统计学ch3-统计指标(学生修改后)

第3章统计指标§3.1总量指标和相对指标§3.2平均指标—统计数据集中趋势的描述§3.3变异指标－统计数据离中趋势的描述2011-091统计学-suyl2011-09tjx-su2§3.1总量指标和相对指标

§3.1.1

总量指标总量指标是反映社会经济现象总规模、总水平的指标。绝对数的形式表示是统计资料汇总的直接结果作用是认识社会经济现象的起点；是进行管理的重要依据；是计算相对指标、平均指标的基础。2011-09tjx-su3总量指标的计量单位按计量单位不同分为：实物（量）指标计量单位为实物单位——指以事物的自然属性和特点进行计量的单位，包括：自然单位：如人、只、台、件…，是长期习惯使用形成，用于离散型数据。

度量衡单位：

kg、cm、…，用于连续型数据。标准实物单位：按某一标准（含量、规格等）折算后的实物单位，用于将用途相同、但规格或含量不同的物品数量汇总。如粮食、能源（标准吨）等；复合单位：吨公里、人公里、人次数、工日…

特点——使用价值明确；综合性能差，不同使用价值的实物量不能直接汇总。用途——反映主要物资的生产和消耗、主要产品的供需平衡、特别是无法估价的土地面积和自然资源数量等。2011-09tjx-su4总量指标的分类（续）价值量指标

是用货币单位（如人民币元，对外贸易中使用英镑、美元、欧元等）计量。特点：具有较强的综合性和概括能力，内容抽象，而且要受价格波动的影响。用途：表明经济活动的总成果、总规模，广泛用于经济效益的考核和评价等。

劳动量指标是用劳动时间单位来计量的，如工时、工日、人年等。劳动量指标可作为确定劳动定额、评价劳动时间利用程度、计算劳动生产率的依据。但一般限于同一企业内部使用。2011-09tjx-su51、按反映总体的特征（内容）分为：总体总量即总体单位总数表示总体本身的规模大小

标志总量即总体各单位某一数量标志值总和。表示所研究现象的总水平。总体单位总量与标志总量的区分，不是固定不变的，而是随着研究目的和研究对象的不同而变化的。如：某地区工业企业职工总数是：总体总量——以该地区每个工业企业职工为总体单位时标志总量——以该地区每个工业企业为总体单位时总量指标的分类2011-09tjx-su62、按反映的时间状况分时期指标——也称为流量反映总体在一段时期内活动过程的总量，指标数值可以累计相加，数值大小和时间的长短有直接关系；时点指标——也称为存量是反映总体在某一时刻（瞬间）状况的总量数值不能累计相加，数值的大小和时间间隔的长短没有直接关系。试判断下列指标中哪些是时期指标？在校学生人数、招生人数、毕业生人数、出生人数、死亡人数、迁移人数、从业人数、失业人数总量指标的分类（续）2011-09tjx-su7

§3.1.2相对指标

（一）相对指标的意义两个有联系的指标对比的比率其指标数值的表现形式为相对数有两种表现形式无名数——百分比、千分比、倍数、系数、成数等名数——分子与分母的计量单位构成的复名数2011-09tjx-su8意义：揭示了现象之间的数量联系和对比关系，使一些不能直接对比的现象找到共同的比较基础。例如：有两个企业的利润总额为：甲：50万元乙：5000万元与资金投入对比——资金利润率与上期数对比——发展速度与计划数对比——计划完成程度2011-09tjx-su9（二）相对指标的种类对比标准不同，相对指标所说明问题也就不同。

1.结构相对数（又称比重）反映社会经济现象的内部结构以及分布状况如：恩格尔系数绝对贫困勉强度日小康富裕最富裕

59%

50%

40%

30%城市化程度=城市人口数/总人口数货币化程度=用货币支付的商品和劳务总量/全部商品和劳务总量2011-09tjx-su10

国内生产总值构成与从业人员构成年份国内生产总值构成从业人员构成第一产业第二产业第三产业第一产业第二产业第三产业199027.141.631.360.121.418.5199520.548.830.752.223.024.8200016.450.233.450.022.527.5200115.850.134.150.022.327.7200215.350.434.350.021.428.6200314.452.233.449.121.629.3200415.252.931.946.922.530.62011-09tjx-su112.比例相对数——比例（结构性的比例）反映总体内部的比例关系，揭示总体不同部分之间的发展变化的协调平衡状况。如：我国第五次人口普查结果总人口129533万人，其中男性65355万人，女性61228万人，男、女性别比例为106.74∶100，

