7.3复数的三角表示教材2021-2021学年高一数学人教A必修第二册同步高效学案

111212121111(2)＝21r111212121111(2)＝21r考点复数的三角形式复数三角形式乘、除运算的三角表示及其几何意义问题导学

7．3*复的三角表示学习目标了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

核心素养数学抽象数学抽象、数学运算预习教材P83－的内容，思考以下问题：1．复数z＝＋bi的角形式是什么？2．复数的辐角、辐角的主值是么？3．复数三角形式的乘、除运算式是什么？4．复数三角形式乘、除运算的何意义是什么？1．复数的三角表示式及复数的角和辐角的主值一般地，任何一个复数z＝＋i都以表示(cos

θisin

θ的式，其中是数z的θ是→→以x轴非负半轴为始边，向OZ所在射线射线OZ为终边的角，叫做复数z＝＋i的辐角，我们规定在0≤π范围内的辐角的为辐角的主值，通常记作z.r(cos

θ＋

θ叫做复数z＝＋的角表示式，简称三角形式＋叫做复数的代数表示式，简称代数形式．■名师点拨(1)2(2)(3)0≤≤z2.(4)2．复数三角形式的乘、除运算若复数＝(cos

θ＋isin1

θ)，＝(cos122

θ＋isin2

θ)，且z≠，则212(1)z＝(cos121

θ＋isin1

θ)·(cos12

θ＋isin2

θ)2＝r[cos(＋＋θ＋θ)]z（θisin）z（θisin）222r＝θ－＋θ－θ)]12122

22ππ22ππ即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减除数的辐角所得的差．判断正的打“√”，错误的打“×)(1)复数的辐角是唯一的．)(2)＝

θ－isin

θ是复数的三角形式．)(3)＝－

θ＋isin

θ是复数的三角形式((4)复数＝π＋isinπ模是1，角的主值是.(

)答案：××

×(4)√复数＝＋三角形式为z＝．解析：＝2cosθ＝

12＝，22又因为＋对的点位于第一象，π所以arg(1＋＝.4ππ所以＋＝2cos＋44

.ππ答案：cos＋isin44

ππ复数cos＋的代数形式为．22ππππ解析：cos＋＝＋6isin＝6i.22答案：ππππ6cos＋×cos＋＝；336ππππ6cos＋÷cos＋＝________．3366ππππ解析：cos＋×cos＋3366＝cos＋＋3

ππ＋36＝ππππ6cos＋÷cos＋33666ππ＝cos－＋isin－43636

3ππ＝cos＋26633＝＋i.44答案：

333＋i4复数的代数形式与三角形式的互化角度一代数形式化为三角形式把下列复数的代数形式化成三角形式：(1)＋；(2)－2i.【解】(1)＝3＝，因为3＋对的在第一象限，所以cos

3πθ＝，θ＝，2ππ所以3＋＝cos＋isin.66(2)＝2＋＝，θ＝

22

，又因为－对的点位于第四象限，7π所以θ＝.477π所以2－＝cos＋isin4

.复数的代数形式化三角形式的步(1)(2)(3)(4)[提醒]角度二三角形式化为代数形式分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．

3333233332(1)4cos

ππ＋；66(2)

32

(cos60°＋°；(3)2cos

ππ－33

.πππ【】(1)复数4cos＋的模4，辐角的主值为＝.6664cos

ππππ＋＝4cos＋66631＝×＋×22＝3＋(2)

33(cos60°＋isin60°的＝，角的主值为θ＝°223313(cos60°＋isin60°＝×＋×i222233＝＋4(3)2cos

ππ－33ππ＝cos2π－＋isin2π33＝

55cosπisinπ5所以复数的模＝，辐角的主值为π35552cosπ＋π＝2cosπ2isinπ3313＝×＋×－i2＝－3i.(cos

isin

“下列复数是不是复数的三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．1ππ(1)cos－；2441ππ(2)－cos＋；23

2.333362.33336363613π3π(3)sin＋；244(4)cos

7π7π＋；551ππ(5)cos＋226

.解：根据复数三角形式的定义可、、(5)不是，是复数的三角形式．1π(1)原式＝cos－＋isin－；2441ππ(2)原式＝cosπ＋＋isinπ＋233144π＝cos＋；23313π3π(3)原式＝cos－＋isin－24241π＝cos－＋isin－；2441ππ(5)原式＝cos＋422

复数三角形式的乘、除运算计算：(1)8

4cosπ＋isinπ×

5cosπ＋isinπ；6(2)3(cos225°isin°2(cos150°＋isin150°；(3)4÷cos

ππ＋44

.【解】(1)8

45cosπ＋isinπ×cosπ＋isinπ＝cos

445π＋π＋π＋π

＝

1313cosπ＋isinπ6ππ＝cos＋isin66＝

31＋i22

＝＋(2)3(cos225°isin°2(cos150°＋isin150°

244ππ244ππ3312222＝

3[cos(225°150)＋°－°26＝(cos75°isin°26－26＋2＝＋i＝

6－＋3＋8＝

3－33＋3＋i.44(3)4÷cos

ππ＋44ππ＝4(cos＋0)÷cos＋isin44＝cos－＋isin－44＝2－2i.(1)(2)(3)n计算：(1)2cos

ππ＋；3311(2)2(cos°＋°×－i22

；(3)

1ππ－＋i÷2cos＋2233

.ππ解：(1)cos＋3322＝2cosπ＋isinπ

213＝－＋i22＝－1＋3i.

