高中数学人教A版1第二章圆锥曲线与方程单元测试【省一等奖】

第二章圆锥曲线与方程测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x－4y－12＝0上，那么抛物线的方程是（）A．y2＝－16xB．y2＝12xC．y2＝16xD．y2＝－12x2．设F1，F2分别是双曲线x2－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且|PF1|＝5，则|PF2|＝（）A．5B．3C．7D．3或73．已知椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，F1，F2分别为其左、右焦点，椭圆上一点M到F1的距离是2，N是MF1的中点，则|ON|的长为（）A．1B．2C．3D．44．“2<m<6”是“方程eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）的焦距为4，一个顶点是抛物线y2＝4x的焦点，则双曲线的离心率e等于（）A．2B．eq\r(3)C．eq\f(3,2)D．eq\r(2)6．已知点A（3，4），F是抛物线y2＝8x的焦点，M是抛物线上的动点，当|AM|＋|MF|最小时，M点坐标是（）A．（0，0）B．（3，2eq\r(6)）C．（3，－2eq\r(6)）D．（2，4）7．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）的离心率为eq\f(\r(5),2)，则椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的离心率为（）A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(3),2)D．eq\f(\r(2),2)8．设F1，F2是双曲线x2－eq\f(y2,24)＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（）A．4eq\r(2)B．8eq\r(3)C．24D．489．已知点A（1，2）是抛物线C：y2＝2px与直线l：y＝k（x＋1）的一个交点，则抛物线C的焦点到直线l的距离是（）A．eq\f(\r(2),2)B．eq\r(2)C．eq\f(3\r(2),2)D．2eq\r(2)10．若点O和点F分别为椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值为（）A．6B．3C．2D．811．已知以F1（－2，0），F2（2，0）为焦点的椭圆与直线x＋eq\r(3)y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（）A．3eq\r(2)B．2eq\r(6)C．2eq\r(7)D．eq\r(7)12．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线交双曲线的左、右支分别于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±3xB．y=±2xC．y=±（1+）xD．y=±（－1）x二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上）13．抛物线y＝4x2的焦点到准线的距离是＿＿＿＿＿．14．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是＿＿＿＿＿．15．若点P在曲线C1：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1上，点Q在曲线C2：（x－5）2＋y2＝1上，点R在曲线C3：（x＋5）2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是＿＿＿＿＿．16．已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，点A（eq\f(7,2)，4），则|PA|＋|PM|的最小值是＿＿＿＿＿．17．已知F1为椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A、B两点，则|F1A|＋|F1B|的值为＿＿＿＿＿．18．过抛物线y2=2px（p>0）的焦点作斜率为的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在y轴上的正射影分别为D，C，若梯形ABCD的面积为10，则p=＿＿＿＿＿．三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）已知双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(4,3)x，并且焦点都在圆x2＋y2＝100上，求双曲线方程．20．（10分）已知点P（3，4）是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1（a＞b＞0）上的一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若PF1⊥PF2．试求：（1）椭圆的方程；（2）△PF1F2的面积．21．（10分）抛物线y2＝2px（p>0）有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y＝2x，斜边长为5eq\r(13)，求此抛物线方程．22．（10分）已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A、B是抛物线C上的两个动点（AB不垂直于x轴），且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q（6，0），求此抛物线的方程．