2021高考理数真题试卷(全国Ⅲ卷)带答案解析

iiiiiiiii2021高理真试（国）一、选题：本题共小题，小题分，共分。（共12题；共分）已集合A={-1，，1，，，则A）A.{-1，，B.{0，C.{-1，D.{0，，【答案】【考点】交集及其运算【解析】【解答】解集，{|

，则

，故答案为：【分析】先求出集合B，再利用交集的运算即可得结.若z（1+i，z=（）A.-1-iB.-1+iC.1-i1+i【答案】【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：，

)

i

，故答案为：【分析】利用复数的乘除运算，即可求出复数z的数式.《西游记《三国演义水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并成为国古典小说四大名著。某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位阅读过《红楼梦》的学生共有80位阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有位则校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8【答案】C【考点】集合中元素个数的最值【解析】【解答】解：设集合表阅读过《西游记》的学生，集合B表阅读过《红楼梦》的学生，依题意，可得学生人数分别为

，，

，

，，(=70，70该阅读过《西记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为，故答案为：【分析】利用集合中元素个数的关系式()

列式，得到阅读过《西游记》的学生人数，即可求出与该校学生总数比值的估计.

434444，结合rn5313531434n43434444，结合rn5313531434n43′,，3A.12B.16C.2024【答案】【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】解的项公式为展式中x的数为4，

r

，故答案为：【分析】由已知利用)的项公式为

即求出展开式中3

的系数已各项均为正数的等比数{}的前4项和为，且a=3a+4a，则a=（）A.16842【答案】C【考点】等比数列的通项公式【解析】【解答】解a=3a+4a，则

，

，434，解得4或

（舍）各均为正数，等数列a}前项和为，

1

，得，3

，故答案为：【分析由已知利用等比数列的项公式列式，得到q=2，由前项和为15列式，解得

，即可求出的.已曲线y=ae+xlnx点（，）处的切线方程为y=2x+b，（）A.a=e，b=-1B.a=e，a=e-1，b=1-1，b=-1【答案】【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：依题意，点1，）已知曲线

𝑥

𝑥ln𝑥上，

，切的斜率′

，切方程为，𝑒，解得，故答案为：【分析】由已知可得点1，）曲线𝑦

𝑥

𝑥ln𝑥上求导并代入x=1得切线斜率的表达式，利用切线的斜率和点（，）切线上列式，解得

即可得结果函

𝑥𝑥−𝑥

，在-6,6]图像大致为（）2

f332ff3f332ff3A.D.【答案】B【考点】函数的图象【解析】【解答】解

−x

−x

(

，此数是奇函数，排除选项C；又当时，

2×44−4

，除选项A，故答案为：【分析利函数的奇偶性排选项C再把x=4代入求值，利用特值法排除选项A，，即可判断得到函数的大致图象如，点N为方形ABCD的心eq\o\ac(△,)ECD为三角形，平面平，是线段的点，则（）A.BMEN，且直线BM、是相交直线BM=EN，且线BMEN是面直线【答案】B【考点】平面的基本性质及推论【解析】【解答】解：连接，，，图：

B.≠EN，且直，EN是交直线BM≠EN，且线，EN是面直线3

M，N分是线段，的点MN，直，确定一个平面，直BMEN是交直线，设正方形ABCD的边长为a则DE=a，

aDE≠DB，BMD与不等，故答案为：【分析】由已知可证MNBE，到直线，确一个平面，可证直线BM，是交直线，再由BMDeq\o\ac(△,)END不全等，得到BM，即可判断得结论执下边的程序框图，如果输入的𝜀为0.01，则输出的值等于（）4

B.,1+，不满足条件，继续循环；第3次22311,，满足B.,1+，不满足条件，继续循环；第3次22311,，满足条件，结束循环，输出S的，即212122𝑦B.22𝑥𝑦6||4A.

1114567【答案】C【考点】程序框图【解析答：执行已知程序框图，第1次：

1

，不满足条件，继续循环；第次：

111

，不满足条件，继续循环…；第7次

111767112

16

，故答案为：【分析行已知程序框图，进循环计算，直到满足条件，结束循环，由

1712

16

，即可求出输出S的.10.双曲线积为（）

𝑥4

的右焦点为点P在C的一条渐近线,为标原点若则PFO的A.

