高中数学人教B版第三章基本初等函数 高质作品 优质课奖

章末综合测评(三)基本初等函数(Ⅰ)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x)的图象关于直线y＝x对称的函数是()A．y＝4x B．y＝4－xC．y＝logeq\s\do10(\f(1,4))x D．y＝log4x【解析】由指数、对数函数图象性质知，与函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x)的图象关于直线y＝x对称的函数是对数函数y＝logeq\s\do10(\f(1,4))x，故选C.【答案】C2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A．y＝ln(x＋2) B．y＝－eq\r(x＋1)C．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x) D．y＝x2－2x【解析】y＝ln(x＋2)的定义域为(－2，＋∞)，在(0，＋∞)上递增;y＝－eq\r(x＋1)的定义域为[－1，＋∞)，在(0，＋∞)上递减；y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的定义域为R，在(0，＋∞)上递减；y＝x2－2x的定义域为R，在(1，＋∞)上递增，在(0,1)上递减．故选A.【答案】AA．(1，＋∞) B．(2，＋∞)C．(－∞，2] D．(1,2]【解析】得0<x－1≤1，∴1<x≤2.【答案】D4．设幂函数f(x)的图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\r(3)))，设0<a<1，则f(a)与f－1(a)的大小关系是()A．f－1(a)>f(a) B．f－1(a)＝f(a)C．f－1(a)<f(a) D．不确定【解析】设f(x)＝xα，将点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\r(3)))的坐标代入得：eq\r(3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(α)，∴α＝－eq\f(1,2).∴f(x)＝xeq\s\up12(-\f(1,2))，即y＝xeq\s\up12(-\f(1,2))，∴x＝y－2，∴f－1(x)＝x－2.又0<a<1，∴f－1(a)>f(a)．故选A.【答案】A5．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)－1，x≤0，,log2x2＋x，x>0，))若f(a)＝1，则a的值为()A．－1 B．1C．－1或1 D．－1或1或－2【解析】∵f(a)＝1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(a)－1＝1，,a≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2a2＋a＝1，,a2＋a>0，,a>0，))(a2＋a>0与a>0的公共解为a>0)∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,a≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋a－2＝0，,a>0.))∴a＝－1或a＝1.【答案】C6．若a＞b＞0,0＜c＜1，则()A．logac＜logbc B．logca＜logcbC．ac＜bc D．ca＞cb【解析】对于选项A：logac＝eq\f(lgc,lga)，logbc＝eq\f(lgc,lgb)，∵0＜c＜1，∴lgc＜0.而a＞b＞0，∴lga＞lgb，但不能确定lga，lgb的正负，∴logac与logbc的大小不能确定．对于选项B：logca＝eq\f(lga,lgc)，logcb＝eq\f(lgb,lgc)，而lga＞lgb，两边同乘一个负数eq\f(1,lgc)不等号方向改变，∴logca＜logcb，∴选项B正确．对于选项C：利用y＝xc(0＜c＜1)在第一象限内是增函数，可得ac＞bc，∴选项C错误．对于选项D：利用y＝cx(0＜c＜1)在R上为减函数，可得ca＜cb，∴选项D错误，故选B.【答案】B7．函数f(x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1－x)－1))，x∈(－1,1)的图象关于()【导学号：97512061】A．y轴对称 B．x轴对称C．原点对称 D．直线y＝x对称【解析】f(x)＝lgeq\f(1＋x,1－x)，x∈(－1,1)，∴f(－x)＝lgeq\f(1－x,1＋x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,1－x)))－1＝－lgeq\f(1＋x,1－x)＝－f(x)．即f(x)为奇函数，关于原点对称．【答案】C8．若f(x)＝logax(a>0且a≠1)，f(x)的反函数为g(x)，且g(2)<1，则f(x)的图象是()【解析】g(x)＝ax(a>0且a≠1)，∴g(2)＝a2<1，故0<a<1，∴f(x)＝logax是减函数，应选B.【答案】B9．已知函数f(x)满足：f(x)≥|x|且f(x)≥2x，x∈R.()A．若f(a)≤|b|，则a≤bB．若f(a)≤2b，则a≤bC．若f(a)≥|b|，则a≥bD．若f(a)≥2b，则a≥b【解析】∵f(x)≥|x|，∴f(a)≥|a|.若f(a)≤|b|，则|a|≤|b|，A项错误．若f(a)≥|b|且f(a)≥|a|，无法推出a≥b，故C项错误．∵f(x)≥2x，∴f(a)≥2a.若f(a)≤2b，则2b≥2a，故b≥a，B项正确．若f(a)≥2b且f(a)≥2a，无法推出a≥b，故D项错误．故选B.【答案】B10．已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<c B．a<c<bC．c<a<b D．c<b<a【解析】由f(x)＝2|x－m|－1是偶函数可知m＝0，所以f(x)＝2|x|－1.所以a＝f＝2||－1＝2log23－1＝2，b＝f(log25)＝2|log25|－1＝2log25－1＝4，c＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以c<a<b.【答案】C11．若函数f(x)＝eq\f(2x＋1,2x－a)是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为()A．(－∞，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1，＋∞)【解析】因为函数y＝f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即eq\f(2－x＋1,2－x－a)＝－eq\f(2x＋1,2x－a).化简可得a＝1，则eq\f(2x＋1,2x－1)＞3，即eq\f(2x＋1,2x－1)－3＞0，即eq\f(2x＋1－32x－1,2x－1)>0，故不等式可化为eq\f(2x－2,2x－1)＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x＜1，故选C.【答案】C12．函数y＝ax－2(a＞0且a≠1，－1≤x≤1)的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，1))，则实数a＝()A．3 \f(1,3)C．3或eq\f(1,3) \f(2,3)或eq\f(3,2)【解析】当a＞1时，y＝ax－2在[－1,1]上为增函数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2＝1，,\f(1,a)－2＝－\f(5,3)，))解得a＝3；当0＜a＜1时，y＝ax－2在[－1,1]上为减函数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2＝－\f(5,3)，,\f(1,a)－2＝1，))解得a＝eq\f(1,3).综上可知a＝3或eq\f(1,3).【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．