23．（10分）设双曲线C：eq\f(x2,a2)－y2＝1（a>0）与直线l：x＋y＝1相交于两点A、B．（1）求双曲线C的离心率e的取值范围；（2）设直线l与y轴的交点为P，且eq\o(PA,\s\up10(→))＝eq\f(5,12)eq\o(PB,\s\up10(→))，求a的值．24．（10分）已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1（a>b>0）的离心率为eq\f(\r(6),3)，且经过点（eq\f(3,2)，eq\f(1,2)）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（0，2）的直线交椭圆C于A，B两点，求△AOB（O为原点）面积的最大值．参考答案一、选择题1．C2．D3．D4．B5．A6．D7．C8．C9．B10．A11．C12．C提示：1．由题设知直线3x－4y－12＝0与x轴的交点（4，0）即为抛物线的焦点，故其方程为y2＝16x．2．因为双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝2，所以|PF2|＝7或3．3．由题意知|MF2|＝10－|MF1|＝8，ON是△MF1F2的中位线，所以|ON|＝eq\f(1,2)|MF2|＝4．4．若eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示椭圆，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2>0，,6－m>0，,m－2≠6－m，))所以2<m<6且m≠4，故2<m<6是eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示椭圆的必要不充分条件．5．依题意，得c＝2，a＝1，所以e＝eq\f(c,a)＝2．6．由题知点A在抛物线内．设M到准线的距离为|MK|，则|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MK|，当|MA|＋|MK|最小时，M点坐标是（2，4）．7．因为在双曲线中，e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)＝eq\f(5,4)，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，在椭圆中，e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝1－eq\f(b2,a2)＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，所以椭圆的离心率e＝eq\f(\r(3),2)．8．由P是双曲线上的一点和3|PF1|＝4|PF2|可知，|PF1|－|PF2|＝2，解得|PF1|＝8，|PF2|＝6，又|F1F2|＝2c＝10，所以△PF1F2为直角三角形，所以△PF1F2的面积S＝eq\f(1,2)×6×8＝24．9．将点（1，2）代入y2＝2px中，可得p＝2，即得抛物线y2＝4x，其焦点坐标为（1，0），将点（1，2）代入y＝k（x＋1）中，可得k＝1，即得直线x－y＋1＝0，所以抛物线C的焦点到直线l的距离d＝eq\f(|1－0＋1|,\r(2))＝eq\r(2)．10．由椭圆方程得F（－1，0），设P（x0，y0），则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝（x0，y0）·（x0＋1，y0）＝xeq\o\al(2,0)＋x0＋yeq\o\al(2,0)，因为P为椭圆上一点，所以eq\f(x\o\al(2,0),4)＋eq\f(y\o\al(2,0),3)＝1，所以eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝xeq\o\al(2,0)＋x0＋3（1－eq\f(x\o\al(2,0),4)）＝eq\f(x\o\al(2,0),4)＋x0＋3＝eq\f(1,4)（x0＋2）2＋2，因为－2≤x0≤2，所以eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值在x0＝2时取得，且最大值等于6．11．根据题意设椭圆方程为eq\f(x2,b2＋4)＋eq\f(y2,b2)＝1（b>0），则将x＝－eq\r(3)y－4代入椭圆方程，得4（b2＋1）y2＋8eq\r(3)b2y－b4＋12b2＝0，因为椭圆与直线x＋eq\r(3)y＋4＝0有且仅有一个交点，所以Δ＝（8eq\r(3)b2）2－4×4（b2＋1）（－b4＋12b2）＝0，即（b2＋4）·（b2－3）＝0，所以b2＝3，长轴长为2eq\r(b2＋4)＝2eq\r(7)．12．根据双曲线的定义有|CF1|－|CF2|=2a，而|BC|=|CF2|，那么2a=|CF1|－|CF2|=|CF1|－|BC|=|BF1|，而又由双曲线的定义有|BF2|－|BF1|=2a，可得|BF2|=4a，由于过F1作圆x2+y2=a2的切线交双曲线的左、右支分别于点B、C，那么sin∠BF1F2=，那么cos∠BF1F2=，根据余弦定理有cos∠BF1F2==，整理有b2－2ab－2a2=0，即（）2－2－2=0，解得=1+（=1－<0舍去），故双曲线的渐近线方程为y=±x=±（1+）x．二、填空题13．eq\f(1,8)14．eq\f(x2,81)＋eq\f(y2,72)＝115．1016．eq\f(9,2)17．eq\f(8\r(2),3)18．3提示：13．由x2＝eq\f(1,4)y知，p＝eq\f(1,8)，所以焦点到准线的距离为p＝eq\f(1,8)．