材料力学第4章-238402081

弹性杆件横截面上的

切应力分析第4章哪些内力会产生切应力?静力方程提供信息:内力和哪些应力关联相依关系的量化

工程中承受切应力的构件

扭转切应力

弯曲切应力

结论与讨论(2)

第4章弹性杆件横截面

上的切应力分析

结论与讨论(1)

工程中承受切应力的构件第4章

弹性杆件横截面上的

切应力分析扭转弯曲

扭转的实例搅拌器搅拌轴自行车有哪些扭转构件?荷兰人口:1600万，但全国自行车拥有量1700万辆，人均拥有量位居世界第一工程中承受切应力的构件请判断哪一杆件将发生扭转ABC扳手齿轮系传递功率AF发动机传动轴工程中承受切应力的构件请判断哪个截面将优先发生剪切破坏?两类切应力扭转切应力

弯曲切应力第4章

弹性杆件横截面上的

切应力分析切应力的特征切应力互等定理ADCBxyzdxdydz

微元能不能平衡？怎样才能平衡？哪些力互相平衡？EFGO切应力的特征ADCBxyzdxdydzEFGO根据z方向的力矩平衡切应力的特征ADCBxyzdxdydzEFGO根据z方向的力矩平衡可知切应力的特征切应力互等定理公式ADCBxyzdxdydz在微元体的两个相互垂直的截面上,垂直于截面交线(棱边)的切应力数值相等.切应力方向:共同指向交线（棱边）,或共同离开交线（棱边）

扭转切应力第4章

弹性杆件横截面上的

切应力分析圆轴扭转时横截面上的切应力分析扭转切应力矩形截面杆扭转切应力公式

应力分布应力公式变形协调应变分布物性关系静力方程圆轴扭转-横截面切应力求解的总体思路平面假定扭转切应力圆轴扭转时的变形特征圆轴扭转的变形特征实验分析对称性论证

圆轴扭转时的应力变形特征扭转切应力圆轴受扭转后表面的矩形将发生什么变化？圆轴表面画出圆周线和纵向平行线变形前圆周线和纵向平行线将发生什么变化？变形后圆周线:形状、大小、间距没变化纵向平行线：绕轴线转水平倾斜实验观察到的结果圆轴受扭转后表面的纵向线和圆周线交叉所得到的矩形将发生什么变化？ABCDABC'D't´t

圆轴扭转时的应力变形特征扭转切应力观察到的现象:矩形变为平行四边形此变形是何种应力引起的?ABC'D't´t为什么4个面上都存在切应力?如果认为：受扭转的圆杆(轴)内部变形与表面变形一致平面假定：平面平面横截面大小形状不变半径直线横截面:绕轴线的刚性转动反对称分析论证，对称面上同一圆周任意两点CD变形后一定在原来平面上(对称面)圆轴扭转时横截面上的切应力扭转切应力反对称分析论证反证:若变形后最大圆周任意两点CD不在原来平面上对称面最大圆周上CD两点变形后保持在原来的平面内(对称面内)而且在同一圆周上。反证法的证明对称面内部的圆周:同一圆周上的任意两点变形后保持在对称面内而且在同一圆周上。问题:

对称面各点变形后保持在原来的平面内(对称面内),变形前同一圆周上的点变形后仍然还在同一圆周上.对称面内不同圆周上的各点变形的步调怎样?圆轴扭转时横截面上的切应力扭转切应力反对称分析论证:对称面不同圆周上的各点变形步调是一致的假设平面不是刚性转动，直径将变成曲线，A端观察者看到的情形。假设平面不是刚性转动，直径将变成曲线，B端观察者看到的情形。AB两侧观测结果相反，产生矛盾不同圆周上的各点变形若假定步调不一致对称面各点变形后保持在原来的平面内(对称面内)变形前同一圆周上的点变形后仍然还在同一圆周上.对称面内不同圆周上的各点变形的步调保持一致总结论:圆轴扭转时，横截面保持平面，并且截面只发生刚性转动。圆轴扭转时横截面上的切应力扭转切应力分析了对称面的情况,任意截面?对于任意截面:一定可以找到以这个截面为对称面的一段扭转轴,采取同样方法,可证明圆轴扭转时，横截面保持平面，并且只能发生刚性转动。圆轴扭转变形前的截面，变形后仍保持为平面，截面形状和大小不变，直径仍保持为直线.圆轴扭转的平面假定截面仅发生刚性转动如何分析圆轴扭转的变形协调条件?变形协调方程r圆轴扭转时横截面上的切应力扭转切应力

