高中数学人教B版2第一章导数及其应用

章末综合测评(一)导数及其应用(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则eq\o(lim,\s\do14(h→0))eq\f(fx0＋h－fx0－h,h)的值为()A．f′(x0) B．2f′(x0C．－2f′(x0【解析】eq\o(lim,\s\do14(h→0))eq\f(fx0＋h－fx0－h,h)＝2eq\o(lim,\s\do14(h→0))eq\f(fx0＋h－fx0－h,2h)＝2f′(x0)，故选B.【答案】B2．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝()【导学号：05410036】A．1 \f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－1【解析】y′＝2ax，于是切线斜率k＝y′|x＝1＝2a，由题意知2a＝2，∴a＝1.【答案】A3．下列各式正确的是()A．(sina)′＝cosa(a为常数)B．(cosx)′＝sinxC．(sinx)′＝cosxD．(x－5)′＝－eq\f(1,5)x－6【解析】由导数公式知选项A中(sina)′＝0；选项B中(cosx)′＝－sinx；选项D中(x－5)′＝－5x－6.【答案】C4．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)【解析】f′(x)＝(x－2)ex，由f′(x)>0，得x>2，所以函数f(x)的单调递增区间是(2，＋∞)．【答案】D5．若函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为()A．0 B．2C．1 D．－1【解析】f′(x)＝x2－2f′(1)·x－1，则f′(1)＝12－2f′(1)·1－1，解得f′(1)＝0.【答案】A6．如图1所示，图中曲线方程为y＝x2－1，用定积分表示围成封闭图形(阴影部分)的面积是()图1\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\i\in(0,2,)x2－1dx))\i\in(0,2,)(x2－1)dx\i\in(0,2,)|x2－1|dx\i\in(0,1,)(x2－1)dx－eq\i\in(1,2,)(x2－1)dx【解析】S＝eq\i\in(0,1,)[－(x2－1)]dx＋eq\i\in(1,2,)(x2－1)dx＝eq\i\in(0,2,)|x2－1|dx.【答案】C7．函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是()A．2 B．1C．0 D．由a确定【解析】f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x2＋2x＋1)＝3(x＋1)2≥0，∴函数f(x)在R上单调递增，无极值．故选C.【答案】C8．若函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为()A．－5 B．7C．10 D．－19【解析】∵f(x)′＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)，所以函数在[－2，－1]内单调递减，所以最大值为f(－2)＝2＋a＝2.∴a＝0，最小值f(－1)＝a－5＝－5.【答案】A9．已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′(x)>1，则f(x)>x的解集是()A．(0,1) B．(－1,0)∪(0,1)C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】不等式f(x)>x可化为f(x)－x>0，设g(x)＝f(x)－x，则g′(x)＝f′(x)－1，由题意g′(x)＝f′(x)－1>0，∴函数g(x)在R上单调递增，又g(1)＝f(1)－1＝0，∴原不等式⇔g(x)>0⇔g(x)>g(1)．∴x>1，故选C.【答案】C10．已知函数f(x)＝x2＋2x＋alnx，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是()A．a≥0 B．a<－4C．a≥0或a≤－4 D．a>0或a<－4【解析】f′(x)＝2x＋2＋eq\f(a,x)，x∈(0,1)，∵f(x)在(0,1)上单调，∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(0,1)上恒成立，∴2x＋2＋eq\f(a,x)≥0或2x＋2＋eq\f(a,x)≤0在(0,1)上恒成立，即a≥－2x2－2x或a≤－2x2－2x在(0,1)上恒成立．设g(x)＝－2x2－2x＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(1,2)，则g(x)在(0,1)上单调递减，∴g(x)的最大值为g(0)＝0，g(x)的最大值为g(1)＝－4.∴a≥0或a≤－4.【答案】C11．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为()\r(5) B．2eq\r(5)C．3eq\r(5) D．2【解析】设曲线上的点A(x0，ln(2x0－1))到直线2x－y＋3＝0的距离最短，则曲线上过点A的切线与直线2x－y＋3＝0平行．因为y′＝eq\f(1,2x－1)·(2x－1)′＝eq\f(2,2x－1)，所以k＝eq\f(2,2x0－1)＝2，解得x0＝1.所以点A的坐标为(1,0)．所以点A到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝eq\f(|2×1－0＋3|,\r(22＋－12))＝eq\f(5,\r(5))＝eq\r(5).【答案】A12．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，且对于任意实数x，有f(x)≥0，则eq\f(f1,f′0)的最小值为()【导学号：05410037】A．3 \f(5,2)C．2 \f(3,2)【解析】由题意，得f′(x)＝2ax＋b.由对任意实数x，有f(x)≥0，知图象开口向上，所以a>0，且Δ＝b2－4ac≤0，所以ac≥eq\f(b2,4).因为f′(0)>0，所以b>0，且在x＝0处函数递增．由此知f(0)＝c>0.所以eq\f(f1,f′0)＝eq\f(a＋b＋c,b)≥eq\f(b＋2\r(ac),b)≥eq\f(b＋2\r(\f(b2,4)),b)＝2.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．eq\i\in(0,eq\f(π,2),)(3x＋sinx)dx＝__________.【解析】eq\i\in(0,eq\f(π,2),)(3x＋sinx)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x2,2)－cosx))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(eq\f(π,2),0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))2－cos\f(π,2)))－(0－cos0)＝eq\f(3π2,8)＋1.【答案】eq\f(3π2,8)＋114．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．【解析】设P(x0，y0)，∵y＝e－x，∴y′＝－e－x，∴点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，∴－x0＝ln2，∴x0＝－ln2，∴y0＝eln2＝2，∴点P的坐标为(－ln2,2)．【答案】(－ln2,2)15．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有三个相异的公共点，则a的取值范围是__________．【解析】令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可求得f(x)的极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，如图所示，－2<a<2时，恰有三个不同公共点．