高中数学人教A版1本册总复习总复习 课后提升作业十

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课后提升作业十椭圆的简单几何性质(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.椭圆(m+1)x2+my2=1的长轴长是()A.2m-1m-1 C.2mm 【解析】选C.椭圆方程可简化为x211+m+y21m=1,由题意知m>0,所以11+m2.已知椭圆C的左、右焦点的坐标分别是(-2,0),(2,0),离心率是63A.x23+y2=1 +C.x23+y22=1 D.【解析】选A.因为ca=63,且c=所以a=3,b=a2所以椭圆C的方程为x23+y3.已知椭圆2x2+y2=2的两个焦点为F1,F2,且B为短轴的一个端点,则△F1BF2的外接圆方程为()+y2=1 B.(x-1)2+y2=4+y2=4 +(y-1)2=4【解析】选A.由2x2+y2=2得x2+y22=1,所以b=1,c=(0,-1),F2(0,1),取B(1,0),故△F1BF2外接圆方程为x2+y,A分别为椭圆的一个焦点和顶点,若椭圆的长轴长是6,且cos∠OFA=23A.x236+B.x29+C.x220+y236=1或D.x29+y25=1或【解析】选D.当焦点在x轴上时,cos∠OFA=|OF||AF|=cc2+因为2a=6,所以a=3,c=2,所以b2=a2-c2=9-4=5.所以椭圆方程为x29+同理,当焦点在y轴上时,椭圆方程为x25+5.椭圆x29+y2 1925或21 D.19【解析】选C.当椭圆的焦点在x轴上时,a2=9,b2=4+k,得c2=5-k.由ca=5-k3=4当焦点在y轴上时,a2=4+k,b2=9,得c2=k-5.由ca=k-54+k【误区警示】认真审题,防止丟解在求椭圆方程或利用方程研究椭圆性质时,一定要注意椭圆的位置是否确定,若没有确定,则应该有两解.6.(2023·全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()【解析】选B.设椭圆的标准方程为=1(a>b>0)，右焦点F(c,0)，则直线l的方程为=1，即bx+cy-bc=0，由题意可知b，又a2=b2+c2，得b2c2=b2a2，所以e=7.(2023·衡水高二检测)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足MF1→A.(0,1) B.0C.0,22 【解析】选C.设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a,b,c,因为MF1→所以M点的轨迹是以原点O为圆心,半焦距c为半径的圆.又M点总在椭圆内部,所以该圆内含于椭圆,即c<b,c2<b2=a2-c2,故e2<12,所以0<e<28.椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆M上任一点,且PF1→A.14,12C.22,1 【解析】选B.设P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),则PF1→=(-c-x,-y),PF2→=(c-x,-y),PF1→·PF2→=x2+y2-c2.又x2+y2可看作P(x,y)到原点的距离的平方,所以(x2+y2)max=a2,所以(PF1→·PF2→)max=b2,所以c2≤b二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2023·台州高二检测)若椭圆的两焦点为F1(-4,0),F2(4,0),点P在椭圆上,且△PF1F2的最大面积是12,则椭圆的短半轴长为________.【解析】设P点到x轴的距离为h,则S△PF1F2=1当P点在y轴上时,h最大,此时S△P因为|F1F2|=2c=8,所以h=3,即b=3.答案:310.(2023·嘉兴高二检测)已知椭圆x24+y23=1的左顶点为A1,右焦点为F2,点P为该椭圆上一动点,则当PF2→·P【解析】由已知得a=2,b=3,c=1,所以F2(1,0),A1(-2,0),设P(x,y),则PF2→=(1-x)(-2-x)+y2.又点P(x,y)在椭圆上,所以y2=3-34x2得PF2→·PA1→=14又x∈[-2,2],所以当x=-2时,PF2→所以P(-2,0),求得|PA1→答案:3三、解答题(每小题10分,共20分)11.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.(1)求椭圆离心率的范围.(2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.【解析】(1)不妨设椭圆方程为x2a2|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a.在△PF1F2中,由余弦定理可知,4c2=m2+n2-2mncos60°=(m+n)2-3mn=4a2-3mn≥4a2-3·m=4a2-3a2=a2(当且仅当m=n时取等号).所以c2a2≥14,又0<e<1,所以e的取值范围是12(2)由(1)知mn=43b2,所以S△PF1F2=即△PF1F2的面积只与短轴长有关.12.已知椭圆x2+y2b2=1(0<b<1)的左焦点为F,左、右顶点分别为A,C,上顶点为B,过F,B,C三点作☉P,且圆心在直线x+y=0上【解题指南】根据圆的性质,得圆心P为FC的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点,因此分别算出FC,BC的垂直平分线方程,得到它们的交点,代入直线x+y=0解出b2,即可得出此椭圆的方程.【解析】设圆心P的坐标为(m,n),因为☉P过点F,B,C三点,所以圆心P既在FC的垂直平分线上,也在BC的垂直平分线上,FC的垂直平分线方程为x=1-c因为BC的中点为12,b所以BC的垂直平分线方程为y-b2=1由①,②联立,得x=1-c2,y=b2-c2b因为P(m,n)在直线x+y=0上,所以1-c2+可得(1+b)(b-c)=0,因为1+b>0,所以b=c,结合b2=1-c2得b2=12所以椭圆的方程为x2+y212=1,即x2【能力挑战题】设椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e=32,已知点P0,3【解题指南】先设出椭圆的标准方程,根据离心率得到a,b的关系,再设M(x,y)为椭圆上的点,用两点间距离表示出|PM|,最后利用二次函数知识求解椭圆的标准方程.【解析】设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),M(x,y)为椭圆上的点,由ca=32得a=2b,|PM|2=x若0<b<12,则当y=-b时|PM|2最大,即-b-322=7,所以b=7若b≥12,则当y=-12时,4b2+3=7,b从而a2=4.所求方程为x24+y【补偿训练】已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是2∶3.(1)求椭圆C的方程.(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上,点P是椭圆上任意一点.当|MP【解析】(1)由题意知c解得a所以椭圆C的方程为x216+(2)设P(x0,y0),