34

√

3【答案】【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解双线C：

=1，4

，

6

，

，渐近线方程为，设P在渐进线上过作

，如图：|

，POF是腰三角形

，代入渐进方程中可得

3

，

1

，故答案为：5

3（3𝑓（）＞𝑓（3）＞（31fff4，4，23（3𝑓（）＞𝑓（3）＞（31fff4，4，2<2）＞（31f4

，过P作

，由

，eq\o\ac(△,)是腰三角，求出|，可求eq\o\ac(△,)的面.211.设（）定义域为R的函数，且在0，+∞）调递减，则（）A.（

14

𝑓（

3223

）

B.𝑓（

14

𝑓（

2332

）（

3223

）＞𝑓（

14

）

（

2332

）＞（14

）【答案】C【考点】不等式比较大小【解析】【解答】解是义域为R的偶数，f3

，)3

3

又

3223

，

3232233323

43

，在(0,单调递减，（

3223

）＞（

14

），故答案为：【分析】由已知是函数，得到

f

，用𝑓(的单调性，即可比较大.312.设函数f（=sinωx+

𝜋5

）（），已如f（）在0，有且仅有5个点，下述四个结论①f（（，有仅有3个大值点（（，有仅有个极小值③（，

𝜋10

）单调递增④ω的值范

125

，

10

）其中所有正确结论的编号是（）A.①B.②C.①①【答案】【考点】由（）部分图象确定其解析式【解析】【解答】解：由已知画出函数的大致图象，如图：6

ππ55π5ππ5πππnn121𝑆5=2𝑆511111222𝑦1ππ55π5ππ5πππnn121𝑆5=2𝑆511111222𝑦122222由图可知在）有且仅有3个大值点，故正确；

π

在EF之，靠近点，有且仅有2个小点，靠近点，有且仅有3个小值点，②错；令𝑓(，可得，的坐标分别为

24,ωω

，则

24ω

ω

，解得的取值范围是

125

，)，④正；由可的最10大值ω，到函数在单递增，即在（0,5

10

）单调递增，故正确，故答案为：【分析】由已知画出函数的大致图象，利用图象得正确，错误，再利用函数𝑓(的质得到③正确，即可得结论二、填题:本题共4小题,每题分,共20分.（共4题；共分13.已知，b单位向量，且a-b=0，c=2a-5

b则cos<a，。【答案】

【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析【解答】解1，·𝑏，√5𝑏，展开整理可得，又5故答案为：.

，

，【分析知

5

，展开整理可得|，再求出，代入向量的夹角公式即可14.记S为差数列a项，若a≠0a=3a，则【答案】4【考点】等差数列的前n项和

10𝑆

=________。【解析】【解答】解等数列n}1，1

，

1

，

10𝑆

105+10

10025

，故答案为：【分析】由已知得到

1

，利用等差数列的求和公式，代入化简即可求.15.设，F为圆C

36

的个焦点，为上一点且在第一象限，eq\o\ac(△,)F为腰角形，则M的坐标________。【答案】15)【考点】椭圆的简单性质【解析】【解答】解椭C:

36

𝑦

1，则5

，4，−4,0),1

，设

,，

036

0

1

，1

为等腰三角形，|

1

，7

01111110111111

√(②，①②解得000

，则M的坐标为√

，故答案为：√.【分析】由已知M为C上一点，得到

2203620

，再由

为等腰三角形，得到|

2

，利用两点间的距离公式，得到√(22，由②可解出的坐标0016.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型，如图，该模型为长方体ABCD-ABD，挖去四棱推O一EFGH后得的几何体，其中O为方体的中心，，，别为所在棱的中点，，，打印所原料密度为2质量为_______g.

，不虑打印损耗，制作该模型所需原料的【答案】118.8【考点】组合几何体的面积、体积问题【解析】【解答】解EF，分为所在棱的中点，6

，四锥—EFGH的积2

四边形

1

122

，又长体𝐴𝐵，

的体积×62

，该型的体积

2制该模型所需料的质量为，故答案为118.8.【分析】由已知得到四棱锥O-和长方体

的体积，求出该模型的体积

2

，即可求出制作该模型所需原料的质.三、解题，共70分，第17~21题为必考，每个题考生都必作答。、23题为选考题，生根据要求答：（5题；共分）17.为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只鼠随机分成A，两，每组100只其中组鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同。经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分根试验数据分别得到如下直方图：8

2sin，故，故eq\o\ac(△,𝐴)eq\o\ac(△,)𝐶°𝑐2sin，故，故eq\o\ac(△,𝐴)eq\o\ac(△,)𝐶°𝑐sin𝐴𝐶)．eq\o\ac(△,𝐴)eq\o\ac(△,)𝐶记为件：乙子残留在体内的百分比不低于”，根据直方图得到（）的估计值为0.70.（）乙离子留百分比直方图中，的；（）别估计，乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中值为代表）【答案】（）：由已知得，a=0.35–0.70=0.10．（）离子残百分比的平均值的估计值为乙离子残留百分比的平均值的估计值为【考点】频率分布直方图，众数、中位数、平均数【解析析已利用频率分布直方图，百分比不低于的估计值为列式，即可求出a，b的值；2）频率分布直方图平均数的计算公式利用区间的中点值为代表列式，即可求出平均18.ABC的角、C的边分别为，，，知