14．依题意知：2a＝18，所以a＝9，2c＝eq\f(1,3)×2a，所以c＝3，所以b2＝a2－c2＝81－9＝72，所以椭圆方程为eq\f(x2,81)＋eq\f(y2,72)＝1．15．依题意得，点F1（－5，0）、F2（5，0）分别为双曲线C1的左、右焦点，因此有|PQ|－|PR|≤|（|PF2|＋1）－（|PF1|－1）|≤||PF2|－|PF1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ|－|PR|的最大值是10．16．设抛物线y2＝2x的焦点为F，则F（eq\f(1,2)，0），又点A（eq\f(7,2)，4）在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x＝－eq\f(1,2)，则|PM|＝d－eq\f(1,2)，又|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5，所以|PA|＋|PM|≥eq\f(9,2)．17．设点A（x1，y1），B（x2，y2），则由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝x－1，))消去y整理得3x2－4x＝0，解得x1＝0，x2＝eq\f(4,3)，易得点A（0，－1）、B（eq\f(4,3)，eq\f(1,3)）．又点F1（－1，0），因此|F1A|＋|F1B|＝eq\r(12＋－12)＋eq\r(\f(7,3)2＋\f(1,3)2)＝eq\f(8\r(2),3)．18．由抛物线y2=2px（p>0）得其焦点F（，0），直线AB的方程为y=（x－），设A（x1，y1），B（x2，y2）（假定x2>x1），由题意可知y1<0，y2>0，联立，整理有y2－2py－p2=0，可得y1+y2=，y1y2=－p2，则有x1+x2=，而梯形ABCD的面积为S=（x1+x2）（y2－y1）==10，整理有p2=9，而p>0，故p=3．三、解答题19．解：设双曲线的方程为42·x2－32·y2＝λ（λ≠0），从而有（eq\f(\r(|λ|),4)）2＋（eq\f(\r(|λ|),3)）2＝100，解得λ＝±576，所以双曲线的方程为eq\f(x2,36)－eq\f(y2,64)＝1和eq\f(y2,64)－eq\f(x2,36)＝1．20．解：（1）因为P点在椭圆上，所以eq\f(9,a2)＋eq\f(16,b2)＝1，①又PF1⊥PF2，所以eq\f(4,3＋c)·eq\f(4,3－c)＝－1，得：c2＝25，②又a2＝b2＋c2，③由①②③得a2＝45，b2＝20，则椭圆方程为eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,20)＝1；（2）S＝eq\f(1,2)|F1F2|×4＝5×4＝20．21．解：设抛物线y2＝2px（p>0）的内接直角三角形为AOB，直角边OA所在直线方程为y＝2x，另一直角边所在直线方程为y＝－eq\f(1,2)x，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,y2＝2px，))可得点A的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))；解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)x，,y2＝2px，))可得点B的坐标为（8p，－4p）．因为|OA|2＋|OB|2＝|AB|2，且|AB|＝5eq\r(13)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p2,4)＋p2))＋（64p2＋16p2）＝325，所以p＝2，所以所求的抛物线方程为y2＝4x．22．解：设抛物线的方程为y2＝2px（p>0），其准线方程为x＝－eq\f(p,2)，设A（x1，y1），B（x2，y2），因为|AF|＋|BF|＝8，所以x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝8，即x1＋x2＝8－p，因为Q（6，0）在线段AB的中垂线上，所以QA＝QB，即（x1－6）2＋yeq\o\al(2,1)＝（x2－6）2＋yeq\o\al(2,2)，又yeq\o\al(2,1)＝2px1，yeq\o\al(2,2)＝2px2，所以（x1－x2）（x1＋x2－12＋2p）＝0，因为x1≠x2，所以x1＋x2＝12－2p，故8－p＝12－2p，所以p＝4，所以所求抛物线方程是y2＝8x．23．解：（1）联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－a2y2－a2＝0，,x＋y＝1，))消y得x2－a2（1－x）2－a2＝0，即（1－a2）x2＋2a2x－2a2＝0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(－2a2,1－a2)，,x1x2＝\f(－2a2,1－a2).))因为与双曲线交于两点A、B，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a2≠0，,4a4＋8a21－a2>0))，可得0<a2<2且a2≠1，所以e的取值范围为（eq\f(\r(6),2)，eq\r(2)）∪（eq\r(2)，＋∞）；（2）由（1）得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(－2a2,1－a2)，,x1x2＝\f(－2a2,1－a2).))因为eq\o(PA,\s\up10(→))＝eq\f(5,12)eq\o(PB,\s\up10(→))，所以x1＝eq\f(5,12)x2，则eq\f(17,12)x2＝