高中数学人教A版1第一章常用逻辑用语命题及其关系阶段质量评估2

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设离散型随机变量X的分布列为：X1234Peq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,6)p则p的值为()\f(1,2) \f(1,4)\f(1,3) \f(1,6)解析：由分布列的性质得p＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)＋\f(1,3)＋\f(1,6)))＝eq\f(1,3)，故选C.答案：C2．(2023·河北省衡水中学高二上学期期末考试)10件产品，其中3件是次品，任取2件，若ξ表示取到次品的个数，则E(ξ)等于()\f(3,5) \f(8,15)\f(14,15) D．1解析：由题意知，随机变量ξ服从超几何分布，所以其分布列为ξ012Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)∴E(ξ)＝0×eq\f(7,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(3,5)，故选A.答案：A3．如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K，A1，A2正常工作的概率依次为,,.则系统正常工作的概率为()A． B．C． D．解析：由已知P＝P(Keq\x\to(A)1A2)＋P(Keq\x\to(A)2A1)＋P(KA1A2)＝××＋××＋××＝.故选B.答案：B4．已知离散型随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，若P(1≤X≤3)＝eq\f(1,5)，则n的值为()A．3 B．5C．10 D．15解析：由已知X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(1,n)，k＝1,2,3，…，n，∴P(1≤X≤3)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(3,n)＝eq\f(1,5)，∴n＝15.答案：D5．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)．且P(ξ<4)＝，则P(0<ξ<2)等于()A． B．C． D．解析：由题意知正态曲线对称轴为x＝2，设P(0<ξ<2)＝y，则P(ξ<0)＝eq\f(1－2y,2)，∴P(ξ<4)＝P(ξ<0)＋P(0<ξ<2)＋P(2<ξ<4)＝eq\f(1－2y,2)＋2y＝，∴y＝.故选C.答案：C6．(2023·银川一中模拟)已知随机变量X服从二项分布，且E(X)＝，D(X)＝，则二项分布的参数n，p的值为()A．n＝4，p＝ B．n＝6，p＝C．n＝8，p＝ D．n＝24，p＝解析：由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(np＝,np1－p＝，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝6，,p＝.))答案：B7．两台相互独立工作的电脑，产生故障的概率分别为a，b，则产生故障的电脑台数的均值为()A．ab B．a＋bC．1－ab D．1－a－b解析：设产生故障的电脑台数为随机变量X，则X的取值为0,1,2，其分布列为：X012P(1－a)(1－b)a(1－b)＋(1－a)bab∴E(X)＝a(1－b)＋(1－a)b＋2ab＝a－ab＋b－ab＋2ab＝a＋b，故选B.答案：B8．(2023·雅安市下学期高二期末检测)甲、乙、丙三人独立解决同一道数学题，如果三人分别完成的概率依次是P1，P2，P3，那么至少有一人解决这道题的概率是()A．P1＋P2＋P3B．1－(1－P1)(1－P2)(1－P3)C．1－P1P2P3D．P1P2P3解析：设“至少有一人解决这道题”为事件A，则eq\x\to(A)表示“没有一人解决这道题”，由相互独立事件公式得P(eq\x\to(A))＝(1－P1)(1－P2)(1－P3)，∴P(A)＝1－(1－P1)(1－P2)(1－P3)，故选B.答案：B9．节日期间，某种鲜花进货价是每束元，销售价是每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X服从如表所示的分布列：X200300400500P若进这种鲜花500束，则利润的均值为()A．706元 B．690元C．754元 D．720元解析：∵E(X)＝200×＋300×＋400×＋500×＝340，∴利润的均值为340×(5－－(500－340)×－＝706(元)，故选A.答案：A10．已知一次考试共有60名同学参加，考生成绩X～N(110,52)，据此估计，大约有57人的分数所在的区间为()A．(90,100] B．(95,125]C．(100,120] D．(105,115]解析：∵X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5，∴eq\f(57,60)＝≈P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝P(100＜X≤120)．答案：C11．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为()\f(3,10) \f(2,9)\f(7,8) \f(7,9)解析：设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P(A)＝eq\f(3,10)，P(AB)＝eq\f(3,10)×eq\f(7,9)＝eq\f(7,30).在已知第1次抽到螺口灯泡的条件下，第2次抽到卡口灯泡的概率为P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(7,30),\f(3,10))＝eq\f(7,9).答案：D12．已知随机变量ξ的分布列为：ξ－101Peq\f(1,2)eq\f(1,8)eq\f(3,8)又变量η＝4ξ＋3，则η的期望是()\f(7,2) \f(5,2)C．－1 D．1解析：E(ξ)＝－1×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,8)＋1×eq\f(3,8)＝－eq\f(1,8)E(η)＝4E(ξ)＋3＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)))＋3＝eq\f(5,2).答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．某灯泡厂生产大批灯泡，其次品率为%，从中任意地陆续取出100个，则其中正品数X的均值为________个，方差为________．解析：由题意可知X～B(100,%)∴E(ξ)＝np＝100×%＝，D(ξ)＝np(1－p)＝100×%×%＝5.答案：514．某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯闪烁的概率是eq\f(1,2)，两次闭合后都出现红灯闪烁的概率为eq\f(1,6).则在第一次闭合后出现红灯闪烁的条件下，第二次出现红灯闪烁的概率是________．