高中数学北师大版第一章集合集合的基本运算第1章

第一章§3A级基础巩固1．(2023·北京文，1)已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－2或x>2}，则∁UA＝eq\x(导学号00814118)(C)A．(－2,2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)[解析]∵A＝{x|x<－2或x>2}，全集U＝R，∴∁UA＝{x|－2≤x≤2}，故选C．2．(2023·山东文，1)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，则∁U(A∪B)＝eq\x(导学号00814119)(A)A．{2,6} B．{3,6}C．{1,3,4,5} D．{1,2,4,6}[解析]∵A∪B＝{1,3,4,5}，∴∁U(A∪B)＝{2,6}，故选A．3．设全集U＝{x∈Z|－1≤x≤5}，A＝{1,2,5}，B＝{x∈N|－1<x<4}，则B∩(∁UA)＝eq\x(导学号00814120)(B)A．{3} B．{0,3}C．{0,4} D．{0,3,4}[解析]∵U＝{－1,0,1,2,3,4,5}，B＝{0,1,2,3}，∴∁UA＝{－1,0,3,4}，∴B∩(∁UA)＝{0,3}．4．如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是eq\x(导学号00814121)(C)A．A∩B B．A∪BC．B∩(∁UA) D．A∩(∁UB)[解析]由Venn图可知阴影部分为B∩(∁UA)．5．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是eq\x(导学号00814122)(B)[解析]∵M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＋x＝0}＝{－1,0}，∴N⊆M，故选B．6．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(∁UB)＝eq\x(导学号00814123)(A)A．{3} B．{4}C．{3,4} D．∅[解析]由A∪B＝{1,2,3}，B＝{1,2}，U＝{1,2,3,4}知A∩(∁UB)＝{3}．7．已知集合A＝{0,2,4,6}，∁UA＝{－1,1，－3,3}，∁UB＝{－1,0,2}，则集合B＝_{1,4,6，－3,3}\x(导学号00814124)[解析]∵∁UA＝{－1,1，－3,3}，∴U＝{－1,1,0,2,4,6，－3,3}，又∁UB＝{－1,0,2}，∴B＝{1,4,6，－3,3}．8．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁UA＝_{x|0<x<1}\x(导学号00814125)[解析]∵A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，∴∁UA＝{x|0<x<1}．9．设全集U＝R，集合A＝{x|－1<x<2}，集合B＝{x|1<x<3}，求A∩B，A∪B，∁U(A∩B)，∁U(A∪B).eq\x(导学号00814126)[解析]集合A、B在数轴上表示如图所示．A∩B＝{x|－1<x<2}∩{x|1<x<3}＝{x|1<x<2}；A∪B＝{x|－1<x<2}∪{x|1<x<3}＝{x|－1<x<3}；∁U(A∩B)＝{x|x≤1或x≥2}；∁U(A∪B)＝{x|x≤－1或x≥3}．10．设A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，当a为何值时，(1)A∩B≠∅；(2)A∩B＝A；(3)A∪(∁RB)＝∁RB．eq\x(导学号00814127)[解析](1)A∩B≠∅，因为集合A的区间长度为3，所以由图可得a<－1或a＋3>5解得a<－1或a>2，∴当a<－1或a>2时，A∩B≠∅.(2)∵A∩B＝A，∴A⊆B．由图得a＋3<－1或a>5.即a<－4或a>5时，A∩B＝A．(3)由补集的定义知：∁RB＝{x|－1≤x≤5}，∵A∪(∁RB)＝∁RB，∴A⊆∁RB．