高中数学人教A版本册总复习总复习 2023版第3章函数模型的应用实例

3.2.2函数模型的应用实例1．会利用给定的函数模型解决实际问题．(重点)2．能够建立确定性函数模型解决问题及建立拟合函数模型解决实际问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理函数模型的应用阅读教材P101～P106，完成下列问题．1．常见的函数模型函数模型函数解析式(1)正比例函数模型f(x)＝kx(k为常数，k≠0)(2)反比例函数模型f(x)＝eq\f(k,x)(k为常数，k≠0)(3)一次函数模型f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)(4)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)(5)指数函数模型f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)(6)对数函数模型f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)(7)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)(8)分段函数模型f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1x，x∈D1,f2x，x∈D2,……,fnx，x∈Dn))2.建立函数模型解决问题的框图表示图3­2­61．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到()A．300只 B．400只C．600只 D．700只【解析】将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)，解得a＝100.所以x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.【答案】A2．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次，其中变速车存车费是每辆一次元，普通车存车费是每辆一次元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是()A．y＝＋800(0≤x≤2000)B．y＝＋1600(0≤x≤2000)C．y＝－＋800(0≤x≤2000)D．y＝－＋1600(0≤x≤2000)【解析】由题意知，变速车存车数为(2000－x)辆次，则总收入y＝＋(2000－x)×＝－＋1600(0≤x≤2000)．【答案】D[小组合作型]一次函数、二次函数模型的应用商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售．问：(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？【精彩点拨】(1)先设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，列出函数y的解析式，最后利用二次函数的最值即可求得商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元即可；(2)由题意得出关于x的方程式，解得x值，从而即可解决商场要获取最大利润的75%，每件标价为多少元．【自主解答】(1)设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，则x∈(100,300]，n＝kx＋b(k＜0)，∵0＝300k＋b，即b＝－300k，∴n＝k(x－300)，y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10000k(x∈(100,300])，∵k＜0，∴x＝200时，ymax＝－10000k，即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．(2)由题意得，k(x－100)(x－300)＝－10000k·75%，即x2－400x＋37500＝0，解得x＝250或x＝150.所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元．在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.[再练一题]1．某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t小时内向居民供水总量为100eq\r(6t)(0≤t≤24)，求供水开始几小时后，蓄水池中的存水量最少.【导学号：97030141】【解】设t小时后，蓄水池中的存水量为y吨，则y＝400＋60t－100eq\r(6t)(0≤t≤24)，设u＝eq\r(t)，则u∈[0，2eq\r(6)]，y＝60u2－100eq\r(6)u＋400＝60eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(u－\f(5\r(6),6)))2＋150，∴当u＝eq\f(5\r(6),6)，即t＝eq\f(25,6)时，蓄水池中的存水量最少．指数函数、对数函数模型的应用声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lgeq\f(I,10－12)给出，其中I为声强(单位：W/m2)．(1)平时常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级；(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝，已知熄灯后两个学生在宿舍说话的声强为5×10－7W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？【精彩点拨】由公式Y＝10lgeq\f(I,10－12)可以由I求Y，也可以由Y求I，计算I＝5×10－7W/m2时的声强级并与50作比较就可以判断两位同学是否会影响其他同学休息．【自主解答】(1)当I＝10－6W/m2时，代入得Y＝10lgeq\f(10－6,10－12)＝10lg106＝60，即声强级为60分贝．(2)当Y＝0时，即为10lgeq\f(I,10－12)＝0，所以eq\f(I,10－12)＝1，I＝10－12W/m2，则能听到的最低声强为10－12W/m2.(3)当声强I＝5×10－7W/m2时，声强级Y＝10lgeq\f(5×10－7,10－12)＝10lg(5×105)＝50＋10lg5＞50，所以这两位同学会影响其他同学休息．1．有关对数函数的应用题一般是先给出对数函数模型，利用对数运算性质求解．2．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x，(其中N为基数，p为增长率，x为时间)的形式．[再练一题]2．目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是%，请回答下列问题：(1)写出y关于x的函数解析式；(2)计算10年后该县的人口总数(精确到万人)；(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．【解】(1)当x＝1时，y＝100＋100×%＝100(1＋%)；当x＝2时，y＝100(1＋%)＋100(1＋%)×%＝100(1＋%)2；当x＝3时，y＝100(1＋%)2＋100(1＋%)2×%＝100(1＋%)3；……故y关于x的函数解析式为y＝100(1＋%)x(x∈N*)．(2)当x＝10时，y＝100×(1＋%)10＝100×≈.故10年后该县约有万人．(3)设x年后该县的人口总数为120万，即100×(1＋%)x＝120，解得x＝\f(120,100)≈16.故大约16年后该县的人口总数将达到120万．