线性离散控制系统的分析与校正4

第9章线性离散系统的分析与校正9.1离散系统的基本概念

9.2信号的采样与保持9.3

Z变换理论9.4※※线性离散控制系统的数学模型（描述）9.5※线性离散控制系统分析9.6※※线性离散控制系统的数字校正（设计）主要内容离散系统分析的数学基础9.３

Z变换理论※※线性连续系统线性离散系统1稳——稳定性2快——

动态性能3

准——

稳态性能拉氏变换Z变换相当于离散系统的拉氏变换一、Z变换定义(P43)9.3

Z变换理论设连续函数e(t)是可拉氏变换的,则局限：只反映采样点上信息则采样信号的Z变换定义为

Z变换的性质Z变换方法Z反变换9.3

Z变换理论Z变换方法1.※

级数求和法2.※部分分式法3.

留数法（补充）主要思想（P43）：根据Z变换定义式写出级数形式的Z变换：再作级数求和，得到闭合形式的Z变换表达式。9.3

Z变换理论二、※Z变换方法(P43)例2.5：试求单位阶跃函数e(t)=1(t)的Z变换。9.3

Z变换理论---1.级数求和法二、※

Z变换方法(P43)例：指数函数的Z变换。9.3

Z变换理论---1.级数求和法实例演示二、※

Z变换方法(P43)（1）

为得到闭合形式，上式两边分别乘以z-1

（2）

式（1）减式（2）得：例：求单位斜坡函数x(t)=t

的Z变换。9.3

Z变换理论---1.级数求和法实例演示二、※

Z变换方法(P43)常见函数的Z变换(P45表2.3)

⑴⑵⑶⑷⑸⑹9.3

Z变换理论二、※

Z变换方法Z变换方法1.※级数求和法2.※部分分式法（P44）3.留数法（补充）

先求出已知连续时间函数的拉氏变换；将展成部分分式之和的形式；查表对各部分分式分别求取Z变换，即得。9.3

Z变换理论----一般适用于E(s)没有重极点的情况主要步骤：二、※

Z变换方法例2.7已知,试求相应的Z变换E(z)。解：将展成部分分式形式：对上式逐项取拉氏反变换，得：---2.部分分式法（P44查表法）9.3

Z变换理论二、※

Z变换方法也可直接Z变换Z变换方法1.※级数求和法2.※部分分式法3.留数法（P45）已知连续时间函数的拉氏变换及全部极点，其Z变换可由下面留数计算求得：式中：K—

的不相同极点的个数；

ri—极点si的阶数；T—采样周期。9.3

Z变换理论二、※

Z变换方法----一般适用于E(s)有重极点的情况例2.9：用留数法求单位斜坡函数的Z变换。解：拉氏变换式为显然，只有一个二重极点，即s1

=0

，r1

=2，K=1。故：9.3

Z变换理论---3.留数法（P45）二、※

Z变换方法1.线性定理若，，，a为常数，则：三、Z变换的性质（P46)9.3

Z变换理论解释：2.※※※实数位移定理（P46）7-2离散系统的数学基础9.3

Z变换理论解释：三、Z变换的性质（P46)如果函数e(t)是可拉氏变换的，其Z变换为

E(z)

，则有其中：k为正整数。滞后定理（负偏移定理）

：※超前定理（正偏移定理）

：2.※※※实数位移定理7-2离散系统的数学基础9.3

Z变换理论2.※※※实数位移定理（P46）如果函数e(t)是可拉氏变换的，其Z变换为

E(z)

，则有其中：k为正整数。解释：三、Z变换的性质（P46)滞后定理（负偏移定理）

：※超前定理（正偏移定理）

：（a）z-k环节的滞后作用（b）zk环节的超前作用9.3

Z变换理论结论：P47z-k代表时域中的滞后环节，它将采样信号滞后k个采样周期；zk代表超前环节，它把采样信号超前k个采样周期。2.※※※实数位移定理（P46）三、Z变换的性质（P46)演示例：用实数位移定理计算下列函数的Z变换：其中：a为常数。解：9.3

Z变换理论2.※※※实数位移定理（P46）三、Z变换的性质（P46)3.复数位移定理(48）

如果函数e(t)是可拉氏变换的，其Z变换为

E(z)

，则有9.3

Z变换理论解释：三、Z变换的性质（P46)例：试用复数位移定理计算的Z变换。解：令e(t)=t

，则根据复数位移定理，有：9.3

Z变换理论3.复数位移定理(P48)三、Z变换的性质（P46)4.※※

※终值定理(P48)

如果函数e(t)的Z变换为E(z)，函数序列e(nT)(n=0,1,2,…)为有限值，且极限存在，则函数序列的终值(注：※若的极点均在Z平面单位圆内，则有上式成立）9.3