由图得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥－1,a＋3≤5，))解得：－1≤a≤2.B级素养提升1．(2023·新疆兵团四师六十二团中学月考)设U＝{1,2,3,4,5}，A∩B＝{2}，(∁UA)∩B＝{4}，(∁UA)∩(∁UB)＝{1,5}，则下列结论正确的是eq\x(导学号00814128)(B)A．3∉A且3∉B B．3∈A且3∉BC．3∉A且3∈B D．3∈A且3∈B[解析]解法1：若3∉A且3∉B，则3∈∁UA且3∈∁UB，则3∈(∁UA)∩(∁UB)，与(∁UA)∩(∁UB)＝{1,5}矛盾，故A错；若3∉A且3∈B，则3∈∁UA且3∈B，则3∈(∁UA)∩B，与(∁UA)∩B＝{4}矛盾，故C错；若3∈A且3∈B，则3∈A∩B，与A∩B＝{2}矛盾，故D错．用排除法可知选B．解法2：全集U＝{1,2,3,4,5}，A∩B＝{2}，(∁UA)∩B＝{4}，(∁UA)∩(∁UB)＝{1,5}，利用Venn图画出U，A，B的关系如图．由图可知A＝{2,3}，B＝{2,4}，则3∈A且3∉B．2．如图所示，用集合A、B及它们的交集、并集、补集表示阴影部分所表示的集合，正确的表达式是eq\x(导学号00814129)(C)A．(A∪B)∩(A∩B)B．∁U(A∩B)C．[A∩(∁UB)]∪[(∁UA)∩B]D．∁U(A∪B)∩∁U(A∩B)[解析]阴影有两部分，左边部分在A内且在B外，转换成集合语言就是A∩(∁UB)；右边部分在B内且在A外，转换成集合语言就是(∁UA)∩B．故选C．3．设全集U＝R，A＝{x|x>1}，B＝{x|x＋a<0}，B∁RA，实数a的取值范围为_a≥－\x(导学号00814130)[解析]∵A＝{x|x>1}，如图所示，∴∁RA＝{x|x≤1}．∵B＝{x|x<－a}，要使B∁RA，则－a≤1，即a≥－1.4．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为\x(导学号00814131)[解析]方法一：如图，全班同学组成集合U，喜欢篮球的组成集合A，喜欢乒乓球运动的组成集合B，则A∩B中人数为：15＋10＋8－30＝3人，∴喜欢篮球不喜欢乒乓球运动的人数为15－3＝12人．方法二：设所求人数为x，则只喜爱乒乓球运动的人数为10－(15－x)＝x－5，故15＋x－5＝30－8⇒x＝12.5．已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x≤2}，B＝{x|－1<x≤3}，P＝{x|x≤0，或x≥eq\f(5,2)}，eq\x(导学号00814132)(1)求A∩B；(2)求(∁UB)∪P；(3)求(A∩B)∩(∁UP)．[解析]借助数轴，如图(1)A∩B＝{x|－1<x≤2}．(2)∵∁UB＝{x|x≤－1，或x>3}，∴(∁UB)∪P＝{x|x≤0，或x≥eq\f(5,2)}．(3)∁UP＝{x|0<x<eq\f(5,2)}．(A∩B)∩(∁UP)＝{x|－1<x≤2}∩{x|0<x<eq\f(5,2)}＝{x|0<x≤2}．6．已知全集U＝{1,3，x3＋3x2＋2x}，集合A＝{1，|2x－1|}，如果∁UA＝{0}，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x；若不存在，请说明理由.eq\x(导学号00814133)[解析]∵∁UA＝{0}，∴0∈U，但0∉A，∴x3＋3x2＋2x＝0，∴x(x＋1)(x＋2)＝0，∴x1＝0，x2＝－1，x3＝－2.当x＝0时，|2x－1|＝1，A中已有元素1，故舍去；当x＝－1时，|2x－1|＝3，而3∈U，故成立；当x＝－2时，|2x－1|＝5，而5∉U，故舍去，综上所述，实数x存在，且它只能是－1.C级能力拔高设全集U＝R，A＝{x∈R|a≤x≤2}，B＝{x∈R|2x＋1≤x＋3，且3x≥2}.eq\x(导学号00814134)(1)若B⊆A，求实数a的取值范围；(2)若a＝1，求A∪B，(∁UA)∩B．[解析](1)B＝{x|x≤2，且x≥eq\f(2,3)}＝{x|eq\f(2,3)