高中数学苏教版1第2章圆锥曲线与方程2．1圆锥曲线 学业第2章

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．抛物线上一点P到焦点的距离与到准线的距离之和为8，则P到准线的距离为________．【解析】由抛物线的定义可知点P到焦点与准线的距离相等，又因为二者之和为8，故P到准线的距离为4.【答案】42．下列说法中正确的是________(填序号)．①已知F1(－6,0)，F2(6,0)，到F1，F2两点的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆；②已知F1(－6,0)，F2(6,0)，到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆；③到点F1(－6,0)，F2(6,0)两点的距离之和等于点M(10,0)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆；④到点F1(－6,0)，F2(6,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．【解析】根据椭圆的定义PF1＋PF2>F1F2可知选③.【答案】③3．已知A(1,0)，B(3,0)，动点P满足|PA－PB|＝a，且点P的轨迹是双曲线，则实数a的取值范围是________．【解析】因为AB＝2，且点P的轨迹是双曲线，则|PA－PB|＝a＜2，即0＜a＜2.【答案】(0,2)4．已知双曲线的焦点为F1，F2，双曲线上一点P满足|PF1－PF2|＝2.若点M也在双曲线上，且MF1＝4，则MF2＝________.【解析】由双曲线的定义可知，|MF1－MF2|＝2.又MF1＝4，∴|4－MF2|＝2，解得MF2＝2或6.【答案】2或65．已知点A(－1,0)，B(1,0)．曲线C上任意一点P满足eq\o(PA,\s\up6(→))2－eq\o(PB,\s\up6(→))2＝4(|eq\o(PA,\s\up6(→))|－|eq\o(PB,\s\up6(→))|)≠0.则动点P的轨迹是________.【导学号：09390020】【解析】由条件可化简为PA＋PB＝4，因为4>2＝AB，所以曲线C是椭圆．【答案】椭圆6．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为______．(填“椭圆”、“双曲线”、“抛物线”)【解析】由题意P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹为一条抛物线．【答案】抛物线7．已知平面上定点F1，F2及动点M，命题甲：|MF1－MF2|＝2a(a为常数)，命题乙：点M的轨迹是以F1，F2【解析】根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲D乙，只有当0<2a<|F1F2|时，其轨迹才是双曲线．故甲是乙的必要不充分条件．【答案】必要不充分8．△ABC的顶点A(0，－4)，B(0,4)，且4(sinB－sinA)＝3sinC，则顶点C的轨迹是________．【解析】运用正弦定理，将4(sinB－sinA)＝3sinC转化为边的关系，即4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2R)－\f(a,2R)))＝3×eq\f(c,2R)，则AC－BC＝eq\f(3,4)AB＝6<AB.显然，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的上支去掉点(0,3)．【答案】以A，B为焦点的双曲线的上支去掉点(0,3)二、解答题9．已知动点M的坐标(x，y)满足方程2(x－1)2＋2(y－1)2＝(x＋y＋6)2，试确定动点M的轨迹．【解】方程可变形为eq\f(\r(x－12＋y－12),\f(|x＋y＋6|,\r(2)))＝1，∵eq\r(x－12＋y－12)表示点M到点(1,1)的距离，eq\f(|x＋y＋6|,\r(2))表示点M到直线x＋y＋6＝0的距离．又由eq\f(\r(x－12＋y－12),\f(|x＋y＋6|,\r(2)))＝1知点M到定点(1,1)的距离等于点M到直线x＋y＋6＝0的距离．由抛物线的定义知点M的轨迹是抛物线．10．一炮弹在某处爆炸，在F1(－5000,0)处听到爆炸声的时间比在F2(5000,0)处晚eq\f(300,17)s，已知坐标轴的单位长度为1m，声速为340m/s，爆炸点应在什么样的曲线上？【解】由声速为340m/s，可知F1，F2两处与爆炸点的距离差为340×eq\f(300,17)＝6000(m)，且小于F1F2＝10000(m)，因此爆炸点在以F1，F2为焦点的双曲线上，又因为爆炸点离F1处比F2处更远，所以爆炸点应在靠近F2处的一支双曲线上．[能力提升]1．已知点P(x，y)的坐标满足eq\r(x－12＋y－12)－eq\r(x＋32＋y＋32)＝±4，则动点P的轨迹是________．【解析】方程表示点到(1,1)和(－3，－3)两点的距离差，∵4<eq\r(1＋32＋1＋32)，∴点P的轨迹是双曲线．【答案】双曲线2．已知椭圆上一点P到两焦点F1，F2的距离之和为20，则PF1·PF2的最大值为________.【导学号：09390021】【解析】由条件知PF1＋PF2＝20，∴PF1·PF2≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PF1＋PF2,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,2)))2＝100.当且仅当PF1＝PF2时取得等号．【答案】1003．如图2­1­1，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是________．图2­1­1【解析】连结FP，∵M，F关于直线CD对称，∴PF＝PM，∴PF＋PO＝OP＋PM＝OM(定值)．∵OM>OF，∴点P的轨迹是以F，O为焦点的椭圆．【答案】以F，O为焦点的椭圆4．在△ABC中，B(－6,0)，C(0,8)，且sinB，sinA，sinC成等差数列．(1)顶点A的轨迹是什么？(2)指出轨迹的焦点和焦距．【解】(1)由s