Z变换理论三、Z变换的性质（P46)例(2007)

已知试用终值定理计算x(nT)的终值。解：的2个极点在单位圆内，则由终值定理得：9.3

Z变换理论自测题三、Z变换的性质（P46)4.※※

※终值定理5.卷积定理

设x(nT)和y(nT)为两个采样函数，其离散卷积定义为：则若,必有卷积的Z变换7-3

Z变换理论解释：三、Z变换的性质（P46)已知信号的Z变换表达式E(z)，求相应的离散序列e(nT)的过程。记为

注意：进行反变换时，信号序列仍是单边的，即当n<0时，e(nT)=0。9.3

Z变换理论四、Z反变换（P50)Z反变换法幂级数法（长除法、综合除法）2.※部分分式法（查表法）3.※反演积分法（留数法）9.3

Z变换理论四、Z反变换（P50)---1.幂级数法（长除法、综合除法）将E(z)表示为按z-1升幂排列的两个多项式之比：

直接作综合除法，得到按z-1升幂排列的幂级数展开式：若此无穷幂级数收敛，则即为采样脉冲序列的脉冲强度e(nT)。故脉冲序列表达式为主要思想（P50)9.3

Z变换理论四、Z反变换（P46)例2.14

用幂级数法求下列函数的Z反变换。解：将E(z)表示为:利用长除法得：则7-2离散系统的数学基础9.3

Z变换理论---1.幂级数法（长除法、综合除法）实例演示四、Z反变换（P46)实现步骤---2.※部分分式法（P51)（查表法）若E(z)无重极点，先将E(z)/z（P51）展开成部分分式之和：式中：是E(z)的极点；是是E(z)/z在极点zi处的留数。

将E(z)写成部分分式之和：逐项查Z变换表得采样瞬时序列：写出已知E(z)对应的采样函数：9.3

Z变换理论四、Z反变换（P45)例2.15

用部分分式法求下列函数的Z反变换。解：查Z变换表知采样瞬时的信号序列则采样函数9.3

Z变换理论---2.※部分分式法（查表法）四、Z反变换（P50)若部分分式使用不当，计算困难基本思想（P52)

已知连续函数e(t)的Z变换式为E(z)，可证明e(t)在t=nT时刻的采样值e(nT)可由下面的反演积分计算:式中：zi

—E(z)zn-1的极点；

q—E(z)zn-1的不相同极点的个数；

ri—极点zi的阶数。9.3

Z变换理论---3.※反演积分法（留数法）四、Z反变换（P43)有无重极点均可用留数法例：用留数计算法求下列函数的Z反变换。解：E(z)zn-1有两个极点：。其阶数分别为：

,不相同极点个数q=2；极点处的留数分别为：9.3

Z变换理论---3.反演积分法（留数法）四、Z反变换（P43)Z反变换法幂级数法（长除法、综合除法）2.※部分分式法（查表法）3.※反演积分法（留数法）9.3

Z变换理论四、Z反变换（P46)回顾第9章线性离散系统的分析与校正9.1离散系统的基本概念

9.2信号的采样与保持9.3Z变换理论9.4

※※线性离散控制系统的数学模型（描述）9.5※线性离散控制系统分析9.6※

※

线性离散控制系统的数字校正（设计）主要内容离散系统分析的数学基础9.4离散系统的数学描述差分方程脉冲传递函数----时域----复域9.4离散系统的数学描述一、线性差分方程(P489)1.

差分定义前向差分1阶前向差分2阶前向差分n阶前向差分后向差分1阶后向差分2阶后向差分n阶后向差分演示e(kT)简记为e(k)即：式中：和为常系数，2.线性常系数差分方程及其解法(P490)7-4离散系统的数学描述一、线性差分方程n阶后向差分方程：n阶前向差分方程：即：差分方程:离散系统输入输出变量及其各阶差分的等式解法经典法（通解和特解）(不便）迭代法（递推法）（了解）※Z变换法9.4离散系统的数学描述2.线性常系数差分方程及其解法(P490)一、线性差分方程9.4离散系统的数学描述2.线性常系数差分方程及其解法---迭代法一、线性差分方程(P490)例：已知其中，，。1）求当采样时间T=1时的线性差分方程；2）试用迭代法求输出序列c(k)，k=0,1,2,….得不到通式提示：①将差分方程变成前向差分方程；②根据Z变换实数位移定理的超前定理对差分方程逐项取Z变换，将差分方程的解C(z)表示成以z为变量的代数方程。注：计算中所需的c(k)初值个数应等于差分方程阶数。③通过Z反变换求差分方程的时域解c(k)，推荐留数法。2.线性常系数差分方程及其解法---※