分段函数模型的应用经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足于f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(15＋\f(1,2)t，0≤t≤10,25－\f(1,2)t，10<t≤20))(元)．(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．【精彩点拨】(1)由已知，由价格乘以销售量可得该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；(2)由(1)分段求出函数的最大值与最小值，从而可得该种商品的日销售额y的最大值与最小值．【自主解答】(1)由已知，由价格乘以销售量可得：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15＋\f(1,2)t))80－2t，0≤t≤10,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(25－\f(1,2)t))80－2t，10<t≤20，))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＋3040－t，0≤t≤10,50－t40－t，10<t≤20，))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－t2＋10t＋1200，0≤t≤10,t2－90t＋2000，10<t≤20，))(2)由(1)知①当0≤t≤10时，y＝－t2＋10t＋1200＝－(t－5)2＋1225，函数图象开口向下，对称轴为t＝5，该函数在t∈[0,5)递增，在t∈(5,10]递减，∴ymax＝1225(当t＝5时取得)，ymin＝1200(当t＝0或10时取得)．②当10＜t≤20时，y＝t2－90t＋2000＝(t－45)2－25，图象开口向上，对称轴为t＝45，该函数在t∈(10,20]递减，t＝10时，y＝1200，ymin＝600(当t＝20时取得)，由①②知ymax＝1225(当t＝5时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得)．1．建立分段函数模型的关键是确定分段的各界点，即明确自变量的取值区间．2．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别求出来，再将其合到一起．[再练一题]3．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15000元.【导学号：97030142】(1)写出每人需交费用y关于人数x的函数；(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？【解】(1)当0＜x≤30时，y＝900；当30＜x≤75，y＝900－10(x－30)＝1200－10x；即y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900，0<x≤30,1200－10x，30<x≤75.))(2)设旅行社所获利润为S元，则当0＜x≤30时，S＝900x－15000；当30＜x≤75，S＝x(1200－10x)－15000＝－10x2＋1200x－15000；即S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900x－15000，0<x≤30,－10x2＋1200x－15000，30<x≤75.))因为当0＜x≤30时，S＝900x－15000为增函数，所以x＝30时，Smax＝12000；当30＜x≤75时，S＝－10x2＋1200x－15000＝－10(x－60)2＋21000，即x＝60时，Smax＝21000＞12000.所以当旅行团人数为60时，旅行社可获得最大利润．[探究共研型]拟合数据构建函数模型探究1画函数图象的一般步骤有哪些？【提示】列表、描点、连线．探究2学校食堂要了解全校师生的午间就餐情况，以备饭菜，你能用数学知识给予指导性说明吗？【提示】第一步：收集样本一周的数据，制成样本点．如(1，x1)，(2，x2)，…，(7，x7)．第二步：描点，对上述数据用散点图的形式，给予直观展示．第三步：数据拟合，选择一个合适的数学模型拟合上述样本点．第四步：验证上述模型是否合理、有效，并做出适当的调整．某企业常年生产一种出口产品，自2023年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2023年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：x1234f(x)(1)画出2023～2023年该企业年产量的散点图；(2)建立一个能基本反映(误差小于这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；(3)2023年(即x＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2023年的年产量为多少？【精彩点拨】eq\x(描点)eq\o(→,\s\up14(依散点图))eq\x(选模)eq\o(→,\s\up14(待定系数法))eq\x(求模)eq\o(→,\s\up14(误差))eq\x(验模)→eq\x(用模)【自主解答】(1)画出散点图，如图所示．(2)由散点图知，可选用一次函数模型．设f(x)＝ax＋b(a≠0)．由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝4,3a＋b＝7，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝,b＝，))∴f(x)＝＋.检验：f(2)＝，且|－|＝<.f(4)＝，且|－|＝<.∴一次函数模型f(x)＝＋能基本反映年产量的变化．(3)根据所建的函数模型，预计2023年的年产量为f(5)＝×5＋＝10万件，又年产量减少30%，即10×70%＝7万件，即2023年的年产量为7万件．函数拟合与预测的一般步骤是：1根据原始数据、表格，绘出散点图.2通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线.3求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.4利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据.[再练一题]4．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是()A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝100x【解析】当x＝4时，A中，y＝400，B中，y＝700，C中，y＝800，D中，y＝1004.故选C.【答案】C1．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：xy－则对x，y最适合的拟合函数是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x【解析】根据x＝，y＝－，代入计算，可以排除A；根据x＝，y＝，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．【答案】D2．某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－eq\f(1,20)Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．【解析】因为L(Q)＝40Q－eq\f(1,20)Q2－10Q－2000＝－eq\f(1,20)Q2＋30Q－2000＝－eq\f(1,20)(Q－300)2＋2500，所以，当Q＝300时，L(Q)的最大值为2500万元．【答案】25003．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元．【解析】设彩电