高中数学北师大版2第三章推理与证明数学证明 第3章2数学证明

§2数学证明1．理解演绎推理的概念．(重点)2．掌握演绎推理的基本模式，并能用它们进行一些简单的推理．(重点)3．能用“三段论”证明简单的数学问题．(难点)[基础·初探]教材整理数学证明阅读教材P58～P59“练习”以上部分，完成下列问题．1．证明(1)证明命题的依据：命题的条件和已知的定义、公理、定理．(2)证明的方法：演绎推理．2．演绎推理的主要形式演绎推理的一种形式：三段论，其推理形式如下：(1)大前提：提供了一个一般性道理．(2)小前提：研究对象的特殊情况．(3)结论：根据大前提和小前提作出的判断．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“三段论”就是演绎推理．()(2)演绎推理的结论是一定正确的．()(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．()【答案】(1)×(2)×(3)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解惑：__________________________________________________________疑问2：________________________________________________________解惑：__________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：__________________________________________________________[小组合作型]把演绎推理写成三段论的形式将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数；(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°；(3)通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．【精彩点拨】三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果b⇒c，a⇒b，则a⇒c.”其中，b⇒c为大前提，提供了已知的一般性原理；a⇒b为小前提，提供了一个特殊情况；a⇒c为大前提和小前提联合产生的逻辑结果．【自主解答】(1)一切奇数都不能被2整除．(大前提)75不能被2整除．(小前提)75是奇数．(结论)(2)三角形的内角和为180°.(大前提)Rt△ABC是三角形．(小前提)Rt△ABC的内角和为180°.(结论)(3)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列．(大前提)通项公式an＝3n＋2，n≥2时，an－an－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常数)．(小前提)通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．(结论)把演绎推理写成“三段论”的一般方法：(1)用“三段论”写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般性原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般性原理与特殊情况的内在联系．(2)在寻找大前提时，要保证推理的正确性，可以寻找一个使结论成立的充分条件作为大前提．[再练一题]1．将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B.【解析】(1)平行四边形的对角线互相平分，(大前提)菱形是平行四边形，(小前提)菱形的对角线互相平分．(结论)(2)等腰三角形的两底角相等，(大前提)∠A，∠B是等腰三角形的两底角，(小前提)∠A＝∠B.(结论)演绎推理在几何中的应用如图3­2­1所示，D，E，F分别是BC，CA，AB边上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：DE＝AF.写出“三段论”形式的演绎推理.【导学号：67720235】图3­2­1【精彩点拨】用三段论的模式依次证明：(1)DF∥AE，(2)四边形AEDF为平行四边形，(3)DE＝AF.【自主解答】①同位角相等，两直线平行，(大前提)∠BFD和∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)所以DF∥AE.(结论)②两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DE∥BA且DF∥EA，(小前提)所以四边形AFDE为平行四边形．(结论)③平行四边形的对边相等，(大前提)DE和AF为平行四边形的对边，(小前提)所以DE＝AF.(结论)1．用“三段论”证明命题的步骤(1)理清楚证明命题的一般思路；(2)找出每一个结论得出的原因；(3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．2．几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．[再练一题]2．证明：如果梯形的两腰和一底相等，那么它的对角线必平分另一底上的两个角．【解】已知在梯形ABCD中(如图所示)，AB＝DC＝AD，AC和BD是它的对角线，求证：CA平分∠BCD，BD平分∠CBA.证明：①等腰三角形的两底角相等，(大前提)△DAC是等腰三角形，DC＝DA，(小前提)∠1＝∠2.(结论)②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，(大前提)∠1和∠3是平行线AD，BC被AC所截的内错角，(小前提)∠1＝∠3.(结论)③等于同一个量的两个量相等，(大前提)∠2，∠3都等于∠1，(小前提)∠2和∠3相等．(结论)即CA平分∠BCD.④同理BD平分∠CBA.[探究共研型]演绎推理在代数中的应用探究1演绎推理的结论一定正确吗？【提示】演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论一定正确．探究2因为对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)是增函数，而y＝eqlog\s\do8(\f(1,3))x是对数函数，所以y＝eqlog\s\do8(\f(1,3))x是增函数．上面的推理形式和结论正确吗？【提示】推理形式正确，结论不正确．因为大前提是错误的．已知a，b，m均为正实数，b<a，用三段论形式证明：eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m).【精彩点拨】利用不等式的性质证明．【自主解答】因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)b<a，m>0，(小前提)所以mb<ma.(结论)因为不等式两边同加上一个数，不等号方向不变，(大前提)mb<ma，(小前提)所以mb＋ab<ma＋ab，即b(a＋m)<a(b＋m)．(结论)因为不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变，(大前提)b(a＋m)<a(b＋m)，a(a＋m)>0，(小前提)所以eq\f(ba＋m,aa＋m)<eq\f(ab＋m,aa＋m)，即eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m).(结论)代数问题中常见的利用三段论证明的命题：(1)函数类问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等．(2)导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有关的不等式等．(3)三角函数的图像与性质．(4)数列的通项公式、递推公式以及求和，数列的性质．(5)不等式的证明．[再练一题]3．当a，b为正实数时，求证：eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab).【解】因为一个实数的平方是非负实数，(大前提)而eq\f(a＋b,2)－eq\r(ab)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(a,2))－\r(\f(b,2))))2是一个实数的平方，(小前提)所以eq\f(a＋b,2)－eq\r(ab)是非负实数，即eq\f(a＋b,2)－eq\r(ab)≥0.所以eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab).(结论)[构建·体系]1．下面几种推理过程是演绎推理的是()A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°B．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得出高三所有班级中的人数都超过50人C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D．在数列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－1＋\f(1,an－1)))(n≥2)，通过计算a2，a3，a4猜想出an的通项公式【解析】A是演绎推理，B，D是归纳推理，C是类比推理．【答案】A2．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2>0”A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误 D．是正确的【解析】这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a是实数”，结论是“a2>0”【答案】A3．函数y＝2x＋5的图像是一条直线，用三段论表示为：大前提：________________________________________________________；小前提：________________________________________________________；结论：___________________________________________________________.【答案】一次函数的图像是一条直线函数y＝2x＋5是一次函数函数y＝2x＋5的图像是一条直线4．如图3­2­2所示，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝CD，BC＝AD.图3­2­2又因为△ABC和△CDA的三边对应相等，所以△ABC≌△CDA.上述推理的两个步骤中分别省略了________、________.【答案】大前提大前提5．用三段论的形式写出下列演绎推理．(1)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；(2)\o(3,\s\up6(·))eq\o(3,\s\up6(·))eq\o(2,\s\up6(·))是有理数．【解】(1)因为矩形的对角线相等，(大前提)而正方形是矩形，(小前提)所以正方形的对角线相等．(结论)(3)所有的循环小数都是有理数，(大前提)\o(3,\s\up6(·))eq\o(3,\s\up6(·))eq\o(2,\s\up6(·))是循环小数，(小前提)所以，\o(3,\s\up6(·))eq\o(3,\s\up6(·))eq\o(2,\s\up6(·))是有理数．(结论)我还有这些不足：(1)________________________________