某地区农轻重比例：20%：50%：30%

消费与积累的比例两种商品价格之比——比价分子分母可互换2011-09tjx-su123、比较相对数相同时间不同空间同类现象数值的对比，说明不同空间的经济势力强弱和工作优劣等。2004年农村居民家庭平均每人纯收入四川省是2518.93元，陕西省是1866.52元，四川省农村居民家庭平均每人纯收入是陕西省的1.35倍，或者说陕西省农村居民家庭平均每人纯收入是四川省的74.1％。分子分母可互换2010-03tjx-su134、动态相对数反映现象发展变化的相对程度（即发展速度）。年份国内生产总值人均国内生产总值第一产业第二产业第三产业1995110.5105.0113.9108.4109.31996109.6105.1112.1107.9108.41997108.8103.5110.5109.1107.71998107.8103.5108.9108.3106.81999107.1102.8108.1107.7106.22000108.0102.4109.4108.1107.12001107.3102.8108.7107.4106.7………………………………2009108.7104.2109.5112.4112.675国内生产总值指数（上年＝100）2011-09tjx-su14

5、强度相对数反映现象的强度，如：人均GDP、人均粮食产量…反映现象的密度和普遍程度。如：人口密度、每万人拥有医院病床数(医生数）、人均绿地面积等反映经济效益，如资金利润率。其它如：外贸依存度=对外贸易总额/GDP

保险密度=保费/人口数金融相关度（率）=金融资产总量/GNP2011-09tjx-su15强度相对数的特点强度相对数是惟一有单位（且为复名数）的相对数（有的也用无名数形式）；分子分母一般可以互换，故有正指标与逆指标之分。强度相对数常带有“平均”字样，但不是平均数（含义不同）。2011-09tjx-su16

6、计划完成相对数（计划完成百分比）反映计划任务的完成程度。2011-09tjx-su17

例1、

某地上年国内生产总值为500亿元，计划为550亿元，实际为560亿元。该地计划完成程度如何？

101.8%的经济意义，超额完成计划1.8%计划完成百分比=560/550*100%=101.8%

2011-09tjx-su18

例2、某地今年计划国内生产总值比上年增长10%，实际增长12%。注意：百分比与百分点的区别。这里的超额完成1.8%，也可以说超额完成2个百分点。计划完成百分比＝

同理，若表示为：计划当年比上年增加50亿元，实际增加了60亿元。

计划完成%=（500+60）/（500+50）*100%=101.8%2011-09tjx-su19

例３、某企业计划把单位成本降低3%，实际降低2%。该企业是否完成了单位成本降低计划？

计划完成百分比2011-09tjx-su20

超额完成计划百分比？在分析计划完成情况时，要注意计划任务数的性质差异。若计划数是以下限规定的（越大越好的指标——正指标），其计划完成相对数大于100%为超额完成计划，如产值、利润等；若计划数是以上限规定的（越小越好的指标——逆指标），其计划完成相对数小于100%为超额完成计划，如产品成本、原材料消耗量等。

2011-09tjx-su21计算和应用相对指标应注意的问题

1.正确选择基础

2.确保可比性

3.相对数与绝对数结合运用,多种相对数综合运用4.多种相对指标结合应用

2011-09tjx-su22§3.2统计数据集中趋势的描述-平均指标

统计数据的集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向。集中趋势的描述归纳起来有两大类：一类是数值平均数，它是根据全部数值计算得到的代表值；另一类是位置平均数，是根据数据所处位置直接观察或根据与所处位置有关的部分数据计算确定的代表值。2011-09tjx-su23一、数值平均数1.算术平均数基本公式

