高中数学人教A版第二章点直线平面之间的位置关系 名师获奖

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若l，m，n表示不重合的直线，α表示平面，则下列说法中正确的个数为()①l∥m，m∥n，l⊥α⇒n⊥α；②l∥m，m⊥α，n⊥α⇒l∥n；③m⊥α，n⊂α⇒m⊥n.A．1 B．2C．3 D．0解析：①正确，∵l∥m，m∥n，∴l∥n.又l⊥α，∴n⊥α；②正确．∵l∥m，m⊥α，∴l⊥α.又n⊥α，∴l∥n；③正确，由线面垂直的定义可知其正确．故正确的有3个．答案：C2．如果直线a与平面α不垂直，那么平面α内与直线a垂直的直线有()A．0条 B．1条C．无数条 D．任意条解析：可构造图形，若a∥α，a′⊂α，且a′∥a，则在平面α内有无数条直线垂直于a′，故平面α内有无数条直线垂直于直线a.答案：C3．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥β D．AC⊥β解析：如图所示．AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，故选D.答案：D4．线段AB的两端在直二面角α－l－β的两个面内，并与这两个面都成30°角，则异面直线AB与l所成的角是()A．30° B．45°C．60° D．75°解析：过B作l的平行线，过A′作l的垂线，两线交于点C，过B作l的垂线交l于B′，连接AC，A′B，AB′，则∠ABC即为异面直线AB与l所成的角，由题意，∠ABA′＝∠BAB′＝30°，所以AA′＝eq\f(1,2)AB，BB′＝A′C＝eq\f(1,2)AB，AB′＝eq\f(\r(3),2)AB，所以A′B′＝BC＝eq\f(\r(2),2)AB，AC＝eq\f(\r(2),2)AB，由勾股定理知∠ACB＝90°，则∠ABC＝45°.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)5．已知平面α，β，γ，直线l，m满足：α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，那么可推出的结论有________．(请将你认为正确的结论的序号都填上)①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.解析：如图，∵α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，∴l⊥α，α⊥β，而m⊥β，β⊥γ不一定成立．答案：②④6.如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB，则直线a与直线l的位置关系是________．解析：∵EA⊥α，平面α∩平面β＝l，即l⊂α，∴l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，∴l⊥平面EAB.∵EB⊥β，a⊂平面β，∴EB⊥a.又a⊥AB，EB∩AB＝B，∴a⊥平面EAB，∴a∥l.答案：平行7.如图，四面体P－ABC中，PA＝PB＝eq\r(13)，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________.解析：取AB的中点E，连接PE.∵PA＝PB，∴PE⊥AB.又平面PAB⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC.连接CE，所以PE⊥CE.∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝2eq\r(7)，PE＝eq\r(PA2－AE2)＝eq\r(6)，CE＝eq\r(BE2＋BC2)＝eq\r(43)，PC＝eq\r(PE2＋CE2)＝7.答案：7三、解答题(每小题10分，共20分)8.如图：三棱锥P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.证明：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.9．如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA＝BC＝3，PC＝AB＝5，AC＝4，PB＝eq\r(34).(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)过C作CF⊥PB交PB于F，在线段AB上找一点E，使得PB⊥平面CEF.解析：(1)证明：由已知得PC2＝PA2＋AC2＝25，PB2＝PA2＋AB2＝34，∴PA⊥AC，PA⊥AB，且AB∩AC＝A，∴PA⊥平面ABC.(2)∵CF⊥PB，∴只要PB⊥CE，则有PB⊥平面CEF.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥CE，只需CE⊥AB，则有CE⊥平面PAB，可得PB⊥CE，则PB⊥平面CEF，设BE＝x，∵AC2＋BC2＝AB2，∴△ACB是直角三角形．∵BC2＝BE·AB，即9＝5x，∴x＝eq\f(9,5)，故点E在AB上且到点B的距离为eq\f(9,5).10．(2023·运城市康杰中学高二期中)如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A－BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中不正确的是()A．平面ACD⊥平面ABD B．AB⊥CDC．平面ABC⊥平面ACD D．AB∥平面ABC解析：因为BD⊥CD，平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，因为CD⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面ABD，故A正确；因为平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，所以AB⊥AD，又CD⊥平面ABD，所以AB⊥CD，故B正确；因为AB⊥平面ACD，AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ACD，故C正确；因为AB⊂平面ABC，所以AB∥平面ABC不成立，故D错误．故选D.答案：D11．(2023·宿州市高二期中)设m，n为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题：①若m∥α，m∥β，则α∥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若m⊥α，n⊥α，则m∥n.上述命题中，其中假命题的序号是________．解析：①若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故①不正确；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故②正确；③若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故③不正确；④若m⊥α，n⊥α，由直线垂直于平面的性质定理知m∥n，故④正确．答案：①③12.如图，△ABC是边长为2的正三角形．若AE＝1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，且BD⊥CD.(1)求证：AE∥平面BCD；(2)求证：平面BDE⊥平面CDE.证明：(1)取BC的中点M，连接DM，因为BD＝CD，且BD⊥CD，BC＝2，所以DM＝1，DM⊥BC.又因为平面BCD⊥平面ABC，所以DM⊥平面ABC，又AE⊥平面ABC，所以AE∥DM.又因为AE⊄平面BCD，DM⊂平面BCD，所以AE∥平面BCD.(2)由(1)已证AE∥DM，又AE＝1，DM＝1，所以四边形DMAE是平行四边形，所以DE∥AM.连接AM，易证AM⊥BC，因为平面BCD⊥平面ABC，所以AM⊥平面BCD，所以DE⊥平面BCD.又CD⊂平面BCD，所以DE⊥CD.因为BD⊥CD，BD∩DE＝D，所以CD⊥平面BDE.因为CD⊂平面CDE，所以平面BDE⊥平面CDE.13.如图，在△ABC中，AC＝BC＝eq\f(\r(2),2)AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．(1)求证：GF∥平面ABC；(2)求证：平面EBC⊥平面ACD；(3)求几何体A－DEBC的体积V.解析：(1)证明：如图，取BE的中点H，连接HF，GH.因为G，F分别是EC和BD的中点，所以HG∥BC，HF∥DE.又因为四边形ABED为正方形，所以DE∥AB，从而HF∥AB.所以HF∥平面ABC，HG∥平面ABC.又因为GH∩HF＝H，所以平面HGF∥平面ABC.所以GF∥平面ABC.(2)证明：因为四边形ABED为正方形，所以EB⊥AB.又因为平面ABED⊥平面ABC，所以BE⊥平面ABC.所以BE⊥AC.又因为CA2＋CB2＝AB2，所以AC⊥BC.又因为BE∩BC＝B，所以AC⊥平面EBC.又因为AC⊂平面ACD，从而平面EBC⊥平面ACD.(3)取AB的中点N，连接CN