高中数学人教A版2本册总复习总复习 章末总结

回归方程及其应用对所抽取的样本数据进行分析，分析两个变量之间的关系——线性关系或非线性关系，并由一个变量的变化去推测另一个变量的变化，这就是对样本进行回归分析．某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x(x取整数)元与日销售量y台之间有如下对应数据：单位x/元35404550日销售量y/台56412811(1)画出散点图并说明y与x是否具有线性相关关系．如果有，求出线性回归方程(方程的斜率保留一个有效数字)．(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据(1)写出P关于x的函数关系式，并预测当销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润．分析：作出散点图，根据散点图观察是否具有线性相关关系．解析：(1)散点图如图所示：从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量具有线性相关关系．(2)设回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x.∵eq\o(x,\s\up6(－))＝，eq\o(y,\s\up6(－))＝34，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,∑4,i＝1,4,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝－eq\f(370,125)≈－3，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))＝34－(－3)×＝.∴eq\o(y,\s\up6(^))＝－3x.(2)由题意，有P＝－3x)(x－30)＝－3x2＋－4845.∴当x＝eq\f,6)≈42时，P有最大值．即预测销售单价为42元时，能获得最大日销售利润．eq\a\vs4\al(点评：)判断两个变量之间是否有线性相关关系一般有两种方法：一是计算样本相关系数；二是画散点图．两种方法要结合题目的要求合理选取，也可同时使用，则判断更加准确．►变式训练1．从某居民区随机抽取10个家庭，获得i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得eq\i\su(i＝1xi＝80，\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))yi＝20，\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi＝184，∑10,i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝720.(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y＝bx＋a中，b＝eq\f(\i\su(i＝1xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),∑n,i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))，其中eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))为样本平均值，线性回归方程也可写为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^)).解析：(1)由题意知：n＝10，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i＝eq\f(80,10)＝8，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i＝eq\f(20,10)＝2.又Lxx＝eq\i\su(i＝1xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2＝720－10×82＝80，,Lxy＝∑n,i＝1,n,x)iyi－neq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))＝184－10×8×2＝24，由此得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(Lxy,Lxx)＝eq\f(24,80)＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝2－×8＝－.故所求回归方程为：y＝－.(2)由于变量y的值随x的值增加而增加(eq\o(b,\s\up6(^))＝＞0)，故x与y之间是正相关．(3)将x＝7代入回归方程，可以预测该家庭的月储蓄为：y＝×7－＝(千元)．测得一个随机样本的数据如下表所示：x21232527293235y711212466115325(1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；(2)建立x与y的关系，并预报回归模型；(3)利用所得回归模型预报x＝40时y的值．解析：(1)x与y的散点图如下图，有散点分布猜测样本数据分布在一条曲线的附近，这条曲线接近指数函数曲线y＝c1ec2x，其中c1，c2为常数．(2)对y＝c1ec2x两边取对数的lny＝lnc1＋c2x.令A＝lny，则A＝bx＋a，其中a＝lnc1，b＝c2.将y与x之间的数据转化为A与x之间的数据：x21232527293235A可以求得回归直线方程为A＝－，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝－.(3)当x＝40时，y＝×40－≈1131.eq\a\vs4\al(点评：)根据样本数据描出散点图，再由散点图直观地观察散点分布符合的函数模型，再根据有关公式进行计算．►变式训练2．在一化学反应过程中，化学物质的反应速度y(g/min)与一种催化剂的量x(g)有关，现收集了8组观测数据列于下表：催化剂的量x/g1518212427303336化学物质的反应速度y(g·min－1)6830277020565350试建立y与x之间的回归方程．解析：根据收集的数据，作出散点图(如下图所示)，根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y＝aebx的周围，其中a和b是待定的参数．令z＝lny，则z＝lny＝bx＋lna，即变换后的样本点应该分布在直线z＝bx＋c(c＝lna)附近．有y与x的数据表可得到变换后的z与x的数据表：x1518212427303336z由z与x的数据表，可得线性回归方程：eq\o(z,\s\up6(^))＝－，所以y与x之间的非线性回归方程为：eq\o(y,\s\up6(^))＝－.独立性检验及其应用在日常生活中，分类变量是大量存在的，例如吸烟与患肺癌等，在实际问题中，我们常常关心两个变量之间是否有关系．为观察药物A、B治疗某病的疗效，某医生将100例该病病人随机地分成两组，一组40人，服用A药；另一组60人，服用B药．结果发现：服用A药的40人中有30人治愈，服用B药的60人中有11治愈，问A、B两药对该疾病的治愈率之间是否有显著差别？解析：为便于将数据代入公式计算，先列出2×2列联表：治愈未愈总计A药301040B药114960总计4159100由公式得k＝eq\f(100×（30×49－10×11）2,40×60×41×59)≈.因为＞，所以我们在犯错误的概率不超过的前提下，认为A、B两药对该病的治愈率之间有显著差别．►变式训练3．某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：[50，60)，[60，70)，[71，80)，[80，90)，[90，100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求样本中日平均生产件数不足60件的工人人数．(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？P(K2≥k)k附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)解析：(1)由已知得，样本中有“25周岁以上组”工人60名，“25周岁以下组”工人40名．由频率分布直方图知，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，“25周岁以上组”工人有60××10)＝3(人)，“25周岁以下组”工人有40××10)＝2(人)，所以样本中日平均生产件数不足60件的工人有5人．(2)由频率分布直方图知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×＝15