例：平均工资=工资总额/职工人数平均成本=总成本/产量2011-09tjx-su24（1）简单算术平均数——未分组时

5名学生的考试成绩分别为（分）：

70、80、80、85、85，他们的平均成绩是多少？（70+80+80+85+85）/5=80（分）2011-09tjx-su25（2）加权算术平均数——当数据已分组，形成了变量数列：成绩

x人数f708085122合计5平均成绩=（70+80+85）/3？平均成绩=所有人的成绩总和/总人数

=（70+80*2+85*2）/5=802011-09tjx-su26

工人日产量（件）工人人数（人）工人人数比重（%）1011121314701503801501008.7512.5047.5018.72512.50合计800100.002011-09tjx-su27不符合基本公式，不是5个工人，而是800个工人；工人人总产量不是60件，而是9710件

所以，应该这样计算：

错误的计算：2011-09tjx-su28加权平均数（件）2011-09tjx-su29

权数（权重）

——权衡轻重（影响）作用的数（变量）。权数的两种形式——绝对数（次数）f；

——相对数（比重）2011-09tjx-su30比重权数更能够直接体现权数的实质：权数的确定方法——主观赋权，客观赋权成绩

x人数f1f2F3708085122102020104050合计5501002011-09tjx-su31按成绩分组（分）学生人数（人）60以下60—7070—8080—9090—10021519153合计542011-09tjx-su32根据组距数列计算总平均数的方法

——加权算术平均（分）X——各组的组中值（代表组平均水平）假定条件：组内均匀分布或对称分布一般地，计算结果是近似值。2011-09tjx-su33月工资组中值职工人数

500以下45020893600500-600550314172700600-700650382248300700-800750456342000800-900850305259250900-10009502372251501000-1100105078819001100以上11502023000合计------20001445900某企业职工按月工资分组

元2011-09tjx-su34调和平均数（倒数平均数）计算算术平均数，有时只掌握了各组变量值和各组变量值之和的资料，为了符合基本公式，应该首先经过除法运算求得分母数据，再计算平均数。这样计算平均数的方法称为“调和平均法”，得到的平均数称为“调和平均数”。

当缺乏分子数据时，采用算术平均数；

当缺乏分母数据时，采用调和平均数。2011-09tjx-su35工人日产量（件）x工人日总产量（件）xf10111213147001100456019501400合计97102011-09tjx-su36（件）2011-09tjx-su37

某供销社分三批收购某种农副产品，其收购单价及各批收购额如下批次单价（元）收购额12.40600022.251200032.152150合计——201502011-09tjx-su382011-09tjx-su39切尾均值由于算术平均数易受极端变量值的影响，所以实际工作中也常常计算切尾平均数。切尾平均数是去掉数据大小两端的若干数值后计算中间数据的平均数。它在电视大奖赛、体育比赛等竞赛项目的评分中已得到广泛应用。切尾均值是结合了算术平均数利用数据信息充分和中位数不受极值影响的两个优点而形成的新型统计量。对于存在极值的现象计算均值有重要意义。2011-09tjx-su40(3)算术平均数的特点和数学性质特点：算术平均数受变量值和变量值出现次数的共同影响；算术平均数靠近出现次数最多的变量值；算术平均数受极端变量值的影响；2011-09tjx-su41

数学性质：

变量值与算术平均数的离差和为零。

2011-09tjx-su42变量值与算术平均数的离差平方和最小证明：设2011-09tjx-su43某公司下属18个企业，计划完成相对数如下产值计划完成程度（%）组中值（%）x企业数（个）计划产值

(万元）f实际产值（万元）xf80—9085280068090—10095325002375100—110105101720018060110—120115344005060合计——1824900261752011-09tjx-su442011-09tjx-su45

某公司下属18个企业，计划完成相对数如下：产值计划完成程度（%）组中值（%）企业数（个）实际产值计划产值80-9085268080090-10095323752500100-110105101806017200110-120115350604400合计——1826175249002011-09tjx-su462、几何平均数

例某企业生产某种产品要经过三道工序，各工序的合格品率分别为95%、96%和98%。该产品三道工序的平均合格品率为多少？三道工序的平均合格品率为96.32%.思考：三道工序的平均废品率为多少？平均废品率=1-平均合格率2011-09tjx-su47几何平均数通常用在总量等于各分量乘积的情形。比如，求某些平均比率，平均发展速度等。2011-09tjx-su48

