材料力学之扭转

2023/2/51第四章

扭转2023/2/52标题第四章扭转二、外力偶矩扭矩和扭矩图一、概述三、圆轴扭转时截面上的应力计算四、圆轴扭转时的变形计算五、圆轴扭转时的强度条件刚度条件

圆轴的设计计算六、材料扭转时的力学性质七、圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形八、矩形截面杆自由扭转理论的主要结果九、扭转超静定问题2023/2/53一、概述汽车传动轴一、概述2023/2/54汽车方向盘一、概述2023/2/55丝锥攻丝一、概述2023/2/56一、概述扭转变形是在杆件的两端作用大小相等,方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶,使杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动。受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。2023/2/57直接计算二、外力偶矩扭矩和扭矩图1.外力偶矩二、外力偶矩扭矩和扭矩图2023/2/58按输入功率和转速计算电机每秒输入功：外力偶作功完成：二、外力偶矩扭矩和扭矩图已知轴转速－n转/分钟输出功率－Pk千瓦求：力偶矩Me2023/2/59T=Me2.扭矩和扭矩图二、外力偶矩扭矩和扭矩图2023/2/510T=Me二、外力偶矩扭矩和扭矩图2023/2/511二、外力偶矩扭矩和扭矩图2023/2/512二、外力偶矩扭矩和扭矩图2023/2/513扭矩正负规定右手螺旋法则右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)二、外力偶矩扭矩和扭矩图2023/2/514扭矩图二、外力偶矩扭矩和扭矩图2023/2/515解:(1)计算外力偶矩二、外力偶矩扭矩和扭矩图由公式Pk/n2023/2/516(2)计算扭矩二、外力偶矩扭矩和扭矩图(3)扭矩图2023/2/517二、外力偶矩扭矩和扭矩图2023/2/518二、外力偶矩扭矩和扭矩图2023/2/5191.圆轴横截面上的应力变形几何关系物理关系静力平衡关系研究应变规律找出应力分布规律求出应力计算公式三、圆轴扭转时截面上的应力计算三、圆轴扭转时截面上的应力计算2023/2/5201）.变形几何关系沿轴向的纵向线转过角度γ截面上的半径线转过角度φ沿周向的圆周线无变化，且两圆周线间距离不变三、圆轴扭转时截面上的应力计算2023/2/521

平面假设圆轴扭转时横截面保持为平面，形状和大小均不变；相邻两截面间距离保持不变。三、圆轴扭转时截面上的应力计算2023/2/522

截取微段研究变形三、圆轴扭转时截面上的应力计算2023/2/523三、圆轴扭转时截面上的应力计算2023/2/5242）.物理关系剪切胡克定律距离圆心ρ处代入变形几何关系得到：三、圆轴扭转时截面上的应力计算2023/2/5253）.静力关系由得Ip－截面二次极矩(极惯性矩)代入得到三、圆轴扭转时截面上的应力计算2023/2/526最大切应力计算令抗扭截面系数三、圆轴扭转时截面上的应力计算2023/2/5272.

Ip与Wp的计算三、圆轴扭转时截面上的应力计算实心轴2023/2/528空心轴令则三、圆轴扭转时截面上的应力计算2023/2/529实心轴与空心轴Ip与Wp对比三、圆轴扭转时截面上的应力计算2023/2/530三、圆轴扭转时截面上的应力计算3.

斜截面上的应力2023/2/531三、圆轴扭转时截面上的应力计算3.

斜截面上的应力2023/2/532已知：P＝7.5kW,n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比=0.5。二轴长度相同。求:

实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。解：首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩实心轴三、圆轴扭转时截面上的应力计算2023/2/533已知：P＝7.5kW,n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比=0.5。二轴长度相同。求:

实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。空心轴d2＝0.5D2=23mm三、圆轴扭转时截面上的应力计算2023/2/534确定实心轴与空心轴的重量之比空心轴D2＝46mmd2＝23mm

实心轴d1=45mm长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：三、圆轴扭转时截面上的应力计算2023/2/535已知：P1＝14kW,n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;d1=70mm,d2=50mm,d3=35mm.求:各轴横截面上的最大切应力。3P1=14kW,P2=P3=P1/2=7kWn1=n2=120r/min解：1、计算各轴的功率与转速M1=T1=1114N.mM2=T2=557N.mM3=T3=185.7N.m2、计算各轴的扭矩三、圆轴扭转时截面上的应力计算2023/2/5363例题23、计算各轴的横截面上的最大切应力三、圆轴扭转时截面上的应力计算2023/2/537图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T=3kN·m。试求：1．轴横截面上的最大切应力；2．轴横截面上半径r=15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比；3．去掉r=15mm以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比。解：1．轴横截面上的最大切应力三、圆轴扭转时截面上的应力计算2023/2/5382．半径r=15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比；三、圆轴扭转时截面上的应力计算2023/2/5393．去一部分，横截面上的最大切应力增加的百分比：三、圆轴扭转时截面上的应力计算2023/2/540思考问题

