4章培优2 数列求和的方法(精讲)

4章优数求的法

考一裂相

则则【例云弥勒市一中月考（理）若列

项和

满足

.(1)求证数列

n(2)设

logn2

，求数列n项和b

.【答案）详见解析（）

T

【解析】证明：当

时，

a2a11

，计算得出

a1

，当时根据题意得，

，所以S

nn

，即

aanann

，即

nn

数，公比为2的比数列由（1）知，

nn

nlognn2

n

n

1n

，T

13n【一隅三反】1湖天·长郡中学月）设列

1

2a（n2nn

3

.（）

式（）数列项.ann【答案）

an

（nN

*

）

13(2n【解析】

2ann

(

2可知数列

是等差数列设差为d,因为

a1

,所

ad1231

,解得

,所以

的通项公式:

a2nn

(N

*

);

(2)由1)

n

113)n2n

,1所以数列项:an1S592

1n3n3n1)(2n

.2石山市第三中学月考）已知

n

是公差不为零的等差数列，

a1

，且

a1

成等比数列（）数列

n

式（）数列项.an【答案）

an

）

Sn

【解析）设等差数列

n

d

（d

为

a1

，a,a1

成等比数列，所以

3

2

a，即)1

2

d)

，解得d（舍去）或d，以

an

，（）（）得

111(nnnn

，所以

11n3nnn考二错相【例贵省思南中学月考）已知数列{}n{}的通项公式；（）数列n

满足

anann

，且

a1（）

bnn

n

，求数列

{b}前项.n【答案）

an

）

Sn

n

N*)

