华科高等工程数学课后习题与答案

第一章5.计算球体积，要使相对误差限为1%,问度量半径/＜时允许的相对误差限是多少？12.序列｛"｝满足递推关系州=10打一1-1 (7i=1・2,…).若”=亚％1,41(三位有效数字3计算到尸。时误差有多大?这个计算过程稳定吗？12.解 因犷=已痴=.而Iy—E '于是有Iyi—户*1=110乃一1—10^—1I—10Iyo—何1<1。2・Iyi—yiI=I10yi—1—lOp—11=101yi—户* 10"S.类推有，Iyia—.I'C1OMS.即计算到口，其误差限为W京亦即若在非处有误差限为e,则13尸c的误差限将扩大1产倍，可见这个计算过程是不稳定的.

A/t- JiE.第一章7.已知wiMO.3幻=0.314567，苗in(0.34)=0.羽3487有6位有效数字，(1)用线性桶值求Sin(0.33)的近似值.(£)证明在区间［0.笠,0.34：|上用线性插值计算sin工时至少有4位有效数字.7.解(1)选取费=0.32.m=0.34,%=0.33代人线性插值多项式.得sing.33)*Al(0.33)=7三二？手X0.314567,0.33—0.320.34-0.32X0.333487=4(0,314567-0.333487)=0.324027.⑵由余项表达式£2.8)知,在区间［0.3区0.融］上用线性插值计算用㈠的余项满足I用(.X)I=|工一口.非)(工一0.34)|£6(0,32,0.34)W。・，干34E；,：u34—O.3£fV<O.OOOOK<4xiO4-VtG：0.32,0.34]X-l因此结果至少有4位有效数字.6.设制为互异节点q=0J，…，G,求证：II1)Z打(K)三=,(止=0，1，-*'.门)：j-o(2)反(金一工?。(丈)三0(占=1忑，…,GJ-06.解⑴设f（x）=/.当5=0,1,…，H时：有尸0（行=0.对/（jc）构造L;由Tan配插值塞项式.（,X）=ZX）fR（工〕=/（X）—An（J；）—；r_f：,严,।｛工｝=口E介于xj之间4=0TlT"■-Tn-故f（G=匕（G,即2%：匕（算）=注\L=0'lr'，n.i-o特别地，当七=0时，Z以工）=L（2）方法1：口上 r[（芍一注了1式幻=尤”乜⑷.1一礼阿’1v1f[JM上；i—『M一n..1--1）.XjXj—（Xj-Tj）—0.u .L.方法2：令式t）=3一不了"=0/，…e.对观力构造n次La即m能插值事项式,得LW=t⑺.GO由（D的结果知n£（为一工）乜3=小一%yj-c对一切£均成立.恃别地，取r=工，上式仍成立.即H.£（图一工）匕（工｝=0,k=0,1»-"tn.尸口.给出msm（rw*wg（r的函数表,步长人=i'=ci/cor,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求近似值时的总误差界，

.解由题设知0”与X三90""=温卜I—Xi—(£)口,记Xibl)处的潴确值为人，带有谟差的值为fr则-/+-/+Xi-X^lJy*i>=华《一二)(二一百门一L『&

£! T—Xi+i———djH,Hi1-Xi其中&=卜一于=户1-/其中番=#一六1&1= —/IL.I魇II魇I<1取I—I&I=COS2II(X-Xi)(X-H"LX一公卜1小।X-Xiix