假定m-m截面和n-n截面的相对转角为dmmnn在扭矩作用下(切出杆微元)表面上观察到的变形圆轴扭转时横截面上的切应力扭转切应力变形协调方程选取半径为的微圆柱单元在杆微元基础上圆轴扭转时横截面上的切应力扭转切应力与半径成正比单位长度上的扭转角应变形式的变形协调方程物性关系物性关系与应力分布剪切胡克定律圆轴扭转时横截面上的切应力扭转切应力物性关系与应力分布圆轴扭转时横截面上的切应力扭转切应力G为剪切弹性模量物性关系与应力分布圆轴扭转时横截面上的切应力扭转切应力分析:作用于圆轴表面微元ABCD的四条边上,半径方向线与ABCD面垂直,也与垂直分布方向静力学方程静力学方程圆轴扭转时横截面上的切应力扭转切应力在横截面半径为处取微元:dA合成的力（）dAMx把作用在微元上，对形心取矩圆轴扭转时横截面上的切应力扭转切应力GIP—扭转刚度极惯性矩圆轴扭转时横截面上的切应力扭转切应力单位长度扭转角﹗圆轴扭转时横截面上的切应力扭转切应力结论:切应力沿横截面半径线性分布,方向:垂直于半径特殊点的切应力:=0,

max圆轴扭转时横截面上的切应力扭转切应力最大切应力Wp扭转截面系数圆截面的极惯性矩与扭转截面系数=d/D对于直径为d

的实心圆截面对于内、外直径分别为d

和

D

圆环截面圆轴扭转时横截面上的切应力扭转切应力为什么设计空心截面?切应力哪些区域较大?节省材料研究外加力偶矩与功率P和转速n的关系传动轴的扭矩计算工程计算中,作用于传动轴上的外力偶通常不直接给出给出轴传递功率P(KW)给出转速n(转/分)每秒钟输入功WW=PX1000(Nm)输入功由扭矩作用在轴上完成:扭矩在每秒完成的功为:角位移外加力偶矩T与功率P和转速n的关系外加力偶矩与功率P和转速n的关系T=9549P(kW)

n(r/min)(N•m)

圆轴扭转时的应力变形特征扭转切应力已知：实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌式离合器连接传递功率。P传＝7.5kW,n=100r/min,最大切应力均为40MPa,空心圆轴的内外直径之比=0.5。求:实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2。圆轴扭转时横截面上的切应力扭转切应力例题1两轴上最大切应力均等于40MPa.nPMx=T=9549两轴转速相同,传递功率相同,故两轴上作用的扭矩相同.解：例题1nPMx=T=95497.5=9549100=716.2N•mmax=WP116MxMx=d13=40MPa=0.045m=45mmd1=16716.2401063圆轴扭转时横截面上的切应力扭转切应力实心轴解：例题1圆轴扭转时横截面上的切应力扭转切应力对于空心轴，根据=40MPa算得＝0.046m＝46mmd2＝0.5D2=23mm解：例题1空心轴D2＝46mmd2＝23mm实心轴d1=45mm圆轴扭转时横截面上的切应力扭转切应力二轴的横截面面积之比为二轴的横截面面积之比为实心空心结论:若轴的长度相同,在最大切应力相同的情况下,实心轴比空心轴所用材料多。空心轴可节省材料，降低成本。A1为实心轴，A2为空心轴扭转切应力矩形截面杆扭转切应力公式