某金融机够以复利方式计息。近12年来的年利率有4年为3%、2年为5%、2年为8%、3年为10%、1年为15%。则12年的平均年利率？

平均年利率=106.82%-100%=6.82%2011-09tjx-su49平均发展速度的计算方法ｎ＝环比发展速度的个数＝数列发展水平项数－１2011-09tjx-su50二、位置平均数位置平均数是根据变量值在分布数列中所处的位置来确定的平均数。1、众数（Mode)

众数是指总体中出现次数最多或频率最大的变量值（数据），用Mo表示。众数也是一种位置平均数，且不受极端值的影响。2011-09tjx-su51众数(众数的不唯一性)无众数

原始数据:10591268一个众数

原始数据:65

9855多于一个众数

原始数据:252828

364242条件——总体单位多；分布有明显的集中趋势2011-09tjx-su52品质数列(定类数据)的众数

某城市居民关注广告类型的频数分布

广告类型人数(人)比例频率(%)

商品广告服务广告金融广告房地产广告招生招聘广告其他广告112519161020.5600.2550.0450.0800.0500.01056.025.54.58.05.01.0合计2001100

这里的变量为“广告类型”，这是个定类变量，不同类型的广告就是变量值。我们看到，在所调查的200人当中，关注商品广告的人数最多，为112人，占总被调查人数的56%，因此众数为“商品广告”这一类别，即

Mo＝商品广告2011-09tjx-su53品质数列(定序数据)的众数

解：这里的数据为定序数据。变量为“回答类别”。甲城市中对住房表示不满意的户数最多，为108户，因此众数为“不满意”这一类别，即

Mo＝不满意

甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数(户)百分比(%)

非常不满意不满意一般满意非常满意24108934530836311510合计300100.02010-03tjx-su54

——众数的值与相邻两组频数的分布有关

该公式假定众数组的频数在众数组内均匀分布Mo相邻两组的频数相等时，众数组的组中值即为众数相邻两组的频数不相等时，众数采用下列近似公式计算：MoMo等距数列近似计算众数——先确定众数所在组2011-09tjx-su55

是众数所在组的下限；是众数所在组前一组的次数；是众数所在组后一组的次数；是众数所在组的次数；

是众数组的组距。2010-03tjx-su56按成绩分组（分）学生人数（人）60以下60—7070—8080—9090—10021519153合计54

（分）2010-03tjx-su57

公司职工按月工资分组月工资(元）职工人数人）500以下208500-600314600-700382700-800456800-900305900-10002371000-1100781100以上20合计2000

众数最不受极端变量值的影响。（元）2010-03tjx-su582、中位数（Median)

中位数是根据变量值的位置来确定的平均数。将变量值按大小顺序排序，处于中间位置的变量值（或数据）即中位数,用表示。由于中位数是位置代表值，所以不会受极端值的影响，具有较高的稳健性。

Me50%50%2010-03tjx-su59中位数位置的确定未分组数据：组距数列数据：中位数位置N2中位数位置=2010-03tjx-su60未分组数据的中位数2010-03tjx-su61原始数据:

2422212620排序: 2021222426位置: 123 45位置n+125+123中位数222010-03tjx-su62原始数据:

105 91268排序: 56891012位置: 123

4

56位置n+126+123.5中位数8+928.52010-03tjx-su63品质数列（定序数据）的中位数中位数的位置为：

(300+1)/2＝150.5从累计频数看，中位数的在“一般”这一组别中。因此

Me＝一般某城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数(户)累计频数

非常不满意

不满意

一般满意非常满意2410893453024132225270300合计300—2010-03tjx-su64对于单项式数列，可以用Σf/2代替(n+1)/2，确定Σf/2所在的组，然后根据下列公式计算；Me为中位数；L为中位数组的下限值；Sm-1为向上累计至中位数所在组以前的次数；

fm为中位数所在组的次数；i为中位数所在组的组距。2010-03tjx-su65成绩(分)组中值x学生人数f向上累计人数60以下552260-7065151770-8075193680-9085155190-10095455合计—55—2010-03tjx-su66（3）中位数、众数和算术平均数的关系:

中位数、众数和平均数之间的数量关系决定于总体内次数分配的状况。对称钟形分布情形下：非对称左偏分布情形下：非对称右偏分布情形下：2010-03tjx-su67众数、中位数和均值的关系对称种型分布

