高中数学人教A版第三章不等式 市赛获奖

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。单元质量评估(三)(第三章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若b<a<0，则下列不等式中正确的是()A.1a>1b C.ba+ab>2 【解析】选C.取b=-2，a=-1代入验证得C正确.2.(2023·赣州高二检测)不等式x-4x-1<1的解集是A.(-∞，-1)∪(3，+∞) B.(-1，1)∪(3，+∞)C.(-∞，-1)∪(1，3) D.(-1，3)【解析】选C.不等式x-4x-1<1化为(即(x-3)(x+1)【补偿训练】不等式x-2x+3A.xB.xC.xD.x【解析】选B.原不等式可化为x-2x+3-2≤0，即-x-8x+33.(2023·太原高二检测)若m<n，p<q且(q-m)(q-n)<0，(p-m)(p-n)<0，则m，n，p，q从小到大排列顺序是()<m<n<q <p<q<n<q<m<n <n<p<q【解析】选B.将p，q看成变量，则m<p<n，m<q<n.4.若变量x，y满足约束条件x≥-1,y≥x, B.2 【解析】选C.可行域是由A(-1，-1)，B(-1，4)，C(1，1)构成的三角形，可知目标函数过C时最大，最大值为3.【补偿训练】设x，y满足约束条件3x-y-6≤0,x-y+2≥0,x≥0,y≥0,若目标函数z=ax+by(a>0，b>0)的最大值为12，则2aA.256 B.83 C.11【解析】选A.不等式组表示的平面区域如图所示的阴影部分，当直线z=ax+by(a>0，b>0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4，6)时，目标函数z=ax+by取得最大值12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而2a+3b=2a+3b·2a+3b6=1365.(2023·邯郸高二检测)已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是() B.4 C.92 D.【解析】选B.考查基本不等式x+2y=8-x·(2y)≥8-x+2y整理得x+2y2+4即x+2y-4又x+2y>0，所以x+2y≥4.当且仅当x=2，y=1时取等号.6.设不等式组x+y-11≥0,3x-y+3≥0,5x-3y+9≤0表示的平面区域为D，若指数函数y=ax的图象上存在区域D上的点A.(1，3] B.[2，3]C.(1，2] D.[3，+∞)【解析】选A.作出区域D的图象，联系指数函数y=ax的图象，能够看出，当图象经过区域的边界点(2，9)时，a可以取到最大值3，而显然只要a大于1，图象必然经过区域内的点，故a的取值范围为(1，3].7.当x>1时，不等式x+1x-1≥a恒成立，则实数a的取值范围是A.(-∞，2] B.[2，+∞)C.[3，+∞) D.(-∞，3]【解析】选D.因为x>1，所以x-1>0，则x+1x-1=x-1+18.(2023·恩施高二检测)已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(-1，3)和(1，1)两点，若0<c<1，则a的取值范围是()A.(1，3) B.(1，2)C.[2，3) D.[1，3]【解题指南】由函数图象经过两点，将两点的坐标代入，可得a，b，c的关系，又因为0<c<1，由此确定a的取值范围.【解析】选a-b+c=3,9.(2023·铁岭高二检测)某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为()A.甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B.甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C.甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D.甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱【解析】选B.设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱.则x+y≤70,10x+6y≤480,x,y∈N,目标函数z=280x+200y，结合图象可得：当x=15，y=55时z最大，10.已知M是△ABC内的一点，且AB→·AC→=23，∠BAC=π6，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为12，x，y， B.18 【解析】选B.因为AB→·AC→=2所以|AB→||AC→|cos所以bc=4，所以S△ABC=12bcsinπ6=因为△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为12所以12+x+y=1，化为x+y=1所以1x+4y=25+25+2yx·4xy=18，当且仅当y=2x=11.已知两点O(0，0)，A(1，1)及直线l：x+y=a，它们满足：O，A有一点在直线l上或O，A在直线l的两侧，设h(a)=a2+2a+3，则使不等式x2+4x-2≤h(a)恒成立的x的取值范围是()A.[0，2] B.[-5，1] C.[3，11] D.[2，3]【解析】选B.由O，A有一点在直线l上可得a=0或a=2，由O，A在直线l的两侧可得a(a-2)<0，解得0<a<2，故0≤a≤2，又函数h(a)=(a+1)2+2在[0，2]上单调递增，所以h(a)max=h(2)=11，h(a)min=h(0)=3，由x2+4x-2≤h(a)恒成立，得x2+4x-2≤3，解不等式可得-5≤x≤1.12.若两个正实数x，y满足1x+4y=1，且不等式x+y4<m2-3m有解A.(-1，4) B.(-∞，-1)∪(4，+∞)C.(-4，1) D.(-∞，0)∪(3，+∞)【解题指南】将不等式x+y4<m2-3m有解，转化为求x+y4min<m【解析】选B.因为不等式x+y4<m2-3m有解，所以x+y4因为x>0，y>0，且1x+4所以x+y4==4xy+y4x当且仅当4xy=所以x+故m2-3m>4，即(m+1)(m-4)>0，解得m<-1或m>4，所以实数m的取值范围是(-∞，-1)∪(4，+∞).二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知不等式x2-ax-b<0的解集为(2，3)，则不等式bx2-ax-1>0的解集为__________.