计算eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,4)－lg25))÷100eq\s\up12(-\f(1,2))＝________.【导学号：97512062】【解析】原式＝lgeq\f(\f(1,4),25)÷(102)eq\s\up12(-\f(1,2))＝lg10－2÷eq\f(1,10)＝－2×10＝－20.【答案】－2014．化简：eq\r(a\r(a\r(a)))＝________.【解析】eq\r(a\r(a\r(a)))＝eq\r(a·a·a\s\up8(\f(1,2))\s\up8(\f(1,2)))＝aeq\s\up8(\f(7,8)).【答案】aeq\s\up8(\f(7,8))15．设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为g(a)，则g(a)＝________.【解析】∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1的图象对称轴为x＝1，∴当－2<a≤1时，ymin＝g(a)＝a2－2a；当a>1时，ymin＝g(a)＝－1.∴g(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－2a，－2<a≤1,－1，a>1))【答案】eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－2a，－2<a≤1,－1，a>1))16．对于下列结论：①函数y＝ax＋2(x∈R)的图象可以由函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象平移得到；②函数y＝2x与函数y＝log2x的图象关于y轴对称；③方程log5(2x＋1)＝log5(x2－2)的解集为{－1,3}；④函数y＝ln(1＋x)－ln(1－x)为奇函数．其中正确的结论是________．(把你认为正确结论的序号都填上)【解析】y＝ax＋2的图象可由y＝ax的图象向左平移2个单位得到，①正确；y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称，②错误；由log5(2x＋1)＝log5(x2－2)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1＝x2－2，,2x＋1>0，,x2－2>0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，3，,x>－\f(1,2)，,x>\r(2)或x<－\r(2)，))∴x＝3，③错误；设f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，定义域为(－1,1)，关于原点对称，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－[ln(1＋x)－ln(1－x)]＝－f(x)．∴f(x)是奇函数，④正确．故正确的结论是①④.【答案】①④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求下列函数的定义域．(1)f(x)＝eq\f(1,log2x＋1－3)；(2)f(x)＝eq\r(92x－1－\f(1,27)).【解】(1)要使函数有意义，须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,log2x＋1≠3＝log28，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>－1，,x≠7，))∴函数的定义域为{x|x>－1且x≠7}．(2)要使函数有意义，须满足：92x－1－eq\f(1,27)≥0，∴34x－2≥3－3，∴x≥－eq\f(1,4)，∴函数的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥－\f(1,4))))).18．(本小题满分12分)若lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两根，求lg(ab)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(lg\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))))eq\s\up12(2)的值．【解】∵lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lga＋lgb＝2，,lga·lgb＝\f(1,2).))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgab＝2，,lga·lgb＝\f(1,2).))∴eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(lg\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))))eq\s\up12(2)＝(lga－lgb)2＝(lga＋lgb)2－4lga·lgb＝[lg(ab)]2－4lga·lgb＝22－4×eq\f(1,2)＝2.∴lg(ab)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(lg\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))))eq\s\up12(2)＝2×2＝4.19．(本小题满分12分)求y＝(logeq\s\do10(\f(1,2))x)2－eq\f(1,2)logeq\s\do10(\f(1,2))x＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值.【导学号：60210100】【解】∵2≤x≤4，∴－2≤logeq\s\do10(\f(1,2))x≤－1.设t＝logeq\s\do10(\f(1,2))x，则－2≤t≤－1，y＝t2－eq\f(1,2)t＋5＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(79,16).∵对称轴t＝eq\f(1,4)∉[－2，－1]，∴y＝t2－eq\f(1,2)t＋5在[－2，－1]上是减函数．∴y(－1)≤y≤y(－2)，即当t＝－1时，ymin＝eq\f(13,2)，当t＝－2时，ymax＝10.20．(本小题满分12分)已知f(x)＝logaeq\f(1＋x,1－x)(a>0，且a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)求使f(x)>0的x的取值范围．【解】(1)要使f(x)有意义，x的取值必须满足eq\f(1＋x,1－x)>0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋x>0，,1－x>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋x<0，,1－x<0，))解得－1<x<1.故f(x)的定义域为(－1,1)．(2)当a>1时，由logaeq\f(1＋x,1－x)>0＝loga1，得eq\f(1＋x,1－x)>1，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<x<1，,1＋x>1－x.))解得0<x<1.当0<a<1时，由logaeq\f(1＋x,1－x)>0＝loga1，得0<eq\f(1＋x,1－x)<1，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<x<1，,1＋x<1－x.))解得－1<x<0.故当a>1时，所求x的取值范围为0<x<1；当0<a<1时，所求x的取值范围为－1<x<0.21．(本小题满分12分)分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小：把声压P0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．(1)根据上述材料，列出分贝值y与声压P的函数关系式；(2)某地声压P＝帕，试问该地为以上所说的什么区？(3)某晚会中，观