均值=中位数=

众数左偏分布均值

中位数

众数右偏分布众数

中位数

均值2010-03tjx-su68

在偏斜适度（微偏）的情况下，不论左偏还是右偏，则有如下的经验公式：3（平均数-中位数）=（平均数-众数）2010-03tjx-su693.分位数四分位数是通过3个点将全部数据等分为4部分，其中每部分包括25%的数据。很显然，第二个四分位数就是中位数，因此通常所说的四分位数是指处在25%位置上的数值（下四分位数QL）和处在75%位置上的数值（上四分位数QU）。与中位数的计算方法类似，根据未分组数据计算四分位数时，首先对数据进行排序，然后确定四分位数所在的位置。与中位数类似的还有四分位数、十分位数和百分位数与中位数类似的还有四分位数、十分位数和百分位数等。等。分位数Qp可以由下式确定：P是想要得到的那个分位数，n是数据的项数，Ｍ是多少分位数。2010-03tjx-su709名学生的英语考试成绩分别为：65、72、73、75、78、80、84、88、90，试计算成绩的四分位数所在的位置和四分位数。QL和QU之间包括了50%的数据，因此，我们可以说有一半的学生英语成绩在72.5分至86分之间。2010-03tjx-su71三、计算和应用平均指标应注意的问题

同质性与分组结合与变异指标结合2010-03tjx-su72一、变异指标某车间有两个生产小组，某周5天的产量如下：甲：171，172，172，172，173（件）乙：220，190，170，150，130（件）两组的平均日产量均为172件。平均日产量172件的代表性甲组比乙组好。§3.3统计数据的离中趋势2010-03tjx-su73

变异指标反映总体单位变量值的离中趋势（或差异程度，均衡性、稳定性）衡量平均数的代表性。

变异指标越大，平均数代表性越小；变异指标越小，平均数代表性越大。2010-03tjx-su74二、极差与四分位差1.极差(全距Range)：

R=最大值—最小值

2.四分位差上四分位数与下四分位数之差，称为四分位差，也称为内距或四分间距，四分位差反映了中间50%数据的离散程度，其数值越小，说明中间的数据越集中，数值越大，说明中间的数据越分散。四分位差不受极值的影响。此外，由于中位数处于数据的中间位置，因此四分位差的大小在一定程度上也说明了

2010-03tjx-su75

三、平均差（AverageDeviation)变量值与平均数的离差绝对值的平均数2010-03tjx-su76四、方差Variance和标准差S.D

测度标志变异最重要，最常用的指标。标准差＝方差的平方根。方差——变量值与平均数的离差平方的平均数。2010-03tjx-su77成绩分）学生人数552-20.37829.87386515-10.371613.05357519-0.372.601185159.631391.053585319.631156.0107合计54——4992.5926（分）（分）2010-03tjx-su78方差和标准差具有以下数学性质

（1）若每一个变量值加上一个常数，方差和标准差不变。设a为任意常数，

则有：

，

（2）若每一个变量值均扩大一个常数倍，方差是常数项的平方倍,标准差同比例变化。设a为任意常数，

2010-03tjx-su79

（3）分组条件下，总方差可以分解成组内方差的平均数和组间方差两部分，即：

其中2010-03tjx-su80例:一家公司在招收职员时，首先要通过两项能力测试。在A项测试中，其平均分数是100分，标准差是15分；在B项测试中，其平均分数是400分，标准差是50分。一位应试者在A项测试中得了115分，在B项测试中得了425分。与平均分数相比，该位应试者哪一项测试更为理想？2010-03tjx-su81标准化值在对多个具有不同量纲的指标进行处理时，常常需要对各指标数值进行标准化处理。标准化值也给出了一组数据中各数值的相对位置。如某一数据的标准化值为-1.5，则表明该值低于均值1.5倍的标准差。对于一组数据，大约有68％的数据在1个标准差内，有95％的数据在两个标准差内，有99％的数据在3个标准差内。上例：ZA=1,ZB=0.5，A项测试标准化值高于B项，故A项测试比较理想2010-03tjx-su82五、离散系数（变异系数）与异众比率