1．去掉r=15mm以内部分，所用材料将会减少多少？

2．如果中心r=15mm以内部分所用的是另一种材料，这时，横截面上的最大切应力将发生在哪里？计算这时的最大切应力，还需要什么条件？G1G1>G2G2三、圆轴扭转时截面上的应力计算2023/2/541相对扭转角抗扭刚度四、圆轴扭转时的变形计算四、圆轴扭转时的变形计算对于阶梯轴或有锥度的变截面轴？2023/2/5421.等截面圆轴：2.阶梯形圆轴：五、圆轴扭转时的强度条件刚度条件

圆轴的设计计算五、圆轴扭转时的强刚度设计2023/2/543单位长度扭转角扭转刚度条件五、圆轴扭转时的强度条件刚度条件

圆轴的设计计算许用单位扭转角2023/2/544五、圆轴扭转时的强度条件刚度条件

圆轴的设计计算1.等截面圆轴：2.阶梯形圆轴：2023/2/545五、圆轴扭转时的强度条件刚度条件

圆轴的设计计算扭转许用切应力许用单位扭转角对于钢材对于铸铁精密机械传动轴一般传动轴精度要求不高的轴2023/2/546扭转强度条件扭转刚度条件已知T、D和[τ]，校核强度已知T

和[τ]，设计截面已知D和[τ]，确定许可载荷已知T、D和[φ/]，校核刚度已知T

和[φ/]，设计截面已知D和[φ/]，确定许可载荷五、圆轴扭转时的强度条件刚度条件

圆轴的设计计算2023/2/547五、圆轴扭转时的强度条件刚度条件

圆轴的设计计算2023/2/548五、圆轴扭转时的强度条件刚度条件

圆轴的设计计算

传动轴的转速为n=500r/min，主动轮1输入功率P1=400kW，从动轮2，3分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。已知[τ]=70MPa，[φˊ]=1°/m，G=80GPa。

(1)试确定AC段的直径d1和BC段的直径d2；

(2)若AC和BC两段选同一直径，试确定直径d；

(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?解：1.外力2023/2/549五、圆轴扭转时的强度条件刚度条件

圆轴的设计计算

2.扭矩图按刚度条件3.直径d1的选取按强度条件2023/2/550五、圆轴扭转时的强度条件刚度条件

圆轴的设计计算

按刚度条件4.直径d2的选取按强度条件

5.选同一直径时2023/2/551五、圆轴扭转时的强度条件刚度条件

圆轴的设计计算

6.将主动轮按装在两从动轮之间受力合理2023/2/552六、材料扭转时的力学性质六、材料扭转时的力学性质2023/2/553工程中常用非圆截面杆截面多为矩形或正方形航空结构中广泛采用薄壁截面杆件八、矩形截面杆自由扭转理论的主要结果八、矩形截面杆自由扭转理论的主要结果2023/2/554矩形截面杆扭转变形翘曲：变形后横截面变为曲面2023/2/555圆/非圆杆比较2023/2/556矩形杆扭转主要结论2023/2/557薄壁杆件扭转1.薄壁杆件分类开口薄壁杆件闭口薄壁杆件2023/2/5582.扭转分类自由扭转约束扭转截面翘曲不受约束各截面翘曲不同2023/2/559开口/闭口薄壁杆件扭转比较2023/2/560

轴AB和CD在B处用法兰连接，在A、D二处为固定约束，受力及尺寸如图所示，材料的G=80GPa。试求轴AB和CD中的最大切应力解：1、平衡方程2、变形协调关系3、物理关系九、扭转超静定问题MAMD2023/2/561轴AB：轴CD：MAMD九、扭转超静定问题2023/2/562思考问题

圆轴表面的圆，在圆轴受扭转后将变成什么形状？九、扭转超静定问题2023/2/563密圈螺旋弹簧

当螺旋角很小时，如，α＜5º，可忽略的影响，近似地认为簧丝的横截面和弹簧轴线在同一平面内。这种弹簧称为密圈螺旋弹簧。在簧丝横截面的直径d远小于弹簧圈的平均直径D时，可以忽略簧丝曲率的影响，近似地用直杆公式进行计算。2023/2/5642023/2/565簧丝截面上的应力横截面上显然有一向下的内力Fs和一个内力偶T。根据平衡条件可得