.【解析）

nn

，得nnnn，得nnnnn

时，有

aa23a1

2341n

a，即a1

，故

an

，又

时也适合该式，n（）为

bn2

，所以

S13n

2

n

①则

S2n

2

3

4

2

n

②①②得，1n

nn

2(1)21

nnN*).n【一隅三反】1赣榆智贤中学月考数

的等差列项为S足S2

，且

，a，a125

恰为等比数列

n

．（）数列

n

式（）

cn

，数列

项为，求证：n

Tn

．【答案）

an

，

n

n

）解析【解析）由题意，

ad2a2

，由

，得

a1

，d．以

a2nn

．由

，

，得公比

q

，所以

n

n

．（）为

n13c，所以3n303

①得

15nnT33nn

②①②得

2nT323

nnnn

n

2nn

．所以

Tn

33n

．从而

Tn

．2江苏泗·桃州中学月考数

n

项n

项为

n

，

且b3

.（）

n

式（）

cn

，求数列

项和

.【答案）

an；bnn

3n【解析）当n时

=S=4；1当n2

时，

n

n

nn2

，且

亦满足此关系，∴

ann设

，则

3

63

，则

q

2

，∴

bnn3

；（）题意，

3ncn

，而

103n2n2

，2T4

3nn

，两式相减，有

2

，3n214．3江泗·桃州中学月考）已知数列

满足

ann

(n

，

1

.（）数列

式

（）数列

n

项

(

.【答案）

n

n

）

nn

n

(

．【解析）∵

a2an

，∴

，而

，∴数列

{a等数列，公比为1，首项为，∴

n

n

，∴

n

；（）（）

na

，S(2n

2

n

)(1

2

n

)设

Tn

2

n

，则

n

2

3

n

n

，两式相减得

n

n

n

，∴Tn

，∴

nn

n

．考三分求【例赣智贤中学月考）已知等差数列

项和为S

，等比数列

n

项和T

.若

a，a112

，（）数列

n

式（）数列

nn

项和.【答案）

a2n

n

（）

32【解析）由

a,a114

，则

4134

123

，设等差数列

d

，则

ad621

，所以

d

，

bbbb所以

a2nn

，设等比数列

n

q，

a

4

2

，b，解得q，以q2n，（）n

n

n

，数列

n

项

n

n

32

32【一隅三反】1河高二月考数列

n

项

T

各项均不相等的等差数列

n

，且，，成比数列，15（）数列

n

n

式（）

a2n

2

，求数列

项和S．n【答案）

n1

，

2n

n

）

2

2n3

．【解析）设数列

n

，则

，2

，∵，，成比数列，∴15

b2

，即

．整理得

d2bd1

，解得d（去）或

d221

，∴

n1

．当

时，

c

，当2

时，

cn

．验证：当时

c

满足上式，∴数列

n

式

n

2

n

．（）（），

n

2n

2n

，

∴

5

21

n2

2

n3

2

．2河高二月考（理）已在等比数列式（）数列

中，

a，是和13

的等差中项（）数列

n

bn

n

.【答案）

n

n1

）

Snn

.【解析）设等比数列

，q，q，a2131

2

2

，由于是和a1

的等差中项，即

2a213

，即

q

2

，解得

q

2

.因此，数列

式

aqnn1

；（）

2n2nnn

n

，23

(2

n

2

n

n(2n21

2

n

3天市第一中学）已知等比数列

n

的各项均为正数，

，

a34

.（）数列

n

式（）

baann

，求数列

项

.【答案）

n

n1

（）

n

n

(n【解析）设公比为

由题意可知

qq1

，整理得

q

2

0

，解得

q

（舍

q

2

，即

a1则

n

n

n

nfSfSfnfSfSf（）

nlog2n1n((12考四倒相【例全高三其他（文）已函数

f

，若f

2

f

2018

0)

1，则的小值为（

）A．2

B4

C．6

D．8【答案】A【解析】由题可知：f

ln令

f

f

又

f

2017

f

于是有S

2018ln

因此所以

a1b1a22bba2当且仅当

a

时取等号本题正确选项：【隅反1江高二期中）设函数

f

，利用课本（苏教版必修5

）中推导等差数列前项的方法，求得

f

的值为（）A．

B

C．

D．

【答案】B

xx24fnxx24fn【解析】

f

，

2

x

2222x222xx

，设则

，，两式相加得故选：

2S

，因此，S.2浙丽·高二月考）已知函数

f

x

，则f

1

f

f

3

f

4033

的值为（）A．C8066【答案】D

B．-4033D．8066【解析】

f

，所以原式

.3江常熟中学月考）已知函数

4

4xx

，设

n

（n

数列

2019项

的值为（）A．

B

C．

D．

【答案】A【解析】因为

4

41，所以fx44所以f4x4x

因为所以

fn

，

n2019ff

a

120181.120181.所以

an

，则数列

的前2018项

2018

，则

20182

2018

2018

2018

2017

所S，以12018又

f

42f，S10092019故选：A考五奇并【例湖高二月考）设N*，列

项为S，知n

，______.请在①

，，a2

成等比数列，②

，③S

，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题（）数列

式（）数列

n

满足bn

a

n

，求数列

项和Tn【答案）答案见解析答案见解.【解析】选①）由

得：an

为首项2为公差的差数列∴数列由a，a，a成比数列得511a∴

，解得

a1

.（）n

n

，2

2

n

.选②）

得an

2∴数列

为首项2为公差的差数列

由

得a，得a1

，∴

a

*

.（）n

n

n

，∴T2

222

..

2

n

.选③）理，由

得a

∴数列

为首项2为公差的差数列，由355

得

d35，得11

，∴

an

*

（）n

n

，∴

2n

2

2

n

n

.【一隅三反1（广东汕金山中学高二月考（理）设S是数列n式⑴求数列

项，已知

a，2a1n

n⑵设

b1n

，求数列

项和．【答案）

为数（）nn偶数【解析）因为

2an

n

，所以当2

时，

ann两式相减得

an

n

a

n

，

所以

1当

时，

a1

，a2

，则

2

所以数列

，公比为

12

的等比数列，故

（）（）得

b所以

T

故当为数时，

当n为偶数时，

n

1为数2综上nn偶数22内古集宁一中期中（理）已数列的通项公式；(1)求数

项为SSnn

．(2)若b3

，求数列

和

．【答案）

a

n偶数）nn奇数【解析）当n

时，

2a1

.