Ui十 屯IIXi—工并] 1升i-Xi,・号d—,・号d—£■Li-r戈-w1Xi-Hi+i-^^11XA1—XiIJ心=max{I&ITI如I}]=J<1±fH<1±fH〔60;〔isoJ£ 1-4xiobjLi因表色有5但有效数字，故&K0.5M10:加1.0GX106-4x10;=5.0106X10F.■£jZb.填空题：(1)人工)=3/一1贝”/[L2,£=，/[1,2,丸羽=(2)设心3=0,1,2,3,4,51为互异节点为对应的5次$Lagrange插值基函数,则£工汴(。)=，5d+24+if G・电rt—1)&(#)—.(3)/(jc)=x—1,z—4-E,其中i=0J,2,…,则8力—56|第三章25.用最小一乘法求一个形如y=a+hx的经验公式，使它与下列数据相拟合，并计算均方误差.XlIP23ai$s4419.0S2.34&.073.397.525.解 由题意知力=span{l,j?},球=1,5=¥.经计算（%.球）==1=5. （尔.p）=Z-=5327.TOC\o"1-5"\h\z£-1 i-IJ 3[甲呼）==4=7277699,（*P>,y）=ZF=271.4.

E—1 J-1（叼，r>= =369321.5,i-i得法方程组[5«-5327A=271.4,15327O+727769S6=369321.&t解之得 。=0.97空。4G,小=0.0500351.故 y=0.9726046-0.0500351?.均方误差为II6h=|||了||；—Hp,7）—从中..122（0.0150232）172=0.123.2G.观测物体的直线运动，得出以下数据时间I，秒00.0二二3.03.&5.0除离/秒01&305080110求运动方程

2机解 设运动方程为S=at~b.=1=1=G,Z-皆=1上7,

1-1E上=53,63,二^yj—280fXiJ'=10^8.£-1 j-1得法方程/C&-14.7n=280.,14.7i+53.63a=1078,解之得/>=-7.8550473. 22.25376.故 S=22.2537GE-7.8550478.第四章例4试构造形如1'/(产不工〜4c_f(0■,—Aif(.h)—Aif(,2h的数值求积公式.使其代数精度尽可能高，并指出其代数精度的阶数.解令公式对—公=1,附¥均准确成立.则有1353h=百n—A：一心.Jfi=0——A.h——Aa工人.9ft=0—Ai后一4出也.解之得j_3,4―凸」—9