解析：第一次闭合后出现红灯闪烁记为事件A，第二次闭合后出现红灯闪烁记为事件B，则P(A)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(1,6)，所以P(B|A)＝eq\f(\f(1,6),\f(1,2))＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)15．(2023·北京市朝阳区高二第二学期期末测试)接种某疫苗后，经过大量的试验发现，出现发热反应的概率为eq\f(1,5)，现有3人接种该疫苗，恰有一人出现发热反应的概率为________．解析：3人接种该疫苗相当于做了3次独立重复试验，其成功概率为eq\f(1,5)，因此恰有一人出现发热反应的概率为Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2＝eq\f(48,125).答案：eq\f(48,125)16．(2023·福州地区八县一中高二期末联考)一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是eq\f(3,5)；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为eq\f(4,3)；③从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为eq\f(2,5)；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为eq\f(26,27).其中所有正确结论的序号是________．解析：①恰有一个白球的概率P＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，故①正确；②每次任取一球，取到红球次数X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(2,3)))，其方差为6×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(4,3)，故②正确；③设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}，则P(A)＝eq\f(2,3)，P(AB)＝eq\f(4×3,6×5)＝eq\f(2,5)，∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(3,5)，故③错；④每次取到红球的概率P＝eq\f(2,3)，所以至少有一次取到红球的概率为1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))3＝eq\f(26,27)，故④正确．答案：①②④三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)一批产品分一、二、三级，其中一级品的数量是二级品的两倍，三级品的数量是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检查其品级，用随机变量描述检验的可能结果，写出它的分布列．解析：设二级品有2n个，则一级品有4n个，三级品有n个．一级品占总数的eq\f(4n,4n＋2n＋n)＝eq\f(4,7)，二级品占总数的eq\f(2n,4n＋2n＋n)＝eq\f(2,7)，三级品占总数的eq\f(1,7).又设X＝k表示取到的是k级品(k＝1,2,3)，则P(X＝1)＝eq\f(4,7)，P(X＝2)＝eq\f(2,7)，P(X＝3)＝eq\f(1,7)，∴X的分布列为：X123Peq\f(4,7)eq\f(2,7)eq\f(1,7)18.(本小题满分12分)甲投篮命中率为，乙投篮命中率为，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？解析：设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，且A，B相互独立，则两人都恰好投中两次为事件AB，于是P(AB)＝P(A)×P(B)＝Ceq\o\al(2,3)××＋Ceq\o\al(2,3)××＝＋＝.19．(本小题满分12分)袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．解析：记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，“第二次才取到黄球”为事件C，P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝eq\f(4,10)×eq\f(6,9)＝eq\f(4,15).20．(本小题满分12分)一批电池用于1节电池的手电筒的寿命是服从均值为小时、标准差为小时的正态分布的．随机从这批电池中取一节电池装在手电筒中，问：这节电池可持续使用不少于小时的概率是多少？(参考数据：P(|x－μ|<σ)＝6，P(|x－μ|<2σ)＝4，P(|x－μ|<3σ)＝4)解析：用X表示电池的使用寿命，由题意知，X～N,，从而P(X≥＝P(X≥＋＝eq\f(1,2)[1－P－<X<＋]＝eq\f(1,2)(1－6)＝7.21．(本小题满分13分)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间．(1)求ξ的分布列；(2)求ξ的数学期望．解析：(1)必须要走到1号门才能走出，ξ可能的取值为1,3,4,6.P(ξ＝1)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝3)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝4)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝6)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×\f(1,2)))×1＝eq\f(1,3).∴ξ的分布列为：ξ1346Peq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,3)(2)E(ξ)＝1×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,6)＋4×eq\f(1,6)＋6×eq\f(1,3)＝eq\f(7,2).22．(本小题满分13分)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是eq\f(1,2)外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是eq\f(2,3).假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X的分布列及数学期望．解析：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3，由题意知，各局比赛结果相互独立，故P(A1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(8,27)，P(A2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)，P(A3)＝Ceq\o\al(2,4