Z变换法9.4离散系统的数学描述一、线性差分方程

具体步骤(P490)：例：例9.4

：已知系统差分方程、初始状态和r(k)如下：试用Z变换法计算输出序列c(k)，k≥0。解：

①写成前向差分方程：c(k+2)-5c(k+1)+6c(k)=r(k)9.4离散系统的数学描述一、线性差分方程2.线性常系数差分方程及其解法---※

Z变换法演示9.4离散系统的数学描述一、线性差分方程2.线性常系数差分方程及其解法---※Z变换法演示可得通式解：③应用留数法例9.4

：已知系统差分方程、初始状态和r(k)如下：试用Z变换法计算输出序列c(k)，k≥0。P5389-3(1)用Z变换法求解差分方程输出序列c(k)

,k≥0.已知9.4离散系统的数学描述一、线性差分方程作业题或线性连续系统线性离散系统拉氏变换Z变换Z传递函数

9.4离散系统的数学描述二、脉冲传递函数(※※※)传递函数脉冲传递函数在零初始条件下，系统输出采样信号的Z变换与输入采样信号的Z变换之比（

※

※在输入端必须有采样开关）。※线性定常离散系统的脉冲传递函数定义（P492）9.4离散系统的数学描述二、脉冲传递函数(※※※)实际的开环离散系统

开环离散系统虚设采样开关2.脉冲传递函数的性质-----了解9.4离散系统的数学描述实际的开环离散系统

1)脉冲传递函数是关于z的复函数，只适用于线性定常离散系统2）※脉冲传递函数取决于系统或元件结构和参数，是系统固有属性3）

脉冲传递函数是在零初始条件下进行的二、脉冲传递函数(※※※)2.脉冲传递函数的性质-----了解9.4离散系统的数学描述实际的开环离散系统

4)系统脉冲传递函数=单位脉冲响应序列c(nT)的Z变换P4935)脉冲传递函数G(z)与差分方程的关系二、脉冲传递函数(※※※)1)定义法(复杂):

根据其传递函数G(s),求取其单位脉冲响应序列c(nT)的Z变换从而求得。3.脉冲传递函数求法9.4离散系统的数学描述实际的开环离散系统

二、脉冲传递函数(※※※)2)※直接法:直接根据其传递函数G(s)的Z变换得到G(z)

。即9.4离散系统的数学描述3.脉冲传递函数求法实际的开环离散系统

二、脉冲传递函数(※※※)有串联环节时的开环系统脉冲传递函数；有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数（※）有并联环节时的开环系统脉冲传递函数（补充）

4.开环系统脉冲传递函数

9.4离散系统的数学描述注意：环节之间有无采样开关及开关位置。二、脉冲传递函数(※※※)1）串联环节之间有采样开关开环系统脉冲传递函数:

等效离散系统4.开环系统脉冲传递函数（P494)---

9.4离散系统的数学描述串联相乘

二、脉冲传递函数(※※※)开环系统脉冲传递函数为：2）串联环节之间无采样开关9.4离散系统的数学描述等效离散系统4.开环系统脉冲传递函数（P494)---

先相乘后离散

二、脉冲传递函数(※※※)例9.8：设开环离散系统如图。其中：，求系统的脉冲传递函数G(z)。4.开环系统脉冲传递函数9.4离散系统的数学描述2）1）二、脉冲传递函数(※※※)3)有零阶保持器时（※）含有零阶保持器的开环离散系统等效开环系统4.开环系统脉冲传递函数---9.4离散系统的数学描述1二、脉冲传递函数(※※※)例9.9：设离散系统如图9.17。已知：求系统的脉冲传递函数G(z)。3)有零阶保持器时（※）4.开环系统脉冲传递函数---9.4离散系统的数学描述二、脉冲传递函数(※※※)并联环节的开环离散系统开环系统脉冲传递函数:等效离散系统结构图4)有并联环节时（P496）4.开环系统脉冲传递函数---9.4离散系统的数学描述并联相加

二、脉冲传递函数(※※※)对偏差信号进行采样的系统可求得系统闭环脉冲传递函数

偏差脉冲传递函数只能求出系统输出采样信号的Z变换C(z)不对偏差信号进行采样的系统5.※闭环系统脉冲传递函数(P497)---根据采样开关实际情况具体分析9.4离散系统的数学描述二、脉冲传递函数(※※※)1)对偏差信号进行采样的系统9.4离散系统的数学描述5.※闭环系统脉冲传递函数(P497)从系统输出端入手，根据采样开关位置和信号间传输关系列写二、脉冲传递函数(※※※)法1：从系统输出C(s)入手建立起各信号间拉式变换关系式；通过离散化和消去中间变量推导出C*(s)和R*(s)的关系式；通过Z变换导出C(z)或。图9.22典型离散控制系统结构图对偏差信号进行采样的离散系统其闭环脉冲传递函数与连续系统的闭环传递函数形式上很相似。但是特别注意