变形特征

由平衡直接得到的结论

切应力分布特点

狭长矩形截面切应力分布矩形截面杆扭转切应力扭转切应力对于矩形截面是否平面保持平面?圆轴扭转的变形特征:平面保持平面.矩形截面杆扭转切应力扭转切应力矩形截面杆的扭转划出与轴线平行和垂直的纵向线和横向线变形特征－翘曲矩形截面杆扭转切应力扭转切应力横截面的横向线变为曲线,发生翘曲由此可见:平面保持平面不成立.由于翘曲,平面假定不成立，矩形截面杆扭转时的切应力与圆截面杆有很大的差别。圆截面扭转的切应力公式无法应用.如何分析矩形截面杆扭转下的切应力?弹性力学理论介绍结论研究:矩形截面杆扭转,截面角点切应力特点矩形截面杆扭转,截面边界上各点的切应力方向有哪些规律?由平衡直接得到的结论矩形截面杆扭转切应力扭转切应力角点微元注意微元各面与杆件的对应关系角点区域前表面上表面由平衡直接得到的结论矩形截面杆扭转切应力扭转切应力由剪应力互等定律角点切应力等于零研究A点的切应力?切几刀的到微元?矩形截面杆扭转切应力扭转切应力由剪应力互等定律A边缘各点切应力沿边界的切线方向A研究边界上的切应力注意微元各面与杆件的对应关系切应力分布(弹性力学理论分析结果)截面最大切应力发生在长边中点.矩形截面杆扭转切应力扭转切应力切应力分布(弹性力学理论分析结果)角点切应力等于零;边缘各点切应力沿切线方向;截面最大切应力发生在长边中点.矩形截面杆扭转切应力扭转切应力切应力在特殊点的值长边中点处短边中点处矩形截面杆扭转切应力扭转切应力bC1、C1’见书上表4-1(表5-2,二版)高度h,宽度b,C1,C1’与高宽比有关h厚度max=3Mxh2狭长矩形截面:长短边比矩形截面杆扭转切应力扭转切应力长边中点处沿厚度方向近似线性分布

结论与讨论第4章

弹性杆件横截面上的

切应力分析ABl圆轴扭转下两截面相对转角公式：MxMx扭转刚度BA的正负号与Mx正负号相同.关于BA的正负号规定关于复合材料轴G2G1MxdD线弹性材料，弹性范围内加载1.横截面上的切应力怎样分布；2.横截面上两种材料交界处的切应力是否连续；切应变是否连续3.横截面上两种材料的最大切应力。

结论与讨论ABG2>G1已知固定的圆截面等直杆AB(刚度GIP),在截面C受到扭转外力偶m的作用,试求支座反力偶矩.B讨论：关于公式的应用条件－扭矩如使最大圆周达到s后的情况

结论与讨论sO2RR/2AC点的切应力达到s时横截面上的扭转切应力怎样分布；B点的切应力达到s时横截面上的扭转切应力怎样分布；4.A点以内圆截面上的内力偶矩与横截面上的总扭矩之间的关系3R/4BC3.B点的切应力达到s时A点的切应力怎样确定；开口与闭口薄壁圆管的扭转切应力

结论与讨论哪个承载能力强?直径壁厚直径、壁厚相等的薄壁圆管，承受扭矩T题4-6设计中：避免用开口薄壁杆件承受扭矩本章作业(1)5-2，5-5，5-7，补4-1*4-2，4-5，4-6，4-9*

第一版教材第二版教材补4-1：直径d=25mm的钢轴上焊有两凸台，凸台上套有外径D=75mm、壁厚δ=1.25mm的薄壁管，当杆承受外扭转力遇矩T=73.6N·m时，将薄壁管与凸台焊在一起，然后再卸去外力偶。假定凸台不变形，薄壁管与轴的材料相同，切变模量G=40MPa。试：1．分析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力，二者如何平衡？