【解析】依题意知方程x2-ax-b=0的两根为2，3，根据根与系数的关系可求得a=5，b=-6，所以不等式bx2-ax-1>0为6x2+5x+1<0，解得-12<x<-1答案：-14.(2023·扬州高二检测)不等式4x-3·2x+2<0的解集是__________.【解析】由4x-3·2x+2<0⇒(2x)2-3·2x+2<0⇒(2x-1)(2x-2)<0⇒1<2x<2.所以0<x<1，故不等式的解集是{x0<x<1}.答案：{x0<x<1}15.已知f(x)=32x-k·3x+2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围为________.【解题指南】当x∈R时，f(x)>0恒成立，分离出参数，转化为求最值问题，利用基本不等式求最值.【解析】由f(x)>0，得32x-k·3x+2>0，解得k<3x+23x，而3x+23x≥2答案：(-∞，22)【补偿训练】不等式x+3+x-1≥a2-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为【解析】依题意，x+3+x4≥a2-3a，解得-1≤a≤4.答案：[-1，4]16.(2023·盐城高二检测)设m>1，已知在约束条件y≥x,y≤mx,x+y≤1下，目标函数z=x2+y2的最大值为23【解题指南】由题意作出其平面区域，z=x2+y2可看成阴影内的点到原点(0，0)的距离的平方，求阴影内的点到原点(0，0)的距离为23【解析】由题意作出其平面区域，z=x2+y2可看成阴影内的点到原点(0，0)的距离的平方，则由题意得x解得，点C的坐标为12则m=12+3答案：2+3三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2023·潍坊高二检测)已知a>0，b>0，且a≠b，比较a2b+【解析】a2b+b2a-(a+b)=a2b=(a2-b2)a-bab=又因为a>0，b>0，且a≠b，所以(a-b即a2b+所以a2b+18.(12分)(2023·苏州高二检测)已知函数f(x)=x2+ax+6.(1)当a=5时，解不等式f(x)<0.(2)若不等式f(x)>0的解集为R，求实数a的取值范围.【解析】(1)因为当a=5时，不等式f(x)<0即x2+5x+6<0，所以(x+2)(x+3)<0，所以-3<x<-2，所以不等式f(x)<0的解集为{x|-3<x<-2}.(2)不等式f(x)>0的解集为R，所以关于x的一元二次不等式x2+ax+6>0的解集为R，所以Δ=a2-4×6<0⇒-26<a<26，所以实数a的取值范围是(-26，26).【拓展提升】恒成立问题的解决策略(1)不等式ax2+bx+c>0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是当a=0时，b=0，c>0；当a≠0时，a(2)不等式ax2+bx+c<0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是当a=0时，b=0，c<0；当a≠0时，a(3)fx≤a恒成立⇔fxmax≤a，fx≥a恒成立⇔f19.(12分)(2023·重庆高二检测)已知x>0，y>0，x+2y-xy=0.(1)求xy的最小值.(2)求x+y的最小值.【解析】(1)因为x>0，y>0，x+2y-xy=0，所以xy=x+2y≥2x·2y当且仅当x=2y=4时取等号.所以xy的最小值是8.(2)由x+2y=xy，解得y=xx-2所以x+y=x+xx-2=x-2+22(x-2)·2x-2当且仅当x=2+2，y=1+2时取等号，所以x+y的最小值为22+3.20.(12分)(2023·南昌高二检测)若a<1，解关于x的不等式ax【解析】不等式axx-2>1可化为因为a<1，所以a-1<0，故原不等式可化为x-故当0<a<1时，原不等式的解集为x2<x<当a<0时，原不等式的解集为x2当a=0时，原不等式的解集为⌀.21.(12分)(2023·黄山高二检测)电视台与某广告公司签约播放两部影片集，其中影片集甲每集播放时间为19分钟(不含广告时间，下同)，广告时间为1分钟，收视观众为60万；影片集乙每集播放时间为7分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万，广告公司规定每周至少有6分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于80分钟的节目时间(含广告时间).(1)问电视台每周应播放两部影片集各多少集，才能使收视观众最多.(2)在获得最多收视观众的情况下，影片集甲、乙每集可分别给广告公司带来a和b(万元)的效益，若广告公司本周共获得3万元的效益，记S=8a+5b为效益调和指数(单位：万元)【解析】(1)设影片集甲乙分别播放x，y集，由题意得x+y≥6,要使收视观众最多，只要z=60x+20y最大即可.作出可行域，如图由x+y=6,20x+8y=80,解得A所以满足题意的最优解为(2，5)，zmax=60×2+20×5=220，故电视台每周影片集甲播出2集，影片集乙每周播出5集，能使收视观众最多.(2)由题意得：2a+5b=3，则S=8a+5b=13(=13当且仅当a=23，b=1322.(12分)某小区有一块三角形空地，如图△ABC，其中AC=180米，BC=90米，∠C=90°，开发商计划在这片空地上进行绿化和修建运动场所，在△ABC内的P点处有一服务站(其大小可忽略不计)，开发商打算在AC边上选一点D，然后过点P和点D画一分界线与边AB相交于点E，在△ADE区域内绿化，在四边形BCDE区域内修建运动场所.现已知点P处的服务站与AC距离为10米，与BC距离为100米，设DC=d米，试问d取何值时，运动场所面积最大？【解析】方法一：以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则C(0，0)，A(0，180)，B(90，0)，P(10，100)，D(0，d)，DE直线方程：y-100=d-100AB所在直线方程为2x+y=180，②解①，②组成的方程组得，xE=10d-1800因为直线DE经过点B时d=2252所以0<d<2252S△ADE=12AD·|xE|=12·(180-d)·设120-d=t∈152S△ADE=5·(=5·t+因为t+3600t≥120(当且仅当t=60，即k此时d=120-t=60，所以当d=60时，绿化面积最小，从而运动区域面积最大.方法二：如图，分别过点P，E作AC的垂线，垂足为点Q，F.设EF=h，若如图1所示，则PQ=10，CQ=100，DQ=100-d，由△AFE∽△ACB得AF180=即AF=2h，从而C