高中数学苏教版1第2章圆锥曲线与方程 第2章单元检测（a卷）

第2章单元检测(A卷)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知椭圆的离心率为eq\f(1,2)，焦点是(－3,0)，(3,0)，则椭圆方程为______________．2．当a为任意实数时，直线(2a＋3)x＋y－4a＋2＝0恒过定点P，则过点P的抛物线的标准方程是3．设F1、F2分别为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足PF2＝F1F2，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为____________．4．短半轴长为2，离心率e＝3的双曲线两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线左支于A、B两点，且AB＝8，则△ABF2的周长为________．5．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是________．6．若直线mx－ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的交点个数是________．7.如图所示，若等腰直角三角形ABO内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则直角三角形ABO的面积是________．8．已知抛物线y2＝2px(p>0)与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F，点A是两曲线在x轴上方的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为________．9．椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是____________．10．设椭圆eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为eq\f(1,2)，则此椭圆的方程为________________．11．过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<a)中心的直线与椭圆交于A、B两点，右焦点为F2(c,0)，则△ABF2的最大面积是______．12．抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是__________．13．点P(8,1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是______________．14．设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，线段F1F2被点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)，0))分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知点M在椭圆eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1上，MP′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P′，并且M为线段PP′的中点，求P点的轨迹方程．16．(14分)双曲线C与椭圆eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1有相同的焦点，直线y＝eq\r(3)x为C的一条渐近线，求双曲线C的方程．17.(14分)直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若线段AB中点的横坐标等于2，求弦AB的长．18．(16分)已知点P(3,4)是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的一点，F1、F2为椭圆的两焦点，若PF1⊥PF2，试求：(1)椭圆的方程；(2)△PF1F2的面积19.(16分)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且AB＝eq\f(5,2)p，求AB所在的直线方程．20．(16分)在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－eq\r(3))、(0，eq\r(3))的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与C交于A、B两点．(1)写出C的方程；(2)若eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，求k的值．第2章圆锥曲线与方程(A)\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1解析已知椭圆的离心率为eq\f(1,2)，焦点是(－3,0)，(3,0)，则c＝3，a＝6，b2＝36－9＝27，因此椭圆的方程为eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1.2．y2＝32x或x2＝－eq\f(1,2)y解析将直线方程化为(2x－4)a＋3x＋y＋2＝0，可得定点P(2，－8)，再设抛物线方程即可．3．4x±3y＝0解析利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系．4．16＋2eq\r(2)解析由于b＝2，e＝eq\f(c,a)＝3，∴c＝3a，∴9a2＝a2＋4，∴a＝eq\f(\r(2),2)，由双曲线的定义知：AF2－AF1＝eq\r(2)，BF2－BF1＝eq\r(2)，∴AF2＋BF2－AB＝2eq\r(2)，∴AF2＋BF2＝8＋2eq\r(2)，则△ABF2的周长为16＋2eq\r(2).\f(\r(3),3)解析由题意知AF1＝eq\f(\r(3),3)F1F2，∴eq\f(b2,a)＝eq\f(\r(3),3)·2c，即a2－c2＝eq\f(2\r(3),3)ac，∴c2＋eq\f(2\r(3),3)ac－a2＝0，∴e2＋eq\f(2\r(3),3)e－1＝0，解之得e＝eq\f(\r(3),3)(负值舍去)．6．2解析由题意eq\f(4,\r(m2＋n2))>2，即m2＋n2<4，点(m，n)在以原点为圆心，2为半径的圆内，过点P的直线与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的交点个数为2.7．4p2解析由题意得∠xOA＝∠xOB＝45°，则可设点A(a，a)，代入抛物线的方程得a＝2p，∴S△ABO＝eq\f(1,2)×2a×a＝a2＝4p2.\r(2)＋1解析∵Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p)).又∵c＝eq\f(p,2)，即p＝2c，∴A(c,2c)．代入双曲线方程，化简，得e4－6e2＋1＝0.∵e>1，∴e＝eq\r(2)＋1.\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))解析设P(x0，y0)，则PF＝eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)－x0))＝a－ex0.