b<a二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，x2B．若直线l1：x+y−1=0与C．若向量a=(1，2)，b=(1D．已知5位同学的数学成绩为：78，10．已知函数f(x)=3sin(x+π5)，将f(x)图象上所有的点向右平移2πA．g(x)=3sin(x−B．g(x)在区间(0，C．直线x=16π5是D．若g(x)−a≤f(4π5)对任意的11．连续投掷一个质地均匀的正方体骰子两次，并记录每次骰子朝上的点数．记事件A=“第一次朝上的点数为奇数”，事件B=“两次朝上的点数之和不能被2整除”，则下列结论正确的是（）A．P(A)=12 B．事件A与事件C．P(A∪B)=34 D．事件A与事件12．下列物体中，能被整体放入底面直径和高均为1（单位：m）的圆柱容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A．直径为0.B．底面直径为1.40m，高为C．底面直径为0.01m，高为D．底面边长为0.86m，侧棱长为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a=(2，1)，b=(x14．已知tanα=2，则sin2α+cos215．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，数列{1an}的前n16．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．记Sn为等差数列{an}的前（1）求数列{a（2）设bn=1anan+118．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是（1）求A；（2）若∠BAC的角平分线AM交BC于点M，且AM=1，a=2，求19．如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D（1）证明：直线BD1∥（2）若AB=AA1，且∠ABC=π20．六盘水红心猕猴桃因富含维生素C及K，Ca，Mg等多种矿物质和18种氮基酸，被誉为“维（1）用比例分配的分层随机抽样方法，从重量落在区间[80，（2）已知该基地大约还有6000个猕猴桃，该收购商准备收购这批猕猴桃，提出了以下两种收购方案：方案一：所有猕猴桃均以20元每千克收购；方案二：小于90克的猕猴桃以10元每千克收购，不小于90克的猕猴桃以30元每千克收购；请你就这两种方案，通过计算为该猕猴桃基地选择最佳的出售方案．（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，视频率为概率）21．已知函数f(x)=ln(e（1）若f(x)是偶函数，求实数m的值；（2）当m>0时，g(x)=4(log4x)2+log2122．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F2的直线l与椭圆C交于D，E两点（均异于A1，

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：因为集合A={1，2，3}，B={2．【答案】A【解析】【解答】解：(1+3i)(1−i)=1−i+3i+3=4+2i，即复数(1+3i)(1−i)在复平面内对应的点为(4，故选：A.【分析】根据复数的乘法运算计算(1+3i)(1−i)，再结合复数的几何意义判断即可.3．【答案】D【解析】【解答】解：因为抛物线y2=4x，所以焦点在x轴上，由2p=4，可得p2=1，故答案为：D.【分析】根据抛物线的定义结合已知条件计算即可.4．【答案】B【解析】【解答】解：因为x>1，所以x−1>0，x+1x−1=x−1+1x−1故x+1x−1的最小值为故答案为：B.【分析】利用基本不等式直接求解即可.5．【答案】A【解析】【解答】解：曲线x2+y若曲线C是圆，则−1+m24>0，解得m>2或m<−2，

所以“故答案为：A.【分析】根据圆的定义列出不等式求解判断即可.6．【答案】B【解析】【解答】解：由题意可知：当t0=2000，N0=100即N(2055)=100e0.02×55=100e1.1所以用马尔萨斯人口模型预测该地区2055年的人口数约为300万人.故答案为：B.【分析】由题意得N(t)=100e0.02(t−2000)，将7．【答案】C【解析】【解答】解：设三棱锥S−ABC外接球球心为O，半径为R，在△ABC中，由余弦定理可得：cos∠ACB=9+3−32⋅3⋅3=设三角形ABC外接圆半径为r，外心为O1由正弦定理得2r=ABsin∠ACB=3则当三棱锥体积最大时，S到平面ABC的距离最大，设此时S到平面ABC的距离为h，所以三棱锥S−ABC的体积最大为13×3由图可知，三棱锥体积最大时S，O，O1三点共线，且由球心性质可知，OO1⊥在Rt△OO1C则(3−R)2+r2=R2，即(3−R)故答案为：C.【分析】设三棱锥S−ABC外接球球心为O，半径为R，利用三棱锥体积的最大值求得此时S到平面ABC的距离，利用勾股定理计算出外接球的半径，最后利用球的表面积公式求解即可.8．【答案】D【解析】【解答】解：作出函数y=x2，y=2x的图象（如图所示），易知b<a，

则cb=lo综上可知：c<b<a.故答案为：D.【分析】数形结合，利用图像性质比较a，b的大小，再利用对数函数的性质结合基本不等式比较b，c大小，从而判断a，9．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：A、命题“∀x∈R，x2B、若直线l1：x+y−1=0与l2：C、向量a在b上的投影向量为a→D、5位同学的数学成绩为：78，85，96，故答案为：ABC.【分析】根据命题否定的定义即可判断A；由直线平行的充要条件计算，检验即可判断B；根据投影向量的计算公式即可判断C；由百分位数的定义计算即可判断D.10．【答案】A,B【解析】【解答】解：A、由题意可得：g(x)=3sin(x−2πB、令g(x)=0，可得：x=π5+kπ，k∈Z，因为x∈(0，3π)C、因为g(16π5)=3sin(D、因为g(x)−a≤f(4π5)对任意的x∈[−2π15，13π当x∈[−2π15，13π15]时，x−π故答案为：AB.【分析】根据三角函数的图象平移变换求出g(x)的解析式，即可判断A；解方程g(x)=0求解即可判断B；根据正弦函数的对称性可判断C；g(x)−a≤f(4π5)对任意的x∈[−2π1511．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：连续投掷一个骰子两次，每次骰子朝上的点数包含的基本事件共有36种情况：A、因为事件A包含18种情况，所以P(B、事件A和B同时发生，例如：事件C=“第一次朝上的点数为3，第二次朝上的点数为2”，所以事件A和B不是互斥事件，故B错误；C、事件A包含18种情况，事件B也包含18种情况，其中第一次点数为奇数且点数和能被2整除，包括9种情况，