【答案】(－2,2)16．周长为20cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm3.【解析】设矩形的长为x，则宽为10－x(0<x<10)，由题意可知所求圆柱的体积V＝πx2(10－x)＝10πx2－πx3，∴V′(x)＝20πx－3πx2.由V′(x)＝0，得x＝0(舍去)，x＝eq\f(20,3)，且当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(20,3)))时，V′(x)>0，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,3)，10))时，V′(x)<0，∴当x＝eq\f(20,3)时，V(x)取得最大值为eq\f(4000,27)πcm3.【答案】eq\f(4000,27)π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限，(1)求P0的坐标；(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．【解】(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，由已知得3x2＋1＝4，解得x＝±1.当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.又因为点P0在第三象限，所以切点P0的坐标为(－1，－4)．(2)因为直线l⊥l1，l1的斜率为4，所以直线l的斜率为－eq\f(1,4)，因为l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，所以直线l的方程为y＋4＝－eq\f(1,4)(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝aln(x＋1)＋eq\f(1,2)x2－ax＋1(a>0)．(1)求函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)当a>1时，求函数y＝f(x)的单调区间和极值．【解】(1)f(0)＝1，f′(x)＝eq\f(a,x＋1)＋x－a＝eq\f(xx－a＋1,x＋1)，f′(0)＝0，所以函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(2)函数的定义域为(－1，＋∞)，令f′(x)＝0，即eq\f(xx－a＋1,x＋1)＝0.解得x＝0或x＝a－1.当a>1时，f(x)，f′(x)随x变化的变化情况为x(－1,0)0(0，a－1)a－1(a－1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增可知f(x)的单调减区间是(0，a－1)，单调增区间是(－1,0)和(a－1，＋∞)，极大值为f(0)＝1，极小值为f(a－1)＝alna－eq\f(1,2)a2＋eq\f(3,2).19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－mlnx，h(x)＝x2－x＋a，(1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；(2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．【解】(1)由f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，得m≤eq\f(x,lnx)在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝eq\f(x,lnx)，则g′(x)＝eq\f(lnx－1,lnx2)，故g′(e)＝0，当x∈(1，e)时，g′(x)<0；x∈(e，＋∞)时，g′(x)>0.故g(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，故当x＝e时，g(x)的最小值为g(e)＝e.所以m≤e.(2)由已知可知k(x)＝x－2lnx－a，函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x)＝x－2lnx与直线y＝a有两个不同的交点，φ′(x)＝1－eq\f(2,x)＝eq\f(x－2,x)，故φ′(2)＝0，所以当x∈[1,2)时，φ′(x)<0，所以φ(x)单调递减，当x∈(2,3]时，φ′(x)>0，所以φ(x)单调递增．所以φ(1)＝1，φ(3)＝3－2ln3，φ(2)＝2－2ln2，且φ(1)>φ(3)>φ(2)>0，所以2－2ln2<a≤3－2ln3.所以实数a的取值范围为(2－2ln2,3－2ln3]．20．(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为rm，高为hm，体积为Vm3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．【解】(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝eq\f(1,5r)(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝eq\f(π,5)(300r－4r3)．因为r>0，又由h>0可得0＜r<5eq\r(3)，故函数V(r)的定义域为(0,5eq\r(3))．(2)因为V(r)＝eq\f(π,5)(300r－4r3)，所以V′(r)＝eq\f(π,5)(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去)．当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r∈(5,5eq\r(3))时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5eq\r(3))上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．21．(本小题满分12分)抛物线y＝ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y＝4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S.求使S达到最大值的a，b值，并求S的最大值．【解】由题设可知抛物线与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝－eq\f(b,a)，所以S＝eq\i\in(0,-eq\f(b,a),)0(ax2＋bx)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)ax3＋\f(1,2)bx2))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－eq\f(b,a),0))＝eq\f(1,3)a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)))3＋eq\f(1,2)b·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)))2，①又直线x＋y＝4与抛物线y＝ax2＋bx相切，即它们有唯一的公共点，由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝4，,y＝ax2＋bx，))得ax2＋(b＋1)x－4＝0，其判别式Δ＝0，即(b＋1)2＋16a＝0.于是a＝－eq\f(1,16)(b＋1)2，代入①式得：S(b)＝eq\f(128b3,3b＋14)(b>0)，S′(b)＝eq\f(128b23－b,3b＋15)；令S′(b)＝0，在b＞0时，得b＝3，且当0<b<3时，S′(b)>0；当b>3时，S′(b)<0.故在b＝3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a＝－1，b＝3时，S取得最大值，且S最大值＝eq\f(9,2).22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝eq\f(alnx,x＋1)＋eq