9.4离散系统的数学描述

闭环离散系统的特征方程：1)对偏差信号进行采样的系统(P497)5(※)闭环系统脉冲传递函数---

对输入量的偏差脉冲传递函数:

对输入量的脉冲传递函数:二、脉冲传递函数(※※※)图9.22典型离散控制系统结构图1)对偏差信号进行采样的系统9.4离散系统的数学描述5.※闭环系统脉冲传递函数(P497)从系统输出端入手，根据采样开关位置和信号间传输关系列写二、脉冲传递函数(※※※)法2※

：直接从系统输出C(z)入手建立起各信号间的Z变换关系式

；消去中间变量推导出C(z)或图9.22典型离散控制系统结构图9.4离散系统的数学描述1)对偏差信号进行采样的系统(P341)5(※)闭环系统脉冲传递函数---

对输入量的偏差脉冲传递函数:

对输入量的脉冲传递函数:二、脉冲传递函数(※※※)

独立环节：两个采样开关之间的环节。

把Mason公式中各环节间的传递函数变为各独立环节的Z变换即可。例：设闭环离散系统结构图如下图所示试求闭环脉冲传递函数。9.4离散系统的数学描述1)对偏差信号进行采样的系统5(※)闭环系统脉冲传递函数---你能直接说出答案吗？练习题二、脉冲传递函数(※※※)R(z)R*(s)例：解：7-4离散系统的数学描述1)对偏差信号进行采样的系统5(※)闭环系统脉冲传递函数---演示二、脉冲传递函数(※※※)Y(s)-R(s)C(s)G(s)H(s)Y(z)=GH(z)E(z)C(z)=G(z)E(z)E(z)=R(z)-Y(z)图9.22

系统结构图9.4离散系统的数学描述5(※)闭环系统脉冲传递函数的计算快速自测题二、脉冲传递函数(※※※)C(z)=G(z)E(z)E(z)=R(z)-Y(z)9.4离散系统的数学描述5(※)闭环系统脉冲传递函数的计算Y(s)-R(s)C(s)G(s)H(s)C*(s)P498例9.10的系统结构图Y(z)=H(z)C(z)快速抢答题二、脉冲传递函数(※※※)9.4离散系统的数学描述2)不对偏差信号进行采样的系统5(※)闭环系统脉冲传递函数---不对偏差信号进行采样的离散系统，

R(z)不能独立出来不能求出脉冲传递函数，只能求出系统输出采样信号的Z变换C(z)。Y(s)R(s)C(s)X*(s)-G1(s)G2(s)H(s)E(s)C*(s)X

(s)B(s)R(s)C(s)X*(s)-G1(s)G2(s)G1(s)

H(s)C*(s)X

(s)(a)P499图9.24系统结构图（b）等效结构图二、脉冲传递函数(※※※)9.4离散系统的数学描述2)不对偏差信号进行采样的系统5(※)闭环系统脉冲传递函数---B(s)R(s)C(s)X*(s)-G1(s)G2(s)G1(s)H(s)C*(s)X

(s)P499图9.24等效结构图Y(s)R(s)C(s)X*(s)-G1(s)G2(s)H(s)C*(s)X

(s)P499图9.24系统结构图你发现规律了吗？二、脉冲传递函数(※※※)从输出端入手，根据等效结构图采样开关位置和信号间传输关系列写例：设闭环离散系统结构图如图所示。9.4离散系统的数学描述5(※)闭环系统脉冲传递函数的计算练习题你能直接说出答案吗？试求其输出采样信号的Z变换函数C(z)。二、脉冲传递函数(※※※)解：法1:C(s)-C*(s)-C(z)法2：等效结构图9.4离散系统的数学描述5(※)闭环系统脉冲传递函数的计算演示例：设闭环离散系统结构图如图所示。按其等效图列写：G(s)H(s)G(s)R(s)C(s)-二、脉冲传递函数(※※※)H(s)G1(s)G2(s)G3(s)Y(s)R(s)C(s)X1(s)-X2(s)例：9.4离散系统的数学描述5(※)闭环系统脉冲传递函数的计算快速自测题C(z)=G3(z)X2(z)；X2(z)=G2(z)X1(z)；X1(z)=RG1

(z)

-G3HG1(z)X2(z)G1(s)

H(s)G1(s)G2(s)G3(s)R(