高中数学北师大版第一章立体几何初步（省一等奖）

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列结论正确的是()①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.A．①②③ B．②④C．③④ D．②③解析：①错，可以异面．②正确．③错误，和另一条可以异面．④正确，由平行直线的传递性可知．答案：B2．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形()A．全等 B．相似C．仅有一个角相等 D．无法判断解析：由题意知，这两个三角形的三个角对应相等，故这两个三角形相似．答案：B3．如图，α∩β＝l，aα，bβ，且a，b为异面直线，则以下结论正确的是()A．a，b都与l平行B．a，b中至多有一条与l平行C．a，b都与l相交D．a，b中至多有一条与l相交解析：如果，a，b都与l平行，根据公理4，有a∥b，这与a，b为异面直线矛盾，故a，b中至多有一条与l平行．答案：B4．已知空间四边形ABCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列判断正确的是()A．MN≥eq\f(1,2)(AC＋BD) B．MN≤eq\f(1,2)(AC＋BD)C．MN＝eq\f(1,2)(AC＋BD) D．MN＜eq\f(1,2)(AC＋BD)解析：如图，取BC的中点H，据题意有MH＝eq\f(1,2)AC，MH∥AC，HN＝eq\f(1,2)BD，HN∥BD.在△MNH中，由两边之和大于第三边知，MN＜MH＋HN＝eq\f(1,2)(AC＋BD).答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD和B1D1是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线．(1)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相同；(2)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相反．解析：(1)因为B1D1∥BD，B1C1∥BC且方向相同，所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同．(2)B1D1∥BD，D1A1∥BC且方向相反，所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反．答案：(1)∠D1B1C1(2)∠B1D1A16．如图，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3).若BD＝6cm，梯形EFGH的面积为28cm2，则平行线EH，FG间的距离为________．解析：在△BCD中，∵eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3)，∴GF∥BD，eq\f(FG,BD)＝eq\f(2,3).∴FG＝4cm.在△ABD中，∵点E，H分别是AB，AD的中点，∴EH＝eq\f(1,2)BD＝3(cm)．设EH，FG间的距离为dcm.则eq\f(1,2)×(4＋3)×d＝28，∴d＝8.答案：8cm三、解答题(每小题10分，共20分)7．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：(1)∠ABC＝∠A1B1C1；(2)∠A1D1A＝∠B1C1B.证明：(1)如下图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，由长方体的性质可得：A1B1∥AB，BC∥B1C1，且方向相同，由等角定理可得∠ABC＝∠A1B1C1.(2)如上图在长方体ABCD－A1B1C1D1中，由长方体的性质可得：D1C1綊AB，∴四边形ABC1D1为平行四边形．∴AD1∥BC1且A1D1∥B1C1，并且方向相同，∴∠A1D1A＝∠B1C1B.8．直三棱柱ABC－A1B1C1中∠ACB＝90°，D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点．若BC＝CA＝CC1＝2，求异面直线BD1与AF1所成的角．解析：取BC中点G，连接F1G，AG，D1F1，则D1F1∥B1C1且D1F1＝eq\f(1,2)B1C1，又∵B1C1綊BC，G为BC的中点．∴D1F1綊BG，∴四边形D1F1GB是平行四边形，∴BD1∥F1G，∴∠AF1G(或其补角)为异面直线BD1与AF1所成的角．在Rt△ACG中，AG＝eq\r(AC2＋CG2)＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5).同理在Rt△BB1D1，Rt△A1AF1中可求BD1＝AF1＝eq\r(5).又BD1＝GF1，故△AGF1是等边三角形，∴∠AF1G＝60°，∴异面直线BD1与AF1所成的角是60°.eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．(10分)如图，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.证明：(