Ac——Al——UtAi——fl.故求和公式的形式为甲/⑷dZ芋八0一曾/⑵).由公式的构造过程知，公式至少有2次代数希度.而当f(x-)=f时r公式的左边=乎乩右边=13〃.左边关右边，说明此公式对/(x)=x：不能准确成立.因此，公式只具2次代数精度..确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度.) f(.xAif(.-A)—Acf(_0)—41/(h)\/IT)dryAjf(.~h)—An/(0)—Aif(.hy：j\fGlxx：/(-1;-2/(^)-37(xs)：/3;I：.R±)d克n"[fg)一兴的二一曲[/£0)—八h匚1.解(1)求枳公式中含有二个待定参数，即Ai小，瓦，将/(x)=l,x.?分别代人求积公式，并令其左右相等，得Al—百二一Ai—2h,,一hi,4।一百i)=0,K(.Ai—4)=5〃.解得用」=儿=[■儿比=,从所求公式至少具有2次代数精度，又由于二犷+和),产，d芯#专(—七》，(二).故]：八4d4管?一於一告八0)一母JW具有三次代数精度{3)求积公式中含两个特定常数如、城，当令公式对f(.x)=l准确成立时，得到「/工=2=/1—2一町，此等式不含有待定量於、衰，无用，故需令公式对八公=工.1准确成立.即jdJ=0- —1—2,11—3JT2)-X-dI=W= 1—2xi-3),,2jq—3x2— £4.29；、24一3x2—1. (4.30)解上一述方程组得:蜃=-0.12660, [X2=0.52660,.xl=0.68990 IXi=—0.28990.故有1/Wd*kj[/<-1)-2/(0.689907-3/(-0.12660)：或「」/Wdm巾=/L1}—2/{—0.况990：一小0-5烦01：|.将八公=/代入上已确定的求积公式中，」/d*5=-y_-1—2xi一3力].163故求:积公式具有£次代数精度4.已知箝=[”*=3，* -Q）推导以这r个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式,（外指明求积公式所具有的代数精度.157⑶用所求公式计算广3%J□工解口）所求公式的形式为Jc人工）d父0月口/（1>一4]/'｛《）一此/（）.因所要构造的公式应为插值型的,则16G故JJ3d3% >—/(4-：■—2//匚(2)因上述求积公式为3点的插值型公式『由定理41知，此公式至少有两次代数精度.再将f(.x)=J,J代入上述求积公式，Jjdk彳=3[2刈i]-川+4T]1r1&7壬虻2x[』TT+2鸟门.0 3」 4J4I4J-1故所求求积公式具有3次代数精度.(3)因所得求积公式有3次代数精度，从而用求积公式计算「丁，丘的值应是精确值，即」07.给定积分/=[寮，立，口)利用复化梯形公式计算上述积分值，使其截断谩差不超过口乂1口I(幻取同样的求积节点，改用复化&mp.n公式计算时，鼓断误差是多少？要求截断误差不超过1。、如果用复化$mpw公式，应取:多少个函数值？一解由于/(.r)=生U=1en式所以xQ168f”[工)=[-^-^cos( =t\:os(xt——W〉dhddr 」0 2故I广Y工)IW?'Icostif—""fItilIdt=J]口)为使复化拂形公式满足谩差要求.只需|兄("=一与*cMeh二三看X1N>Lu ]_口OLi即可，这只需A^O.1342.">含金=0.1342=7'4516,故只需3等分即可.此时无=卷=0/£5,则KK=3、5{1一2乂(0冉9禊79—0.鸵96159+0.9767266-0.958851—0.9361557-0.9088517+0.8771926)+0.8414710}=0.9456911.(2)对于同样点数用复化Simpson公式时，入=力，其截断误差为1兄⑺尸卜二康亭"等=0.000000271=0.271X10F.131为了在使用复化55impwn求积公式时误差不超过10二只需1 1= /'8*嬴*■2880X51nJ1解得 ^C9.444444. 2.88G75.故至少需将［0」：|3等分，即取2X3—1=7个节点处的函数11.用复化梯形公式和复化4mpMn公式的事后谩差估计11算定积分/=算定积分/=。告、要求精确到n l""I犬!ri=f兀+告Z/(.X>).± 白±-Q不 —Sn.)f10%厘=Tin-Tn.

O O计算列表如下（表4.63表46£等分好 T卢[_।r?-ii的El京f一$/601 3二2 3.13.11333348.131176471a1.389SS4951.141=P2503O.OQCOei78<iC3i1G8.140941612G.'；JCC5L<1011.141=P2C51Q.CCOOQOCOO因此,山拂形公式得|『上"=3.140941612,精确到100.由复化Simp号皿公式得到—&=3.141592503,精确到10、.若取$=3.141592651,则精确到ioK12.用Rcmher吕算法计算积分,h，要求误差不超过12.解用Rnmh，后方法计算积分I；Th,应用公式J0计算结果见表工，，172表4-7k玲丁产00.683940o.Bssssa：.632122C.BB312O10.6452350.632135：.6321.26■■0.6354100.B32121a0.&32943所求积分■\'rix^-==X0.632120^0.71327,Jr°J?r而积分准确值为071兆72.14.用下列方法计算积分J：^d『(DRomh^rg算法.(2)三点及五点Gauss-Legendre求积公式.(3)将:积分区间分为四等分，用复化两点公式14.解(1)用Rnmkr月算法膏=匕&［汽。)_八方］,J-TI=L2「一计算,计算结果如表4.8.表48k£炉F（蜀17yl01.3333331.111111L.OAS25E1.09863011.1666671.0&&9001.O&8640?'1.llefififii.0P5725311QSS10,3I故 一dv 1.098630」1%--