(2)－i＝－22

＝

277cosπ＋isinπ，24

22552771224412124124＝cosπ＋isinπ÷2cos＋22552771224412124124＝cosπ＋isinπ÷2cos＋cosπ＋isinπ×cos＋11所以2(cos°＋°×－i＝2

cosπisinπ×cosπ＋π＝2×

275cosπ＋π＋isinπ＋π2＝＝

2626π＋isinπ1212ππ＋6631＝＋21322(3)因为－＋＝π＋isinπ2331ππ所以－＋i÷2cos＋223322ππ3331ππ＝cosπ＋isinπ233

1ππ＝cos＋23

13＝＋i.44复数三角形式乘、除运算的几何意义π在复平面内复数3－应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转求得量对应的3复数．【】因为3－3i＝3

31－i22＝3

1111cosπisinπ66所以2

1111ππ63ππ＝3cosπ＋π636

＝3

1313cosπ＋isinπ66ππ＝3cos＋isin66

23cosπ＋π×cos－＋－12121212212212223cosπ＋π×cos－＋－121212122122122＝cosπ＋isinπ，所1－角的主值为π解析：A.为－＝－i＝＋，1111π6633ππ＝3cosπ＋π636

＝3

33cosπisinπ22＝－23i.ππ故把复数3－对的向量按逆时针旋转得到的复数为3＋3i，按顺时针旋转得到的复数为－3323i.→→→zzzzOO→θOθr→→Oz.333π在复平面内，把与复数＋i对的向量绕原点O按时针方向旋转，后将其443长度伸长为原来的倍求与所向量对应的复数(用代数形式表示333ππ解：＋i＝cos＋，由题意得44663πππcos＋isin×2cos＋isin26633ππ＝×cos＋＋isin＋636ππ＝cos＋22

＝，即与所得向量对应的复数为1．复数1－的角的主值是5A.π35C.π6

2B.π3πD.3352332．复数9(cosπ＋π的是．

4343121243431212答案：3．－．3答案：π24．计算：(1)(cos°＋°°＋isin°；3(2)2(cos°＋isin°2cosπisinπ.解：°＋isin°15＋isin°＝＋15°＋°15°＝°＋90＝3(2)2(cos°＋isin°2cosπisin4

π

＝

553cosπ＋isinπ÷2cosπisinπ334

＝2cos

5353π－π＋π－π1111＝2cosπ＋isinπ1＋3－＝－＋22[A

基础131．复数－i的角形式是()22ππA．－＋－33

巩固ππB．cos＋33Ccos

ππ－33

D．

π5π＋31355解析：A.－＝πisinπ223ππ＝2－＋π－33ππ＝－＋isin－.32．复数sin°－isin°辐角的主值()A．°

B．40

522π522πC40°

D．°解析：D.sin°－isin140°cos(270°°＋＋140°＝°isin°3．复数sin＋4的辐角的主值()3πA．B.－425πCπ4D.－2解析：D.sin4＋＝

π－4＋

5π－4.4．若复数cosθ＋isinθsin＋icosθ等，则θ的值()πA.4

ππB.或44ππCπ＋(∈)D．π(k∈Z44解析：D.为cos

θ＋

θ＝

θ＋icos

θ，所以cos

θ＝

θ，即tan

＝，π所以＝＋π，(∈)．45．如果∈

π2

，π，么复数＋i)(cos

θ－

)的三角形式(

)A.2cos

9π4

－＋－4B.2[cos(2π－)＋πθC.2cos

4

＋＋

π4

＋D.2cos

3π4

＋＋＋4ππ解析：A.为＋＝2cos＋44

，cos

θ－isin

θ＝π－θ＋θ，所以(1＋i)(cos

θ－isin

θ＝2cos

ππ＋θ＋44

＋π－＝2cos－＋－.446．已知z＝

2π2π＋，则2＝．332π解析：为＝，所以z23

2π4π＝z2×＝.33

ππππ11212112πππππ11212112πππ32π21221212121221224π答案：3π7．把复数1＋对的量按顺针方向旋转，得到的向量对应的复数________．2ππ解析：＋cos－＋isin－22ππππ＝2cos＋cos－＋－4422＝2cos－＋isin－424ππ＝2cos－＋－＝－44答案：－z8．设复数＝1＋，＝3＋i则的辐角的主值是．z2ππππ解析：题知，＝cos＋，＝cos＋，3366zπππ所以的辐角的主值为－＝.z3662π答案：69．设复数＝3＋，复数满足＝，已知z2的应点在虚轴的负半轴上，且z∈，，求122122z的数形式．2ππ解：因为＝2cos＋，设＝66

＋isin

)，∈，π)，所以z2＝128cos2＋＋2＋.题设知2＋＝kπ＋(kZ，所以＝π＋k∈)，又α(06662π2π2ππ，所以＝，所以z2cos＋＝＋3i.333－＋－7π10已＝－z－z＝z＝若z在平面内分别对应点A且＝2i12求z和z.解：由题设知＝－，因为＝2，z－＝2，－7π所以－＝|z－＝＋z－＝z＝z＝，又argz＝，122222222π7π所以＝2cos＋，1212－ππ7π7π5π5πz＝zz＝＋i)＝2cos＋·2cos＋＝2cos＋.44121266[B

能力提升

4cos－θθisinθ－θ（－）（）π4cos－θθisinθ－θ（－）（）π3－22．复数＝＋2A．C－2

3π的辐角的主值是，则实数a的是)2B－D．3解析：B.因＝＋i)＝a2

3π－＋a，z，2所以，所以a＝1故选B.5πcos2θ＋isinθ12．设π<，复数的角的主值为)A．π－θC

B．－πD．－πcos2＋θcosθ＋θ解析