𝐴𝐶2

𝐴（）；（）eq\o\ac(△,)为角三角形，且，eq\o\ac(△,)ABC面积的取值范围【答案】（）：由题设及正弦定理得

𝐴𝐶2

．因为sinA0所以

𝐴𝐶2

．由𝐴𝐶°，得

𝐴𝐶2

2222

．因为cos

22

，因此．（）题设及1）eq\o\ac(△,)ABC的积4

．由正弦定理得

2tan

．由于ABC为角三角形，故0°<A<90°，，，所以，从而29

2

2，

,,因此eq\o\ac(△,)面积的取值范围是

3382

．【考点】正弦定理的应用，三角形中的几何计算【解析【析】1）已知利用正弦定理列式，结合诱导公式化简，即可求出角B的值；2）用正弦定理列式，结eq\o\ac(△,)为角三角形得到

12

2，即可求eq\o\ac(△,)ABC面的取值范围．19.图1是矩形ADEB、eq\o\ac(△,)ABC和菱形BFCC组的一个平面图形，其中，BE=BF=2，FBC=60°，将其沿AB，折使得BE与BF重，连结DC，如题（）明：图中的AC，G，四共面，且平面ABC平；（）图2中的二面角B-CG-A的小【答案（：由已知得BECG，所以ADCG故，确定一个平面，从而A，，G，四共面．由已知得BE，，故AB平．又因为平面ABC，所以平面ABC平面．（EHBC垂足为．为EH平，面BCGE平ABC，以EH平ABC．由已知，菱形BCGE的边长为2EBC=60°，求得BH=1，3

．以为标原点，

的方向为x10

即,时，′；当𝑥即,时，′；当𝑥时,(,单调递增，在(0,+∞时，′；3轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H–xyz，

则A（–1，0）C（，，）（，，

），

（，，

），

=（，–10）．设平的法向⋅量为=（，，），则{

所以可取（，，–

）．又平面的向量可取为（，，）所以

．因二面角–CG–A的大小为．【考点】平面与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角【解析【分析】（1）已知可证CG，到，确一个平面，即可证明结论；2）作辅助线，可证EH平ABC，再建立空间直角坐标系，求出平面与面的法向量，代入向量的夹角公式，即可求出二面角–A的小20.已知函数（）3-ax+b.（）论f（）单性；（是否存在a，，得区，的小值为1且大值为？存在，求出，的有值；若不存在，说明理由。【答案】（）：．令′，x=0或𝑥.若a>0，则当𝑥∞(

′(．𝑓(在∞

单调递减；若a=0在,

单调递增；若a<0则当(∞

,

时，′(．在∞,∞单递增，在,（）足题设件的b存在.

单调递减.（）当a时由）知，在，单递增，所以在间0的小值为

，大值为.此，满题设条件当且仅𝑏，，a=0，𝑏．（当时（知在0，单递减，所以在区间，的大值为𝑓，最小值为．时a，满题设条件当且仅，，即a=4b=1．（当时1，𝑓(在0，的小值为11

，最大值为b或2．

333221112222333221112222若若

𝑎27𝑎27

，，𝑎2，与矛.，2𝑎，𝑎=33或𝑎3或a=0，矛盾．综上，当且仅当a=0或a=4，时，在[，的小值为1，最大值为1．【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值【解析导令，x=0或

𝑎3

，分三种情况讨论，即可求出函数的单调区间；2先判断满足题设条件的，b存，再分三种情况讨论a，用1）中函数单调性分别求出a，的进行判断，即可得结.21.已知曲线C:

2

，为线y=-

2

的动点，过D作C的条切线切点分别为A，（）明：直过定点；（）以E（，

52

）为圆心的圆与直线相切，且切点为线段AB的点，求四边形ADBE的面积【答案设

，则2

.由于′

，所以切线DA斜率为，故

2

.整得

设𝐵(

,)，同理可得222

.故线的程为2..所以直线过定点2（（得线的程为𝑥.由22

，可得

2

.于是2222.222

2

，

|

2设,

分别为点，到线的离，则

𝑡

22

22

.因此，四边形的面积𝑆

2

2

2.设M为线段的中点，则

2

.2由于

，而22)，

与向量𝑡平，所以𝑡

2

.解t=0或.当=0时；当时

.因此，四边形ADBE的面积为或√

.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】1先求导，分别得到切线和的程，可得直线AB的程，即可证明直线过定点；（）（）直线AB的方程与抛物线方程联立，利用弦长公式和点到直线的距离式，分别得到|AB|与，到直线AB的距离，由

与向量平列式，即可求出四边形ADBE的积12

，，123123123,,ππ133π若，则，解得；3π35ππ5,,,,四、选题，，123123123,,ππ133π若，则，解得；3π35ππ5,,,,22.[选修4-4：标系与参数方]如图，在极坐标系Ox中，（，，2

，

𝜋𝜋44

，，，，，

所在圆的圆心分别是，）（，

𝜋

），（，），曲线M是，线M是，曲线M是。（）别写出M，M，M的坐标方程