(2)用三点及五点Gauas-Legendre求积公式，需先对求积区间［1,31作如下变换:令y—口一h)--yCb-a)t=s~2.则当yG_L3］时，E6_1J_：旦dT=dh1」—d.y”2-0.5384693y三点Gauss2-0.538469317400.5555556200.55555562+0.7745967+2-0.7745967,-0.8888889X,

jLt■UIVr=1.098039283.^0.2369269五点Guums公式^0.23692692-0.90617982+0.9061798J-0.4786289X2+0.5584693J-4-0.5688889X-t■1.098609289.⑶用复化的两点GauSfi求积公式计算，需将［L3：|工等分.则r4r4「「Jl-iyJ2y—dy44l2」2.5+0.5( Vi3.5+0.5;। ri/ .1JHr2'i4.5—0.5? 2'i5.5—0.5! 1 12.5—0方X(卜3丐2.5-0.5X33.5-t).5X(-3]^)+3.5-0.^34.5+0.5X(-3J/2)+4.5-0.5X35.5-t).5X(-3J/s)+5.5-O.5X31.098537573.=广]—的真值为『=1.098612289.lb.建立Gauss型求枳公式工整加_f(xo)—Aif(.xi)15.解此题可用两种方法求解：第一种利用代数精度，得到之于凤、风、期、伍的一个非线性方程组，求解此方程组，得加、卜、#/L；第一种方法,利用正交事项式的零点作为GaU"点.下亓田箪■神隶融社，17.证明求和公式「L小汨工295/(后币—8曲-5/(-O)：■1■对于次数不高于5的穿项式准确成立，并计算积分隹主必'01-X方法一:验证所给的求积公式是G国uss-Le群ndr纪求积公式.因为=次L已群ndre多项式为At(.x)= —3工).它的3个零点分别为重=一反」1=0,举=O.于是有1八了万工弋.金八一EJ)-4l/(0)-a；/(Oy才一1飞公式对「」•：=一力成口许2=Au—Ai——A?-“0=—10.64一Jo.ej4as.,亏=0.6/ic+0.6Ai.lo故公式jJ(0d…卷[5/(_O)-8/<0}-5y(O)]是Gauss型的，且恰为三点Gauss-Legendre求积公式.其代数精度为5.也可直接住表得4%而、急.JF1计算积分I产d戈：-1—K令工=4。一则.[1±,1ii n*1sin力TOC\o"1-5"\h\zsmjc._1 Z「尸』―五L9 2iLj t=0.2842485.=0.2842485.第五章1.取步长无=0.2,用EuLr法解初值问题6)ry6)r-y(0)=1.1-解/( y)=~y~xy,Eider格式为216/I：：=y*—hf(_Xn,/)=ya—0.2(—ya-*.>；=0-3y*.-0.2Tny*.由T=1计算得>'(o.:)七丁।=0.上.式。.4)=yj=0.S8S8+y(0. =0.鸵95.2.用掷形公式解初值同题y(l)一上，212取步长h=0.2,小数点后至少保留5位.2.解人工，6=3—梯形公式为“1=yn&代%+*)—_f( 1,yoi1)]A9=yn /_匕一3/一8—3joH].jLt料理得显格式为=J__16

川」1科口+11rtli1=yb=2;If!j-式L2)3.=2.30769.式L4)3—=2.并337,式L6)g.=£562581y(1.8)«sp=2.610C2,式Z0Af=N63649.

4.写出用梯形格式的迭代算法求解初值问题jV—V=0..0)=1的计算公式T取步长无=0.1,并求z(0.2)的近似值,要求迭代误差不超过io1.4.解梯形格式的迭代算法为y-Yi=*—九/(*…8)+¥二11=”一与_于1心/)—/(.Vn-l.芦1)［■0»1,2■,■,n=0,1,2t-t,.F是取f(,x,y)=一—有了％1=0.9Xn-,>1；,;=0.95/0-0.05^.由K01=酬=1,经计算有严'=0.9,货’=0.905,p£>=0.90475,

=0.9047625,pJ=0.904761875.因 |p3- |=G..25X10<10\^UJ=0.81428^UJ=0.81428G,=0.818809,川=0.8185&3,川=0lS18595,f=0.8185%.l/?-5rl=i(}-G<io\

