高中数学北师大版第一章立体几何初步 精品

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．在三棱锥A－BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么必有()A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABD⊥平面ABCC．平面ADC⊥平面BCD D．平面ABC⊥平面BCD解析：如图，∵AD⊥BC，AD⊥BD，∴AD⊥平面BCD.又AD平面ADC，∴平面ADC⊥平面BDC.答案：C2．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若a∥b，a∥α，则b∥α B．若α⊥β，a∥α，则a⊥βC．若α⊥β，a⊥β，则a∥α D．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β解析：A错，可能bα；B错；C错，可能aα.只有D正确．答案：D3．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC解析：由题意知，在四边形ABCD中，CD⊥BD，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD，所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD，又因为AB⊥AD，且CD∩AD＝D，所以AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC，故选D.答案：D4．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下列结论中不成立的是()A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC解析：如图所示，∵DF∥BC，BC平面PDF，∴BC∥平面PDF.∴A正确；连接AE，PE，则BC⊥AE，BC⊥PE.∵BC∥DF，∴DF⊥AE，DF⊥PE，DF⊥平面PAE，故B正确，又BC⊥平面PAE，∴平面ABC⊥平面PAE.故D正确．答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则平面ADC与平面BDE的关系是________．解析：∵AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，∴BE⊥AC，DE⊥AC，∴AC⊥平面BDE，又AC平面ADC，∴平面ADC⊥平面BDE.答案：垂直6．如图，若PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则该图中相互垂直的平面有________对．解析：由PA垂直于矩形ABCD所在的平面，知平面PAD⊥平面ABCD和平面PAB⊥平面ABCD；由AB⊥平面PAD，知平面PAB⊥平面PAD；由BC⊥平面PAB，知平面PBC⊥平面PAB；由DC⊥平面PAD，知平面PDC⊥平面PAD.所以题图中相互垂直的平面共有5对．答案：5三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.证明：由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，又BM平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM.又CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1.在Rt△B1C1M中，B1M＝eq\r(B1C\o\al(2,1)＋MC\o\al(2,1))＝eq\r(2)，同理BM＝eq\r(BC2＋CM2)＝eq\r(2)，又B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M.又A1B1∩B1M＝B1，所以BM⊥平面A1B1M，因为BM平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.8．如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，且SA＝AB，点E为AB的中点，点F为SC的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)求证：平面SCD⊥平面SCE.证明：(1)连接AC，AF，BF.∵SA⊥平面ABCD，∴AF为Rt△SAC斜边SC上的中线，∴AF＝eq\f(1,2)SC.又∵四边形ABCD是正方形，∴CB⊥AB.而由SA⊥平面ABCD，得CB⊥SA，∴CB⊥平面SAB，∴CB⊥SB，∴BF为Rt△SBC斜边SC上的中线，∴BF＝eq\f(1,2)SC，∴AF＝BF，∴△AFB为等腰三角形．∵E为AB的中点，∴EF⊥AB.又CD∥AB，∴EF⊥CD.(2)由已知易得Rt△SAE≌Rt△CBE，∴SE＝EC，即△SEC是等腰三角形，∴EF⊥SC.又∵SC∩CD＝C，EF⊥CD，∴EF⊥平面SCD.又EF平面SCE，∴平面SCD⊥平面SCE.eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．(10分)如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C－PB－A的余弦值．解析：(1)证明：由AB是圆的直径，得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.(2)如图，过C作CM⊥AB于M，因为PA⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以PA⊥CM.又因为PA∩AB＝A，且PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以CM⊥平面PAB.过M作MN⊥PB于N，连接NC，易证CN⊥PB，所以∠CNM为二面角C－PB－A的平面角．在Rt△ABC中，由AB＝2，AC＝1，得BC＝eq\r(3)，CM＝eq\f(\r(3),2)，BM＝eq\f(3,2).在Rt△PAB中，由AB＝2，PA＝1，得PB＝eq\r(5).因为Rt△BNM∽Rt△BAP，所以eq\f(MN,1)＝eq\