2．确定轴和薄壁管横截面上的最大切应力。

弯曲切应力第4章

弹性杆件横截面上的

切应力分析两类切应力:扭转,弯曲关注:分析方法的差别

弯曲切应力

讨论分析弯曲切应力前提

平衡对象及其受力

平衡方程与切应力表达式

切应力公式应用上述四点中平衡是研究弯曲切应力的关键问题

弯曲切应力

前提

在有剪力存在的情况下，弯曲正应力公式依然正确：

弯曲切应力前提

沿截面宽度（厚度）方向切应力均匀分布

对于细长杆l/h>4,误差一般小于5%，在MZ作用下:截面的厚度方向:z轴过y轴上任一点作z轴平行线,各点切应力相等切应力函数仅与y坐标有关zMzy在上述前提下，可由平衡直接确定横截面上的切应力，而无需应用“变形协调,物性关系和静力方程”。

弯曲切应力前提与圆轴扭转切应力的分析方法不同

弯曲切应力

平衡对象及其受力

弯曲切应力平衡对象及其受力确定梁的横截面上任意点处的弯曲切应力薄鄙1122任意形状开口薄壁截面梁壁厚<<截面中曲线曲率半径截面中曲线不闭合当厚度不断减少,截面收缩为截面的中曲线

弯曲切应力平衡对象及其受力薄鄙薄壁截面梁1122选取长为dx微段左侧为横截面1-1右侧为横截面2-21212薄壁截面梁ab可否求出切应力?思考:对微段进行平衡分析1212薄壁截面梁ab由左侧右侧截面内力(弯矩,剪力)平衡分析平衡方程中仅含弯矩,剪力微段进行平衡分析1212薄壁截面梁ab取1-1,2-2截面构成微元中的一个局部如画圆圈部分,进行平衡分析目的:使切应力在平衡方程中出现1212薄壁截面梁ababc局部微元特点a,b为横截面,c纵截面,d为自由表面d上下自由表面薄壁截面梁abc讨论局部微元x方向的平衡:有贡献的a,b,c面x分析微元各面受力对x方向平衡的贡献:首先在a,b截面上哪些力参与x方向的平衡?d弯曲正应力yx弯曲正应力规律:分布规律?正负号(拉压性质)?z需要考虑弯矩的正负!切出兰色微元的左侧和右侧都是拉应力?左右截面弯矩均为负拉应力合成轴向力,谁大谁小?横截面局部aba,b的面积均为A*正应力:作用在横截面局部a,b都为拉应力薄壁截面梁abc正应力合成轴力,左侧截面a:

FNx*,右侧截面b:FNx*+dFNx*讨论局部微元x方向的平衡x1122dabcx若局部微元平衡:c截面一定存在切应力’,且沿x轴反方向dabcx由切应力互等定理横截面靠近BC中点附近一定存在切应力=’且与’共同指向BC是横截面上BC中点的切应力切应力互等定理:两个相互垂直的截面上,垂直于截面交线(棱边)的切应力数值相等.切应力方向:共同指向一条棱边,或共同离开一条棱边.1212薄壁截面梁ababc内力按实际方向标出