叭0.幻土炉=£=0.318594.设有常微分方程初值问题|［一,］"3的单步法

L/(型)=产yo-i=/□一当［/［舒予)-2f(%।1,/=因故得13.214证明该方法是无条件稳定的.13.证对模型方程『=打（1<0,所蛤方法的形式为y(Ayn—2y(Ayn—2Ay--1),因恒有记*为》处的扰动，则有(5.35)式减(5.34)式得件稳定的.19.解因尸工,y）=灯，所以中点公式为yn-1—Yn——hAy- 与Xyn） ."I一口-J"令油=不则）\.—1—7i—^7F}n..设了・上有小扰动工，则ya-i—&ii=1一方（.»—Sc）与上式相减有心:.胃1-n—Ch.显然当且仅当|1+五+三£IW1时，|区+iIW|&|,即所蛤格式是稳定的，解|1+存+才|<1等价F—1*1一方一4胡<1.即-2〈方1-4^〈仇当1一方一为=1时，得五1-4^1=0,即方=0及方=—2,将区间分为229（一巩―2k[―2,0]<0,—8）,仅当方£[一二旧时,一二献1—W■玲W0,故一2W五W0即为绝对稳定区间.所以当步长二f A时,一阶中点公式是稳定的，它是条件稳定的.第七章is.设有解方程12—口+2c-=0的迭代法_,.2XnI1---5"仁01区工H.（1）证明VmEr,均有为方程的根rrr（如取功=4,用此迭代法求方程根的近似值，谩差不超过18.解⑴因迭代函数_ 2 r_ 2qJt.：1=4—亍ESH,中（H）=一亏田口工.£75而对一切工•均有故迭代过程收敛，即均有1加笳=，.值）取依=4,代人迭代式计算有xi=4-4cos4=3.56424.肾=4-4cos3.56424=3.391996.依=4-4cos3.39199c=3.354125,g=4-^cos3.354125=3.34S33.监=4+-|cts3.34833=3.3476299.取—上347即可使误差不超过10IC3）因＞D=一■日inr,卬）|=|看⑥口工”/。澈由推论GJ知.此迭代格式只具线性收敛性.14.证明迭代公式_k式戈;-3a）

G7——― [%/—a是计算工的一一阶方法?假定初值方充分靠近根d,求1， 4〃—Xi+1hm .…（:ia-jcty

14.证显然，当制＞0时＞0（-1,九…，令迭代函数（3J+3口）（3J+仃）一式¥+3加，6工_3(x-a/(3hl-a)-故对匕＞0/炉（喜）|VL即迭代收敛，设设e｝的极限为1,则有LK『一383r—a解得£=0,£=土=.由题知取£=兀.即迭代序列收敛于立一'二（又一方）“就一最故院中迭代式是求短的1阶方法.20.试确定常数pw",使迭代公式_Ia\a

xj：■]—pxi-4；~： r——产生的序列《熊｝收敛到工,并使其收敛阶尽可能高.20.解迭代函数虱了》=「工+守与+r之，，—根据定XX理6.3,要使迭代序列收敛的阶尽可能高，应使/=。，),力/)=0押'(/1=0.由/=仪#*)得p_q_r—1;由力/】=0t得以h1)=p-p—2「5r=0由由")=。,得近3&-6g3^+30r3?-=0,

(W(3’即 q+5r=0.亦即『、*r满足方程：p—<]-「=1+'p—£厂5r=0,

■q—5r=0.9.应用NcwSri法于方程?一。=0,求立方根兀的迭代公式，并讨论其收敛性.9.解方程x~fi=O的根——底用Newton迭代法xt-1=xt――7~」=亏箝一y-jA=0,1,

OXJrO □Xk此公式的迭代函数仪工）=Wx—T-r则 $（父）=亏一言/，由）=0,*./）=j#0,