又点F在AP的垂直平分线上，∴a－ex0＝eq\f(a2,c)－c，因此x0＝eq\f(aac－a2＋c2,c2).又－a≤x0＜a，∴－a≤eq\f(aac－a2＋c2,c2)＜a.∴－1≤eq\f(e2＋e－1,e2)＜1.又0＜e＜1，∴eq\f(1,2)≤e＜1.\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1解析∵y2＝8x的焦点为(2,0)，∴eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1的右焦点为(2,0)，∴m>n且c＝2.又e＝eq\f(1,2)＝eq\f(2,m)，∴m＝4.∵c2＝m2－n2＝4，∴n2＝12.∴椭圆方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.11．bc解析S△ABF2＝S△OAF2＋S△OBF2＝eq\f(1,2)c·|y1|＋eq\f(1,2)c·|y2|(y1、y2分别为A、B两点的纵坐标)，∴S△ABF2＝eq\f(1,2)c|y1－y2|≤eq\f(1,2)c·2b＝bc.12．2解析抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，准线x＝－1.∴焦点到准线的距离为2.13．2x－y－15＝0解析设弦的两个端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则xeq\o\al(2,1)－4yeq\o\al(2,1)＝4，xeq\o\al(2,2)－4yeq\o\al(2,2)＝4，两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.因为线段AB的中点为P(8,1)，所以x1＋x2＝16，y1＋y2＝2.所以eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(x1＋x2,4y1＋y2)＝2.所以直线AB的方程为y－1＝2(x－8)，代入x2－4y2＝4满足Δ>0.即2x－y－15＝0.\f(\r(2),2)解析由题意，得eq\f(\f(b,2)＋c,c－\f(b,2))＝3⇒eq\f(b,2)＋c＝3c－eq\f(3,2)b⇒b＝c，因此e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(\f(c2,b2＋c2))＝eq\r(\f(1,2))＝eq\f(\r(2),2).15．解设P点的坐标为(x，y)，M点的坐标为(x0，y0)．∵点M在椭圆eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1上，∴eq\f(x\o\al(2,0),36)＋eq\f(y\o\al(2,0),9)＝1.∵M是线段PP′的中点，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝x，,y0＝\f(y,2)，))把eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝x,y0＝\f(y,2)))，代入eq\f(x\o\al(2,0),36)＋eq\f(y\o\al(2,0),9)＝1，得eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,36)＝1，即x2＋y2＝36.∴P点的轨迹方程为x2＋y2＝36.16．解设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1.由椭圆eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1，求得两焦点为(－2,0)，(2,0)，∴对于双曲线C：c＝2.又y＝eq\r(3)x为双曲线C的一条渐近线，∴eq\f(b,a)＝eq\r(3)，解得a2＝1，b2＝3，∴双曲线C的方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.17．解将y＝kx－2代入y2＝8x中变形整理得：k2x2－(4k＋8)x＋4＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≠0,4k＋82－16k2>0))，得k>－1且k≠0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得：x1＋x2＝eq\f(4k＋8,k2)＝4⇒k2＝k＋2⇒k2－k－2＝0.解得：k＝2或k＝－1(舍去)．由弦长公式得：AB＝eq\r(1＋k2)·eq\f(\r(64k＋64),k2)＝eq\r(5)×eq\f(\r(192),4)＝2eq\r(15).18．解(1)令F1(－c,0)，F2(c,0)，则b2＝a2－c2.因为PF1⊥PF2，所以kPF1·kPF2＝－1，即eq\f(4,3＋c)·eq\f(4,3－c)＝－1，解得c＝5，所以设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a2－25)＝1.因为点P(3,4)在椭圆上，所以eq\f(9,a2)＋eq\f(16,a2－25)＝1.解得a2＝45或a2＝5.又因为a>c，所以a2＝5舍去．故所求椭圆方程为eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,20)＝1.(2)由椭圆定义知PF1＋PF2＝6eq\r(5)，①又PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝F1Feq\o\al(2,2)＝100，②①2－②得2PF1·PF2＝80，所以S△PF1F2＝eq\f(1,2)PF1·PF2＝20.19．解焦点F(eq\f(p,2)，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB⊥Ox，则AB＝2p<eq\f(5,2)p，不合题意．所以直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y＝k(x－eq\f(p,2))，k≠0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－\f(p,2)，,y2＝2px，))消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.由韦达定理得，y1＋y2＝eq\f(2p,k)，y1y2＝－p2.∴AB＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋\f(1,k2)·y1－y22)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝2p(1＋eq\f(1,k2))＝eq\f(5,2)p.解得k＝±2.∴AB所在的直线方程为y＝2(x－eq\f(p,2))或y＝－2(x－eq\f(p,2))．20．解(1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－eq\r(3))，(0，eq\r(3))为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴b＝eq\r(22－\r(3)2)＝1，故曲线C的方程为x2＋eq\f(y2,4)＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4