所以P(A∪B)=18+18−9D、由P(A)=12，P(B)故答案为：ACD.【分析】根据古典概型的概率计算公式，即可判断A；根据互斥事件的定义，举例说明，即可判断B；根据事件的关系，结合古典概型的概率计算即可判断C；根据独立事件的判定方法即可判断D.12．【答案】A,D【解析】【解答】解：A、因为球体的直径0.99m均小于圆柱底面直径和高，所以直径为B，C、如图所示：画出底面直径和高均为1的圆柱容器以及高（或底面直径）为0.点E是边长为1的正方形ABCD的对角线AC，BD的交点，点F是高（或底面直径）为0.01m的圆柱体的底面圆心（或母线的中点），而△DGF~△DAE，容易知道解得1.又注意到虽然GH=1.但是底面直径为1.D、如图所示，先来看底面圆底面直径和高均为1（单位：m）的圆柱容器的底面圆S的内接正三角形PQT的边长，由正弦定理有PQ=2×0.设O为另外一个底面的圆心，则由勾股定理有PO=1+所以底面边长为0.86m，侧棱长为1.故答案为：AD.【分析】由0.99m<1m，即可判断A符合；画出图形，求出1.4<GH≈1.13．【答案】-2【解析】【解答】解：因为a⊥b，所以2x+4=0，解得故答案为：−2.【分析】根据向量垂直的坐标表示直接计算即可.14．【答案】1【解析】【解答】解：sin2α+故答案为：1.【分析】利用正弦的二倍角公式、同角三角函数基本关系，将原式转化为关于sinα，15．【答案】−【解析】【解答】解：设等比数列{an}公比为q数列{1an}的通项公式为1a所以T5=1a1[1−(1q故答案为：−11【分析】由等比数列求和公式以及等比数列性质得S516．【答案】(1【解析】【解答】解：易知F1-c，0，F2c，0，设点P(x，y)，因为|PF1|=2|PF2|，

所以(x+c)2+y2=4[(x−c)2+y2]，

化简整理可得(x−53c)2+y2=169c2，所以点17．【答案】（1）解：设数列{a因为a2=2，S5=15，所以所以an=a1+(n−1)d=n（2）由（1）可得an=n，又因为b故T=1−=1−【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式以及等差的前n项和公式，列方程组，求解即可得数列的通项公式；（2）由（1）可得bn=1n(n+1)=1n18．【答案】（1）解：在△ABC中，csinA+3由正弦定理可化简得sinAsinC+sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC所以sinAsinC+3sinAsinC=又在△ABC中，C∈(0，sinA=3cosA+1由A∈(0，π)（2）解：由（1）得A=π2，又∠BAC的角平分线AM交BC于点M，且S即1即2bc=2又在△ABC中，b2b2联立①②解得b=c=所以△ABC的周长为a+b+c=2+【解析】【分析】（1）根据条件，利用正弦定理化边为角，得到sinA=3cosA+1，再利用辅助角公式，得到sin(A−π（2）根据条件，利用S△ABC=S△BAM+S△CAM19．【答案】（1）证明：如图，连接BD交AC于点O，连接OE．∵底面四边形ABCD为菱形，∴O为BD的中点在△BDD1中，O为BD的中点，E为∴OE∥B又∵OE⊂平面ACEBD1∴BD1（2）解：如图，因为在直四棱柱中，底面四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC，过O作底面的垂线，建系如图设菱形ABCD的边长为2，又∵AC(1设平面CAD1的法向量为n=(x，解得n同理解得平面ADD1设二面角C−AD1−D的平面角为αcosα=所以二面角C−AD1【解析】【分析】（1）由题意，根据中位线定理证明线线平行，再根据线面平行判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间法向量求解二面角即可.20．【答案】（1）解：由频率分布直方图可得，落在[80，90)，[90，100)的猕猴桃数量之比为2：3，用比例分配的分层随机抽样方法，从重量落在区间[80，90)，Ω={(设事件A=“抽取的2个猕猴桃重量均不小于90克”则A={(所以P(A)=即这2个猕猴桃重量均不小于90克的概率3（2）解：根据频率分布直方图可得，选择方案一获得收入为W=10980选择方案二获得利润为W因为W2【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图先求区间[80，90)，（2）根据题意，分别求得两个方案的收入情况，从而得解.21．【答案】（1）解：依题意可得，函数f(x)=ln(ex又f(−x)=ln(所以ln(即2mx=−ln解得m=−（2）解：当m>0时，由f(x)=ln(ex+1)+mx易知f(x)=ln(e又因为f(g(x))=ln2，所以g(x)=0g(x)=4因为f(g(x))=ln2在区间[1，4]上恰有1个实数解，即g(x)=0在区间令log(x)=0在区间[1，4]上恰有1个实数解，等价于t上恰有1个实数解，即t2−t=2−2令h(t)=结合图形

易知h(t)在[0，12]单调递减，在[12，因为h(t)=2−2m(m>0)在区间解得m=89所以{m|m>1或m=【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义，列等式求解，即可得实数m的值；（2）由函数f(x)在R单调递增，且f(0)=ln2，将问题转化为g(x)=0在区间[1，4]上恰有1个实数解，利用对数式的运算规则化简函数解析式，利用换元，由二次函数的性质求22．【答案】（1）解：依题意可设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，又因为椭圆C的左、右焦点分别为F1，F所以a+c=3，