弯曲切应力

平衡方程与切应力表达式Fx=0-

(dx)=0FNx*+dFNx*-FNx*

弯曲切应力平衡对象及其受力abc为壁厚。平衡方程与切应力表达式

弯曲切应力-

(dx)=0FNx*+dFNx*-FNx*abc由前提假设平衡方程与切应力表达式

弯曲切应力为A*对z轴的静矩（一次矩）平衡方程与切应力表达式

弯曲切应力FQ为剪力，Iz为整个截面对z轴惯性矩，为A*对z轴的静矩（一次矩）,为壁厚。希望大家关注：前提进行平衡分析的技巧公式的各参数的含义

弯曲切应力

切应力公式应用切应力公式应用－弯曲中心弯曲切应力研究开口薄壁圆管、角形截面杆、槽形截面杆在横向载荷作用下的变形过形心作用在主轴平面的横向载荷下开口薄壁杆件：直观感觉如何变形?为什么向开口方向倒下去?切应力流问题:横向载荷作用的开口薄壁杆件以槽型截面为例,确定横弯截面中切应力方向切应力公式应用－弯曲中心弯曲切应力1122弯矩正负、哪边大？应力拉压,比较：正应力哪边大?轴力?左右yz第三刀垂直于截面中曲线切应力公式应用－弯曲中心弯曲切应力实际（真实方向）1122轴力哪边大,哪边小?轴力是拉?是压?xyz切应力公式应用－弯曲中心弯曲切应力思考：中间部分的切应力如何确定？槽型截面切应力方向的特征:翼缘:切应力与截面剪力方向不一致.腹板:切应力与截面剪力方向一致翼缘腹板头尾相接,如管道流水---切应力流重要的结论:当薄壁截面的周边或周边的切线与剪力平行时,作用在该部分的切应力方向和剪力的方向是一致的.FQ切应力流是本书中的一个难点注意:确定切应力流时,平衡概念的灵活应用平衡的对象选取微元的切法?哪一刀最重要?切应力公式应用－弯曲中心弯曲切应力研究开口薄壁截面杆在横向载荷作用下的变形过形心横向载荷下开口薄壁杆件：开口薄壁杆件为什么向开口方向倒?如何加载?合力切应力公式应用－弯曲中心弯曲切应力向弯曲中心简化结果向截面形心简化结果槽形截面由弯曲中心的概念,我们可知开口薄壁杆件在横弯载荷作用下平面保持平面(平面弯曲)的加载条件:过弯曲中心平行形心主轴开口薄壁杆件平面弯曲的加载条件实心截面和闭口薄壁截面:在横力下发生平面弯曲(平面保持平面)的加载条件:比较:过形心平行于形心主轴

结论与讨论(2)第4章

弹性杆件横截面上的

切应力分析

实心截面梁的弯曲切应力

圆环截面梁的弯曲切应力

工字钢截面梁的弯曲切应力

实心截面梁正应力与切应力比较

不同变形情况下切应力特点

力系简化中心的选择结论与讨论

实心截面梁的弯曲切应力结论与讨论矩形截面(宽为b,高为h)实心截面梁的弯曲切应力结论与讨论Abh宽为b,高为hA*yIz整个面积对z轴(中性轴）惯性矩，为截面上距中性轴为y的横线以外部分面积对中性轴的静矩第三刀:垂直于截面中线切矩形截面Abh宽为b,高为hA*对中性轴的静矩A*y注意:切应力沿高度的分布特点实心截面梁的弯曲切应力结论与讨论Abhy=0,即在中性轴最大弯曲切应力，实心截面梁的弯曲切应力结论与讨论切应力分布的特点最大切应力发生在哪?A圆截面(直径为d)圆截面实心截面梁的弯曲切应力结论与讨论A注意:切应力沿高度的分布特点最大切应力发生在中性轴上,y=0

圆环截面梁的弯曲切应力结论与讨论求在FQ作用下截面最大切应力FQyz薄壁圆环的弯曲切应力若圆环壁厚为,平均直径为d,圆环截面圆环截面梁的弯曲切应力结论与讨论已知直径为d0的半圆对Z轴的静矩对半个圆环d0为半圆的直径为圆环壁厚,d为平均直径FQyz半圆环对z轴静矩:结论：薄壁圆环截面最大切应力为平均切应力的两倍

工字钢截面梁的弯曲切应力结论与讨论工字钢截面工字钢截面梁的弯曲切应力结论与讨论Iz整个面积对z轴惯性矩，Sz为截面上距中性轴为y的横线以外部分面积对中性轴的静矩为半个工字截面对中性轴的静矩工字钢截面工字钢截面梁的弯曲切应力结论与讨论可由本书P491页附录B型钢表3查得(第二版在385页附录A型钢表3)不同实心截面梁正应力与切应力比较结论与讨论实心截面梁正应力与切应力比较结论与讨论悬