一群牛的平均体重是180公斤，标准差是18公斤；一群羊的平均体重是15公斤，标准差是3公斤，能不能说羊的平均体重的代表性高些？为什么？2010-03tjx-su83有两组学生成绩为：

6065707580X=706668707274X=70

二组学生的平均成绩的代表性是否一致？2010-03tjx-su84

全距、平均差、方差和标准差有计量单位，是标志变异的绝对指标。而且指标的大小不仅取决于变量值的差异程度，还取决于变量值水平的高低。因而，对于具有不同水平的数列，或不同量纲的数列，都不能直接用全距、平均差、方差和标准差来比较平均数代表性的大小。只能用相对形式——变异系数——进行比较。2010-03tjx-su85

平均差系数变异系数包括：2010-03tjx-su86变异系数适合于：比较不同标志的变异程度当同一个标志在多个总体具有不同的平均水平时，要评价和比较哪个总体的平均水平具有较好的代表性时。2010-03tjx-su87异众比率1. 离散程度的测度值之一非众数组的频数占总频数的比重计算公式为：

4.用于衡量众数的代表程度2010-03tjx-su88某城市居民关注广告类型的频数分布广告类型人数(人)频率(%)

商品广告服务广告金融广告房地产广告招生招聘广告其他广告1125191610256.025.54.58.05.01.0合计200100

这说明在所调查的200人当中，关注非商品广告的人数占44%，异众比率还是比较大。因此，用“商品广告”来反映城市居民对广告关注的一般趋势，其代表性还不是很好

Vr=200-112200

=1-112200

=0.44=44%2010-03tjx-su89不同计量层次数据的适合测度值定类数据定序数据定量数据集中趋势众数众数中位数四分位数众数中位数四分位数算术平均数几何平均数离中趋势异众比率异众比率四分位差四分位差异众比率极差平均差标准差和方差2010-03tjx-su90§3.4数据分布形态的测定

偏态和峰态是数据分布的重要特征。偏态也称为偏度，指变量围绕其均值的非对称方向和程度。峰态也称为峰度，指数据分布曲线的凸起或平坦程度。偏度和峰度主要用于判断总体的分布是否接近于正态分布。测量偏度和峰度最常用的方法是计算偏度系数和峰度系数，而这两个系数的计算需要理解“矩”概念。2010-03tjx-su91§3.4.1k阶矩

矩又叫做动差，是物理学上用以表示力与力臂对重心关系的术语。统计学上常常用矩来测度数据分布的形态。若以a值为变量x的中点，所有变量值与a之离差的k次方的平均数为变量关于a的k阶矩：对分组资料，各阶矩公式为2010-03tjx-su92当a=0时，即变量以原点为中心，称上式为k阶原点矩。不难看出，一阶原点矩为算术平均数，二阶原点矩为平方平均数。当a=时，即变量以均值为中心，称上式为k阶中心矩，用mk表示。根据算术平均数的性质和方差的定义可知，一阶中心矩为0，二阶中心矩为方差，即：2010-03tjx-su93§3.4.2偏态的测定

测定偏态的方法很多，主要有以下三种：1.由中心矩测定偏态奇数阶中心矩才能用于分布的形态的测度，显然，三阶中心矩最为简单，故常用三阶中心矩来测度偏态。由于中心矩是有计量单位的数，所以利用m3测定偏态的方法，是将三阶中心矩除以标准差的三次方σ3，所得的系数通常称为偏度或偏度系数，用Skew表示，其计算公式为：2010-03tjx-su94当分布对称时，SKew=0；当SKew为正值时，表示正离差值较大，可以判断为右偏分布或正偏分布；当SKew为负值时，表示负离差数值较大，可以判断为左偏分布或负偏分布。SKew的绝对值越大，表示偏斜的程度越大。2010-03tjx-su952.由均值与众数（中位数）之间的关系来测定当分布是对称的，均值、中位数、众数是相等的，如果是偏态分布，三者分离。分布越偏，三个数值差距就越大。显然，比较三个集中趋势代表值就成为一种最简单的偏态测度方法。均值与众数或中位数之差是测度偏态的绝对数，有计量单位，其数值的大小受该组数据变量值水平高低的影响，一般测度偏态时将其与标准差对比：偏态系数SKew实际上是以标准差为单位来