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第二章习题课求通项公式一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=an-2(a为常数,且a≠0,a≠1),则数列{an}()A.是等比数列 B.从第二项起的等比数列C.是等差数列 D.从第二项起的等差数列解析:当n≥2时,an+1=Sn+1-Sn=an+1-an∴an=Sn-Sn-1=an-an-1,则eq\f(an+1,an)=a.又∵a2=S2-S1=a2-2-(a-2)=a2-a=a(a-1)a1=S1=a-2.当a=2时,a1=0,当a≠2时,eq\f(a2,a1)=eq\f(aa-1,a-2)≠a.答案:B2.如果数列{an}满足a1,eq\f(a2,a1),eq\f(a3,a2),…,eq\f(an,an-1),…是首项为1,公比为2的等比数列,则a6=()A.21008 B.29968C.25050 D.32768解析:a6=a1×eq\f(a2,a1)×eq\f(a3,a2)×…×eq\f(a6,a5)=1×2×22×…×25=215=32768.答案:D3.若数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=n2(n∈N*),则aA.eq\f(9,5) B.eq\f(11,6)C.eq\f(13,7) D.2解析:a1+2a2+3a3+…+6a6a1+2a2+3a3+…+5a5①-②得6a6=11,所以a6=eq\f(11,6).答案:B4.在数列{an}中,已知an+1=an+eq\f(n,2),且a1=2,则a99的值是()A.2477 B.2427C.2 D.2解析:∵an+1-an=eq\f(n,2),∴an-a1=(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=eq\f(1,2)[1+2+…+(n-1)]=eq\f(1,4)(n-1)n,∴a99=2+eq\f(1,4)×98×99=2.答案:C二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知数列{an}中,a1=2,且eq\f(an,an-1)=eq\f(n-1,n+1)(n≥2),则an=______.解析:an=a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an-1)=2×eq\f(1,3)×eq\f(2,4)×eq\f(3,5)×…×eq\f(n-1,n+1)=eq\f(4,nn+1).答案:eq\f(4,nn+1)6.数列{an}中,a1=1,an+1=3an+2,则an=________.解析:an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1).又a1+1=2.∴数列{an+1}是首项为2,公比为3的等比数列.∴an+1=2×3n-1.∴an=2×3n-1-1.答案:2×3n-1-1三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知数列{an}中,a1=1,前n项和Sn=eq\f(n+2,3)an.(1)求a2,a3;(2)求{an}的通项公式.解析:(1)由S2=eq\f(4,3)a2得3(a1+a2)=4a2,解得a2=3a1由S3=eq\f(5,3)a3得3(a1+a2+a3)=5a3,解得a3=eq\f(3,2)(a1+a2)=6.(2)由题设知a1=1.当n>1时,有an=Sn-Sn-1=eq\f(n+2,3)an-eq\f(n+1,3)an-1,整理得an=eq\f(n+1,n-1)an-1.于是a2=eq\f(3,1)a1,a3=eq\f(4,2)a2,…,an-1=eq\f(n,n-2)an-2,an=eq\f(n+1,n-1)an-1.将以上n-1个等式中等号两端分别相乘,整理得an=eq\f(nn+1,2).综上可知,{an}的通项公式an=eq\f(nn+1,2).8.设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=eq\f(n,3)(n∈N*).求数列{an}的通项公式.解析:∵a1+3a2+32a3+…+3n-1an=eq\f(n,3), ①∴当n≥2时,a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=eq\f(n-1,3). ②①-②,得3n-1an=eq\f(1,3),∴an=eq\f(1,3n).在①中,令n=1,得a1=eq\f(1,3).∴an=eq\f(1,3n)(n∈N*).eq\x(尖子生题库) ☆☆☆9.(10分)设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N*.(1)求a1的值;(2)求数列{an}的通项公式.解析:(1)当n=1时,T1=2S1-12.因为T1=S1=a1,所以a1=2a1-1,解得a1(2)当n≥2时,Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-[2Sn-1-(n-1)2]=2Sn-2Sn-1-2n+1,所以Sn=2Sn-1+2n-1, ①所以Sn+1=2Sn+2n+1, ②②-①得an+1=2an+2.所以an+1+2=2(an+2),即eq\f(an+1+2,an+2)
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